|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Достаточные условия наличия точки перегиба.
Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если
В заключение приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:
Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка .
Вопрос 33. Асимптоты Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки Мкривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Мот начала координат по какой-либо ветви кривой. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные. Вертикальные асимптоты. Прямая x= aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
или
(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при
и
Замечание. Символом
стремление xк aслева, причём xостаётся меньше a. Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Пример. График функции y= ln xимеет вертикальную асимптоту x= 0 на границе области определения, так как
(рис. 10). Горизонтальные асимптоты. Если
то y= b– горизонтальная асимптота кривой y= f(x) (правая при Пример. График функции
при a> 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y= 0, так как
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку
(рис. 11). Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой. Теорема. Для того, чтобы кривая y= f(x) имела асимптоту y= kx+ b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
или
В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. 13.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y= kx+ b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную). Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y= bявляется частным случаем наклонной y= kx+ bпри k= 0. Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x= 0, т.е.
Поэтому в точке разрыва x= 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно,
Следовательно, x= 0 – вертикальная асимптота; при
слева
при
справа
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Прямая y= 2xявляется двусторонней наклонной асимптотой заданной кривой (рис. 14). Вопрос 36. Дифференциал функции двух переменных Пусть функция z = f(x, y), имеет в точке М0(х0, у0) частные производные f /x (х0, у0) и f /у (х0, у0). О. Полным приращением функции z = f(x, y) в точке М0(х0, у0) называется разность
Пусть приращение функции z =f(x, y) можно представить в виде
где, то функция называется дифференцируемой в точке M 0 (х0, у0). О. Полным дифференциалом функции z=f(x, y) называется главная часть полного приращения
При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно
Вопрос 37. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 379; Нарушение авторского права страницы
Если 
меняет знак при переходе через точку 
то 
– точка перегиба функции f (x).
то 
); 
у функции 
).
обозначается стремление xк a справа, причём xостаётся больше a, символом
, левая при 
и двусторонняя, если пределы при 
равны).
(33)
(34)
При совпадении пределов (33) и (34) прямая y= kx+ bявляется двусторонней асимптотой кривой.
Горизонтальной асимптоты кривая не имеет, так как
, линейная относительно приращений её аргументов 
. Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле: 
