Действие над событиями (объединение, пересечение, разность)

Объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе. Пересечением событий А и В называется событие, состоящее из элементарных событий принадлежащих и событию А и событию В. Разность двух событий А и В называется событие, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие А, но не входят в событие В.

Основные правила и формулы комбинаторики.

	без возвращения	с возвращением
Без порядка
С порядком

Урновая схема:

Выбор с возвр-нием: кажд выбр-ный шарик возвр-ся в урну, т.е. кажд из а_к шариков выбир-ся из полной урны. В получ-м наборе, сост-м из а_к номеров шариков, могут встреч-ся одни и те же номера (выборка с повторениями).

Выбор без возвр-ния: выбр-ные шарики в урну не возвр-ся, и в получ наборе не могут встреч-ся одни и те же номера (выборка без повторений).

Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров.

Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события называется отношение числа исходов благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов. . где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;

n- число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

 

Геомоетрическое определение вероятности.

Геометрической вероятностью называют вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости).

l

L

Пусть отрезок lсоставляет часть отрезка L.

Пусть отрезок L наудачу поставлена точка. Тогда вероятность, что эта точка попадет в отрезок l пропорциональна длине отрезка l; не зависит от расположения l на L. И определяется по формуле:

 

Теоремы сложения вероятности.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (если события А и В совместны): Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Пусть А₁, А₂…А_n несовместные, то вероятность их суммы: Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Теорема умножения вероятности.

Теорема: вероятность появления двух независимых событий равна произведению этих событий. P(A+B)=P(A)*P(B). Теорема: вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

P( )

Теорема: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. P(AB)= P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти при появление одной из гипотез, то его вероятность равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы и соответствующих условных вероятностей события А:

Формула Байеса.

Пусть событие А происходит одновременно с одним из n-несовместных событий Н₁, Н₂…Н_n и вероятности Р(Н_i) известны до опыта. Производится опыт в результате которого зарегистрировано появление события А при чём известно, что это событие имело определённые условные вероятности Р(А/Н_i) i=1, 2…n и требуется найти вероятности события Н_i, если известно что событие А произошло. .

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.

Пусть в результате испытания возможно 2 исхода: 1)появится событие А; 2)появится противоположное событие . Проводим n испытаний, события независимы и Р(А)=р, Р( =q тогда .

Локальная формула Муавра-Лапласа.

Если вероятность (р)появления события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 до 1, то вероятность Р_n(К) того, что событие А в n испытаниях появятся ровно К раз, приближенно равно: Р_n(К)= .

Интергральная формула Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1, то Р_n(X_K1, X_K2) или Р_n(К_1, К₂), то событие А появится в n испытаниях от К₁ до К₂ раз приближенно равно Р_n(К_1, К₂)=Ф(X_K2)-Ф(X_K1).

Случайная величина.

Случайной величиной можно назвать числовую функцию х( ) элементарного события , которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений. Сущ. 2 типа случ. величин: 1)дискретная- случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности; 2) непрерывная- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: