Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Деление отрезка в данном отношении



Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение, в котором точка М делит отрезок, то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка, то ее координаты определяются по формулам

, .

Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки A(; ), B(; ), C(; ), площадь S треугольника ABC дается формулой

.

Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка к отрезку положителен, и -S в том случае, когда такой поворот отрицателен.

Преобразование координат

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

, .

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

, .

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

Функция двух переменных

Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опеределяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и yобозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x; y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примереf(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат.

 

 

Начало координат обозначается буквой О, координатные оси - соответственно символами Ox, Oy, Oz.

Пусть М - произвольная точка пространства, , , - ее проекции на координатные оси (рис. 1).

Координатами точки М в заданной системе называются числа, , (рис.1), где - величина отрезка оси абсцисс, - величина отрезка оси ординат, - величина отрезка оси апликат. Число х называется абсциссой, у - ординатой, z - апликатой точки М. Символ M(x, y, z) обозначает, что точка М имеет координаты x, y, z.

Плоскость Oyz разделяет все пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Ох, называется ближним, другое дальним. Плоскость Oxz также разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, называется правым, другое - левым. Наконец, и плоскость Oxy разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении осиOz, называется верхним, другое - нижним.

Три плоскости Oxy, Oxz, Oyz вместе разделяют пространство на восемь частей; их называют координатными октантами и нумеруют так, как показано на рис. 2.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Доказать свойство координат коллинеарных векторов

Доказать свойство 3 координат вектора.

Решение: Пусть b1= {x1, y1, z1} B, b2= {x2, y2, z2} B.

b1 || b2  λ R, т.ч. b1= λ ∙ b2.

< => x1=λ ∙ x2, y1=λ ∙ y2, z1=λ ∙ z2 < => λ =, если разрешить преобразовывать к нужному виду выражение 0= λ ∙ 0.

Утверждение доказано.

Пример 2. Найти вектор, выраженный через заданный

Для данного вектора а найти

вектор b, такой что а b, | b |=2∙ | a |;

вектор с, такой что ас, | с |=| a |/4;

вектор d, такой что a || d, | d |=3∙ | a |;

вектор e, такой что ae, | e |=1.

 

Решение:

b =2∙ a; c = a; вектор d находится неоднозначно: d1 a => d1 =3∙ a, d2a => d2 =-3∙ a; e = a.

 

Комплексные числа

Ко́ мпле́ ксные чи́ сла — расширение поля вещественных чисел обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где и — вещественные числа, — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена.

Стандартная модель

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел. Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен, то есть

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

 

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать мнимой единице —

Замечания

Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению, так как число также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение, ранее часто использовавшееся вместо, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 325; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.015 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь