Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто можно установить путём сравнения его с другими рядами, о которых известно сходятся они или нет.

Теорема 6: пусть даны два ряда с неотриц. членами (обозначимА)и ( обозначим В) и пусть a_n≤ b_nтогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А расходимость ряда В.

Теорема 7: пусть даны два знакоположительных ряда А и В если сущ. Конечный отличный от нуля предел =A (0< А< ∞ ), то ряды А и В одновременно сходятся или расходятся.

Теорема 8: пусть дан ряд с положительными членами и сущ предел =q тогда при q< 1 ряд сходится а при q> 1 расходится.

Теорема 9: если для ряда с неотриц членами сущ предел =q то при q< 1 ряд сходится, а при q> 1 расходится.

Теорема 10: если члены знакоположительного ряда монотонно убывают и сущ положительная невозрастающая функция f(x) такая что f(n)=an при n≥ 1. То ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

25. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: тогда ряд сходится. Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность а-n существенна. Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым

26. Знакопеременные ряды. Сходимость.Числовой ряд _n, содер бесконечное множество положит и бесконеч множество отриц членов наз знакопеременным. Теорема 1Пусть дан знакопеременный ряд _n(1).Если сходится ряд _n(2) составленный из модулей членов данного ряда (1)сходится и знакопеременный ряд(1).Опр.Ряд (1)наз абсолютно сходящимся, если ряд (2)сходится.Если же ряд(1)сходится, а ряд(2)расходится, то ряд(1)наз условно сходящимся.Св-ва абсолютно сходящихся рядов: 1).Если ряд(1)абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд(1).2)Абсолютно сходящиеся ряды _nи _n с суммами S1 и S2 можно почленно складывать(вычислять).В итоге получится абсолютно сход ряд, сумма которого равна S1+S2, (S1-S2).Опр.Произведение 2 рядов _nи _nназ ряд вида(а1б1)+(а1б2+а2б1)+(а1б3+а2б2+а3б1)+…+( а1бн+а2бн-1+…+анб1)+…Опр. Произведение 2-х абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть бесконечно сход ряд, сумма которого= S1*S2.Теорема Римоно: Если ряд(1)сходится неабсолютна, то какое бы ни взять число S, можно так переставить члены в этом ряду, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно S.

27. Степенные ряды. Сходимость степенного ряда. Опр. Функциональный ряд вида , (1), где , , наз-ся степенным рядом. Числа , , …, , … наз-ся коэффициентами степенного ряда (1). Если , то ряд (1) имеет вид , (2). Будем рассматривать только такие степенные ряды, т.к. полагая в (1) , получаем ряд вида (2).

Степенной ряд (2) всегда сходится в точке х=0. Если х≠ 0, то ряд (2) может сх-ся или расх-ся.

Т1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сх-ся в т. х₀≠ 0, то во всех точках х, |х|< |х₀|, он схся абсолютно. Если в т. х₁≠ 0 степ.ряд (2) расх-ся, то он расходится во всех точках х, |х|> |х₁|.

Теор. Абеля дает ясное представление об области сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся следующим приемом: окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку сходимости ряда (2), а в красный цвет – каждую точку расходимости ряда (2). Очевидно, что т. х=0 будет всегда окрашена в зеленый цвет. Если степенной ряд сходится всюду на R, то вся числовая ось будет зеленой. Если степ.ряд везде расходится, то вся числовая ось, кроме т. х=0, будет красной. Если какая-нибудь точка х₀≠ 0 будет окрашена в зеленый, то зелеными будут все точки лежащие между х₀ их=0, а также между -х₀ их=0. Если какая либо точка х₁> 0 будет красной, то будут красными все точки лежащие правее х₁. Если х₁< 0 будет красной, то будут красными все точки лежащие левее х₁. Т.к. каждая точка числовой оси будет либо зел. либо красн., то идя от т. х=0 вправо по числовой оси сначала будем встречать только зел. точки, а затем – только красные, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может быть как красн., так и зел. цвета (в зависимости от того сходится ряд на границе или расх.) То же самое можно сказать, если идти налево от точки х=0 в частности в т. х=-R ряд может сходиться или расх-ся.

Опр. Число Rназ-ся радиусом сходимости ряда (2), интервалом (-R, R) – интервалом сходимости. Если ряд (2) сх-ся только в т. х=0, то R=0; если ряд сх-ся для всех х R, то R=+∞.

Подчеркнем, что в кажд. т. х (-R, R) ряд (2) будет сх-ся абсолютно, в точках х=±R может сх-ся или расх-ся.

Т2Если сущ-ет предел , то радиус сходимости R ряда (2) равен , т.е. .

Т3Если сущ-ет , то .

Сформулируем основные свойства степенных рядов (2) с интервалом сходимости (-R; R):

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: