Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Связь направления выпуклости функции со знаком второй производной ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Теорема. Для того, чтобы дважды дифференцируемая в точке x0 функция была выпукла вверх (вниз) в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная этой функции в x0 была неположительной (неотрицательной). . Следует отметить, что первые два слагаемых ряда Тейлора совпадают с правой частью уравнения касательной, проведённой в графику функции y = f (x) в точке х0: Y = f ( x0 ) + f '( x0 )·( x − x0 ). Учитывая, что слагаемое o(x - x0)2 в достаточно малой окрестности точки х0 мало, и на знак выражения влияния не оказывает, получим зависимость знака второй производной на направление выпуклости sign ( f ( x ) − Y) = sign ( f ''( x0 ) ). Теорема. Для того чтобы дважды дифференцируемая на интервале (а, b) функция, была выпукла вверх (вниз) в нем, необходимо, чтобы во всех точках этого интервала вторая производная функции была ≤ 0 ( ≥ 0). f ( x ) − f ( x0 ) − f ' ( x0 )·( x − x0 ) ≥ 0. Применяя формулу Лагранжа к первому и второму слагаемому, получим [ f ' ( c1 ) − f ' ( x0 ) ]·( x − x0 ) ≥ 0. Применяя ещё раз формулу Лагранжа в квадратной скобке, получим f '' ( c2 )·( c1 − x0 )·( x − x0 ) ≥ 0, откуда непосредственно следует f '' ( c2 ) ≥ 0 так как x0 < с2 < c1 < x. Поскольку аргумент х выбран произвольно в достаточно малой окрестности точки х0, то и аргумент для второй производной в этом случае тоже произволен в достаточно малой окрестности точки х0. Определение точки перегиба Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. Необходимое условие точки перегиба Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x0, f(x0)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x0) = 0. Достаточное условие точки перегиба Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f " (x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x0 интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х0, а график функции имеет касательную в точке С = (х0, f (x0)). Если при переходе через точку х0 вторая производная f " (x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x).
Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций. Асимптоты функции Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат. Вертикальные асимптоты Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке. . Горизонтальные асимптоты Если , то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны). Наклонные асимптоты Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями , Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы. . Так как MP = MP1·cos α, где угол α есть величина постоянная, равная углу наклона асимптоты к оси Ох. Поэтому соотношение для определения асимптоты можно записать в виде . Так как точки М и Р1 соответствуют одному и тому же значению аргумента, то это соотношение можно записать в виде . (9.1) Если вынести за скобки х, то , из этого однозначно будет следовать , или . Откуда следует соотношение для нахождения углового коэффициента асимптоты . Зная угловой коэффициент асимптоты, из соотношения (9.1) получим . |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 429; Нарушение авторского права страницы