Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Признаки существования предела



Свойства пределов.

Обозначение предела Предел функции обозначается как , при или через символ предела .

Свойства пределов.

  1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

  1. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

  1. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

  1. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

  1. Предел показательной функции

где основание b > 0.

  1. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

  1. Теорема " о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается " зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Признаки существования предела

1. Если и , то

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда

(критерий Коши).

 

Число e

Последовательность , имеет конечный предел, называемый числом е:

19) Первый замечательный предел:

Определение.

Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Оба этих случая объединяют символом xn­.

Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Оба этих случая объединяют символом xn¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

21) Второй замечательный предел:

22)ε -δ определение

Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Комментарии

· Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции .

· Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

· для всех

· для всех

 

23) Непрерывность элем-ых функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

Алгебраические многочлены;

Рациональные дроби;

Степенные функции;

Показательные функции;

Логарифмические функции;

Тригонометрические функции;

Обратные тригонометрические функции;

Гиперболические функции;

Обратные гиперболические функции.

Производная параметрически

Пусть x = f (t), y = y (t), tÎ [a, b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t, y = asin t, tÎ [0, 2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = y'(t)dt, dx = f'(t)dt. Поэтому

y'(x) = y'(t)/f'(t).

Используя формулу для второго дифференциала, получим

y(2)(x) = d(y'(x))/dx = (y '(t)/f '(t))'dt/f '(t)dt =

= (y ''(t) f '(t)-f ''(t)y '(t))/(f '(t))3.

Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде

y'''(x) = d(y''(x))/dx.

28) Физический и геометрический смысл производной

Теорема Коши-

1. f, g приналдежит C[a, b]

2.f, g прин. D(a, b)

3.g’(x) не=0

30) Правило Лопиталя- метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

31) Формула Тейлора с остаточным членом в форме пеано и лагранжа

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Пеано:

при

32) писать с тетради

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

 

 

1.

2.

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Свойства пределов.

Обозначение предела Предел функции обозначается как , при или через символ предела .

Свойства пределов.

  1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

  1. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

  1. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

  1. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

  1. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

  1. Предел показательной функции

где основание b > 0.

  1. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

  1. Теорема " о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается " зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Признаки существования предела

1. Если и , то

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда

(критерий Коши).

 

Число e

Последовательность , имеет конечный предел, называемый числом е:

19) Первый замечательный предел:

Определение.

Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Оба этих случая объединяют символом xn­.

Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Оба этих случая объединяют символом xn¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

21) Второй замечательный предел:

22)ε -δ определение

Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Комментарии

· Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции .

· Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

· для всех

· для всех

 

23) Непрерывность элем-ых функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

Алгебраические многочлены;

Рациональные дроби;

Степенные функции;

Показательные функции;

Логарифмические функции;

Тригонометрические функции;

Обратные тригонометрические функции;

Гиперболические функции;

Обратные гиперболические функции.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 1086; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.071 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь