Тема 1. Числовые выражения. Уравнения и неравенства

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение …………………………………………………………………3

Тема 1.Числовые выражения. Уравнения и неравенства ….……4

Тема 2.Степени и корни ………………………………………….…...5

Тема 3. Функции и их свойства. Графики функций……………….7

Тема 4. Показательные уравнения и неравенства……………… 8

Тема 5. Логарифмы…………………………………………………....9

Тема 6. Основы тригонометрии……………………………………..13

Тема 7. Простейшие тригонометрические уравнения…………..15

Тема 8. Методы решения тригонометрических уравнений..…...16

Тема 9. Последовательности. Пределы…………………………...20

Тема 10. Производная. Вычисление производных………….….. 21

Тема 11. Применения производной………………………….……. 23

Тема 12. Первообразная. Определенный интеграл………….... 26

Тема 13. Задачи планиметрии……………………...……………….29

Тема 14. Прямые и плоскости в пространстве………….…..…....31

Тема 15. Многогранники……………………..……………………….33

Тема 16. Тела вращения…………………………………..………...36

Тема 17. Задачи стереометрии…………………………..………...39

Тренировочный вариант для подготовки к экзамену….……..... 42

Справочный материал..…………………………………..………… 44

Список литературы…………………….………………..………..…..52

Ответы к заданиям для самостоятельной работы…………......53

Введение

Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Основными содержательными линиями курса математики для специальностей нашего педагогического колледжа являются алгебраическая линия, теоретико – функциональная, линия уравнений и неравенств, геометрическая. Самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий. Она проводится с целью систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся; формирования умений использования справочной литературы; развития самостоятельности и организованности; способности к саморазвитию и самореализации.

Данный сборник содержит задания для работы обучающихся в аудитории и для самостоятельной внеаудиторной работы. Задания по основным темам курса представлены в виде примеров применения теоретических положений и домашних работ. Предлагаются также задания для подготовки к зачетам и контрольным работам по основным темам дисциплины. Изучение курса заканчивается письменным экзаменом, поэтому для самоподготовки обучающихся предложен тренировочный вариант экзаменационной работы.

Сборник сопровожден справочным материалом, содержащим основные таблицы и правила из курса алгебры и начал анализа, а также основные сведения из планиметрии и стереометрии.

Большинство домашних работ представлено в двух вариантах. К наиболее сложным заданиям для внеаудиторной самостоятельной работы даны ответы.

Тема 1. Числовые выражения. Уравнения и неравенства

Задания для работы в аудитории

Пример 1. Вычислите: а) 42∙ (1 ² – ³ ); б) 3, 6∙ 1, 4 - 1, 24;

в) 1, 4: 0, 28 + 0, 24. ^{3 7}

Пример 2. Решить уравнение: а)3 (х-1) = 5(х-2)+13;

б) 4(х+3, 2) – 5, 2(1, 5х - 10) = 76, 2

Пример 3. Решить уравнение: а) 2х²+3х+1 = 0;

б) х² - 3х+7 = 0; в) х²-4х+4 = 0.

Пример 4. Решить неравенство: а) 2(3-2х)+3(2-х) ≤ 40;

б) 10х+9 > -3(2-5х).

Пример 5. Решите неравенство: а) 2х² +3х+1 > 0;

б) 3х²+2х-1 < 0; в) -х² -4х+5 > 0

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

 

1. Найдите значение выражения:

(1, 4 - 3, 5: 1¹/₄): 2, 8 + 3, 9: 2¹/₆.

2. Решите линейное уравнение: а) 6(2х-3) – 5 = 2х+7;

б) 3(2х-4)+7 = 6х-5.

3. Решите квадратное уравнение: а) у² + 5у + 6 = 0;

б) 2х²-3х+11=0; в) х²-8х+16=0.

4. Решите линейное неравенство: а) 4(1-х) - 3(х+2) < 5;

б) 3(3х-1) - 2(5х-7) > 0.

5. Решите неравенство: а) х²+ 5х-24< 0; б) -4х²+19х-12 > 0.

 

Вариант 2.

 

1. Найдите значение выражения: (5, 4-3²/₅: 6, 8)+0, 6∙ 3¹/_3.

2. Решите линейное уравнение: а) 4(1, 5х+1)-3=2х+5;

б) 2(3х+2) -11 = 6х-7.

3. Решите квадратное уравнение: а) х²+7х+12 = 0;

б) 3х²-8х+7 = 0; в) х² - 6х+9 = 0.

4. Решите линейное неравенство: а) 5(2х-8)-7(х+1) > 13;

б) -2(х-11)-7(х+2) > -1.

5. Решите неравенство: а) х²-2х-35 < 0; б) 2х²-5х-3 > 0

 

Тема 2. Степени и корни

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Вычислите: а) (3⁵∙ 3⁷): (3⁵)²; б) 25⁴∙ 125⁷: 625⁷;

в) (2 ∙ 3)⁴.

Пример 2. Вычислите: а)(27∙ 3^-2)^-1; б)7^-7 : (7⁴∙ 7^-9).

Пример 3. Какое из чисел больше: а) 243⁴ или 3²⁰;

б) 501²-399² или (501-399)²; в)9^-2 или (¹/₂₇)²?

Пример 4. Упростите выражение с^-7: (с^-2)³ ∙ с⁴ и найдите его значение при с= - ²/₃.

Пример 5. Вычислите: а) - ; б) ∙ ;

в) : .

Пример 6. Выполните действия: а) 2 - + 3 ;

б) 7 +2 - ;

Пример 7. Сравните двумя способами: а) 2 и 3 .

Пример 8. Выполните действия: а) ( + 6 - 9);

б) ( - )( + ); в) ( - )² .

Пример 9. Решите уравнение: а) =12; б) = х-5.

Пример 10. Вычислите: ; ; ; .

Пример 11. Вычислите: ; ; ; ; - .

Пример 12. а) ∙ : ;

б) ∙ ; в) ∙ .

Пример 13. Вычислите: а) 7^1/4.7^3/4; б) 9^2/3: 9^1/6;

в) (16^1/3)^9/4; г) 25^1/2. 125^1/3.

Пример 14. Сравнить: и .

Пример 15. Найти значение выражения: ∙ при а = 0, 09.

Пример 16. Сократить дробь: а^2/3 – в^2/3.

а^1/3 +в^1/3_{_}

Пример 17. Упростить выражение: а)а ∙ а ; б)а ∙ а .

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

 

1. Вычислите: а) ; б) ; в) ∙ ; г) : ; д) .

2. Упростите: а) 2 + 3 - ¹/₄∙ ;

б)(2- ) (2+ ).

1. Вычислите: а) + ; б) ∙ ; в) : .
2. Решите уравнение: а) = 5; б) = 6-х.
3. Упростите: а) х^3/4 ∙ х^{0, 25}: х ^-2; б) а ∙ а : а .
4. Сравните: и 2^2/3.

 

Вариант 2

 

1. Вычислите: а) ; б) ; в) ∙ ; г) : ; д) .
2. Упростите: а) 2 + 3 - ;

б)(2- )∙ (2+ ).

1. Вычислите: а) + ; ∙ ;

в) : .

1. Решите уравнение: а) = 4; б) = х.
2. Упростите: а) х^3/4 ∙ х^{0, 25}: х ³; б) а ∙ а : а .
3. Сравните: и 2^2/3.

Тема «Логарифмы»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Найдите логарифм числа:

а) log₃ 27; б) log₂ ¹/₄; в)log_{√ 2} 8; г) log_1/3 81; д) log_{0, 5} 4.

Пример 2. Решите уравнение: а) log₃ х = -1; б) log_1/6 х = -3; в) lg х = -3; г) lg х = ¹/₂; д) log_х 16 = 4.

Пример 3. Вычислите: а) 3^log₃ ⁵; б) 4^log₂¹⁷; в) 5^log₅^{2 + 1};

г) π ^log_π ^{6 - 1}.

Пример 4. Найдите логарифм выражения:

lg (10х³у^1/2 с^-3).

Пример 5. Найдите х, если:

log₆ х =3 log₆ 2 + 0, 5 log₆ 25- 2 log₆ 3.

Пример 6. Запишите логарифмы log_1/2 а, log₈ а, log_1/4 а, log_{√ 2} а логарифмами по основанию 2.

Пример 7. Решите уравнение: а) log_1/2 (2х-4) = -2;

б) log_{0, 3} (5+2х) = 1; в) log_π (х²+2х+3) = log_π 6.

Пример 8. Решите уравнение: а) lg(х-9) + lg(2х-1) = 2;

б) log₃(х+1) + log₃(х+3) = 1; в) lg(х-1) – lg(2х-11) = lg 2.

Пример 9. Решите уравнение: 2 log₄² х+ 5 log₄ х – 3 = 0.

Пример 10. Решите уравнение графически: log₂х = 3-х.

Пример 11. Решите систему уравнений: log₅(х+у) = 1,

log₆х+log₆у=1

Пример 12. Решите неравенство: а) log₄ х < 3;

б) log_{0, 5} х > 1; в) lg (х-5) > 2;

г) log_1/7 (4х+1)< -2; д) lg(2х-3) < lg(х+1).

Пример 13. Решите неравенство: а) lg х + lg(х-1) < lg 6;

б) lg²х + 2 lg х > 3.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы по теме «Логарифмические уравнения»

 

Вариант 1.

 

1. Вычислите: а)log₂ 16; б)log_1/3 9; в)log_{√ 2} 4; г) log₃ .
2. Решите уравнение: а) log₃ х=-4; б) lg х=-1;

в) lg(х+2) + lg(х-2) = lg(5х+10); г) log₇ log₃ log₂х = 0.

1. Решите уравнение: log₃² х- log₃ х – 6 = 0.

 

Вариант 2.

 

1. Вычислите: а)log₃ 81; б)log_1/4 64; в)log_{√ 2} 2; г)log₃ .
2. Решите уравнение: а) log₅ х = -3; б) lg х = -2;

в) lg(х+1) + lg(х-1) = lg(9х+9); г) log₅ log₃ log₂х = 0.

1. Решите уравнение: lg² х- lg х – 2 = 0.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы по теме «Логарифмические неравенства»

 

Вариант 1.

 

1. Решите неравенство: а) log₅ х> 3; б) log₃(7-4х)< 3; в)log_{0, 5}(х-7) > log_{0, 5}(х+1).
2. Решите неравенство: lg(х-4)+lg(х-3) > lg(17-3х).
3. Решите неравенство: log²₂(х+1) – 3 log₂(х+1) > -2.

 

Вариант 2.

 

1. Решите неравенство: а) log₃ х > 5; б) log₃(8-4х)< 3; в)log_{0, 5}(х-4) < log_{0, 5}(х+1).
2. Решите неравенство: lg(х-2) + lg(х+3) > lg 2х.
3. Решите неравенство: log²₂(х+1) – 3 log₂(х+1) < -2.

 

Задания для подготовки к зачету по теме

«Показательная и логарифмическая функции».

 

Вариант 1.

 

1. Вычислите: а) ; б) ;

в) : .

1. Решите уравнение: = 3.
2. Вычислите: 16^1/4 +27 ^-1/3 + 81 ^3/4 - 8 ^5/3.
3. Решите уравнение: а) 6^х =216; б)2^3х-5 =16;

в) 3^х2-5х+2 =¹/₈₁.

1. Решите уравнение: а) 5^х-1 + 5^х =150;

б) 3∙ 9^х + 26 ∙ 3^х-9=0.

1. Решите неравенство: а) 3^х > ¹/₂₄₃; б) (⁵/₇) ^3х+4 > ²⁵/₄₉.
2. Решите уравнение: а) log₃ х =-4; б) log_х 64=6;

в) lg х=3.

1. Решите уравнение: lg (х+2) + lg (х-2)= lg (5х+10).
2. Решите неравенство: log_{0, 5} (1-3х) > -2.

1. Решите систему уравнений: 2 ^х ∙ 2 ^-у = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2+log₃ 2

 

Вариант 2.

 

1. Вычислите: а) ; б) ;

в) : .

1. Решите уравнение: = - 5.
2. Вычислите: 27 ^1/3+25 ^-1/2+16 ^3/4 - 8 ^{4 / 3}.
3. Решите уравнение: а) 8^х=512; б) 3^2х+7=243;

в) 2^{х - х - 1}= 32.

1. Решите уравнение: а) 6^х-2 - 6^х-1 = -180;

б) 2∙ 4^х - 17 ∙ 2^х + 8 = 0.

1. Решите неравенство: а) 6^х > ¹/₂₁₆; б) (⁴/₃ ) ^2х-1 > ⁹/₁₆.

7. Решите уравнение: а) log₂ х=4; б) log_х 81=4;

в) lg х = - 3.

8. Решите уравнение: lg (х+1) + lg (х-1) = lg (9х+9).

9. Решите неравенство: log₃(7 – 4х) < 3.

1. Решите систему уравнений: 2 ^х ∙ 2 ^-у = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2+log₃ 2.

Тема « Основы тригонометрии»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Упростите выражение: а) 1- cos² х; б) cos² х+(1- sin²х); в) cos х tg х- sin х; г) (1- sin х)(1+ sin х);

д) sin х: tg х + cos х.

Пример 2. Найдите значения cos х, tg х, ctg х, если sin х=0, 6, х Î I чет.

Пример 3. Вычислите: а) 2 sin ^π /₆ + tg ^π /₄; б) sin^{2 π} /₃ +cos^{2 π} /₄

в) ctg ^π /₆ ∙ tg ^π /₃

Пример 4. Упростите: а) cos (^3π /₂+х); б) tg (180^◦ +х);

в) ctg (π – х); г) sin (^π /₂-х).

Пример 5. Вычислите: а) sin 150^◦ ; б) cos 240^◦ ; в) tg 210^◦ ;

г) ctg 225^◦ .

Пример 6. Вычислите:

а) sin 69° cos 21° + cos 69° sin 21°; б) cos 165°;

в) 2 sin15° cos15°; г) cos² 75° - sin² 75°.

Пример 7. Пусть cos α = 0, 6. Найдите sin 2α, cos 2α, tg 2α, если α Î I четв.

Пример 8. Представьте в виде произведения:

а) sin 40^◦ + sin 16^◦ ; б) sin 18^◦ - sin40^◦ ; в) cos ^π /₅ - cos ^π /₁₀;

г) cos 68°- cos 22°

sin 68° - sin 22°

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

1. Углом какой четверти является угол: а) 120^◦ ; б) 48^◦ ; в)100^◦ ; г) - 45^◦ ; д) - 190^◦ .

2. Упростите выражение: а) 1- sin²х; б) sin²х + (1- cos² х);

в) (1- cosх)∙ (1+cosх).

3. Найти sin х, tg х, ctg х, если cos х = 0, 8, хÎ I четв.

4. Вычислите: а) sin ^π _/6 + cos ^π /₃; б) sin^{2 π} /₄ - tg ^π /₄;

в) tg 30^◦ ∙ ctg 60^◦ .

5. Упростите: а) cos (^3π /₂ - х); б) tg (180^◦ - х); в) ctg (π + х);

г) sin (2π -х).

6. Вычислите: а) sin 300^◦ ; б) cos 135^◦ ; в) tg 330^◦ .

7. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите

sin 105°.

8. Упростите выражение: sin α sin β + cos (α +β ).

9. Зная, что sin α = 0, 8, найдите sin 2α.

10. Найдите значение выражения: cos² 15° - sin² 15°.

11. Найдите значение выражения: 2 sin ^π /₈ cos ^π /₈.

12. Представьте в виде произведения: sin 15° + sin 65°.

 

Вариант 2.

1. Углом какой четверти является угол: а) 240^◦ ; б) 35^◦ ; в)120^◦ ; г) - 36^◦ ; д) - 258^◦ .

2. Упростите выражение: а) sin²х - 1; б) sin²х - (1- cos² х);

в) sin х ∙ ctg х.

3. Найти sin х, tg х, ctg х, если cos х = ³/₅, хÎ I четв.

4. Вычислите: а) sin ^π /₄+ cos ^π /₄; б) sin^{2 π} /₆- tg ^π /₄; в) tg 60^◦ ∙ ctg 30^◦

5. Упростите: а) cos (^π /2 - х); б) tg (270^◦ - х); в) ctg (2π + х);

г) sin (^π /₂ + х).6.

6. Вычислите: а) sin 330^◦ б) cos 225^◦ в) tg 150^◦ 1.

7. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите

cos 105°.

8. Упростите выражение: sin (α -β ) - sin (α +β ).

9. Зная, что sin α = 0, 8, найдите cos 2α.

10.Найдите значение выражения: cos² 15° - sin² 15°

11.Найдите значение выражения: 2 sin ^π /₁₂ cos ^π /₁₂.

12.Представьте в виде произведения: cos 40° + cos 10°.

Тема «Многогранники»

 

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота призмы 10 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пример 2. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пример 3. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 4 см, а высота призмы равна 8 см. Найти площадь полной поверхности.

Пример 4. В правильной треугольной призме сторона основания равна 10 см, а высота призмы 15 см. Вычислить площадь полной поверхности.

 

Пример 5. Основанием пирамиды является ромб, сторона основания которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей и равна 7 см.

Пример 6. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60◦ с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро 12 см.

Пример 7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро 6 см. Найти площадь полной поверхности.

Пример 8. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2, а боковое ребро 2. Найти площадь поверхности.

 

Пример 9. Найти площадь поверхности правильного икосаэдра с ребром 2 см.

Пример 10. Найти объем прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если ∟ ВАС=120◦, АВ=5 см, АС=3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см².

Пример 11. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см и апофемой 5 см.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

1. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота призмы 12 см. Найти площадь поверхности призмы.
2. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 16 см, а апофема равна 10 см.
3. Найти объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания 4 см и высотой 8√ 3 см.
4. Найти площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 и 6 см, а высота боковой грани 2√ 3 см.

 

Вариант 2.

1. Основание прямой призмы – квадрат с диагональю 3√ 2 см, высота призмы 10 см. Найти площадь поверхности.
2. Найти объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а высота 9 см.
3. Найти объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания 12 см и высотой 10√ 3 см.
4. Найти площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 и 8 см, а высота боковой грани 4√ 3 см.

 

Домашняя практическая работа «Объем и площадь поверхности многогранника».

1. Начертить развертку многогранника на листе плотной бумаги.
2. Вырезать развертку, оставляя припуски для склеивания фигуры.
3. Склеить модель многогранника.
4. Выполнив необходимые измерения, вычислить площадь полной поверхности многогранника.
5. Выполнив необходимые измерения, вычислить объем многогранника.
6. Оформите практическую работу на отдельном листе и сдайте вместе с моделью на проверку.

 

Тема «Тела вращения»

Задания для работы в аудитории

Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат с диагональю 20√ 2 см. Найти высоту и площадь основания цилиндра.

Пример 2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Пример 3. Найти площадь поверхности цилиндра, высота которого равна диаметру основания и равна 6 см.

Пример 4.Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы без крышки (и с внутренней и с внешней сторон), если диаметр основания бака 1м, а высота 1, 5 м, и если на 1 м² расходуется 200 г краски?

Пример 5. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2, 5% площади ее боковой поверхности?

 

Пример 6. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 60◦. Найти площадь основания конуса.

Пример 7. Осевое сечение конуса- правильный треугольник со стороной 4 см. Найти высоту и площадь основания конуса.

Пример 8. Найти площадь сечения конуса, параллельного основанию, и делящего высоту в отношении 1: 2, считая от вершины, если радиус основания равен 6 см.

Пример 9. Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Пример 10. Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 и 6 см, а высота равна 4 см.

 

Пример 11. Найти площадь сферы диаметром 10 см.

Пример 12. Шар радиуса 41 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найти площадь сечения.

Пример 13. Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько квадратных км земной поверхности занимает суша, если радиус Земли считать приблизительно равным 6000 км?

 

Пример 14. Найти объем цилиндра, диаметр которого равен высоте цилиндра и равен 10 см.

Пример 15. Найти объем конуса, если образующая равна 5 см, а радиус 3 см.

Пример 16. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6 м, образующая 5 м. Найти объем усеченного конуса.

Пример 17. Радиус шара равен 3 см. Найти объем этого шара. Во сколько раз больше будет объем шара, радиус которого в два раза больше?

Пример 18. Найти объем шара, вписанного в куб с ребром 4 см.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

1. Найти площадь поверхности цилиндра, радиус которого равен 4 см, а высота равна 10 см.

2. Высота цилиндра 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на 9 дм, равна 240 дм². Найти радиус цилиндра.

3. Высота конуса 4 см, а угол между высотой и образующей равен 60◦. Найти площадь боковой поверхности конуса.

4. Прямоугольная трапеция с основаниями 5 и 2 см вращается вокруг меньшей боковой стороны, равной 4 см. Найти площадь поверхности полученного при вращении тела.

5. Найти объемы следующих геометрических тел: а) цилиндра с радиусом 4 см и высотой 10см, б) конуса с радиусом 3 см и образующей 5 см. в) шара с радиусом 3 см.

 

Домашняя практическая работа «Объем и площадь поверхности тела вращения».

 

1.Начертить развертку цилиндра или конуса на листе плотной бумаги.

2.Вырезать развертку, оставляя припуски для склеивания фигуры.

3.Склеить модель цилиндра или конуса.

4.Выполнив необходимые измерения, вычислить площадь полной поверхности цилиндра или конуса.

5.Выполнив необходимые измерения, вычислить объем цилиндра или конуса.

6. Оформите практическую работу на отдельном листе и сдайте вместе с моделью.

Задания для подготовки к зачету по теме «Многогранники и тела вращения».

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Вычислить площадь полной поверхности и объем.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 72 см², а площадь основания 16π см². Найти объем цилиндра.

3. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 и 8 см и углом 45◦ вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найти объем тела вращения.

4. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 6 см и высотой 4 см вписан конус. Найти площадь поверхности конуса.

 

5. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 64π см². Найти объем куба.

6. В правильную треугольную призму со стороной основания 4 см и высотой 10 см вписан цилиндр. Найти объем цилиндра.

7.Куб с ребром дм вписан в шар. Найдите объем шара.

Тема «Задачи стереометрии»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Основание пирамиды РАВС- треугольник со сторонами АС=12см, АВ=13см и ВС=5 см. Боковое ребро СР перпендикулярно плоскости основания и равно 12 см. Найти площадь поверхности пирамиды.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Вычислить площадь полной поверхности и объем.

Пример 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 72 см², а площадь основания 16π см². Найти объем цилиндра.

 

Пример 4. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 и 8 см и углом 45◦ вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найти объем тела вращения.

Пример 5. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 6 см и высотой 4 см вписан конус. Найти площадь поверхности конуса.

 

Пример 6. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 64π см². Найти объем куба.

Пример 7. В правильную треугольную призму со стороной основания 4 см и высотой 10 см вписан цилиндр. Найти объем цилиндра.

Пример 8. Куб с ребром дм вписан в шар. Найдите площадь сферы.

Пример 9. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

 

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

 

1. Найти площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы со стороной основания 3 см и высотой 6 см.

2. Найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8см.

3. Найти площадь поверхности и объем конуса, радиус основания которого равен 6 см, а образующая 10 см.

4. В цилиндр вписан шар. Радиус основания цилиндра равен 3 см. Найти объемы шара и цилиндра.

5. Объем данного цилиндра равен 72 см³. Чему равен объем другого цилиндра, радиус которого в два раза больше радиуса данного цилиндра, а высота в 4 раза меньше?

 

Вариант 2.

 

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 60 см², а сторона основания 4 см. Найдите объем призмы.
2. Найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 см и апофемой 5см.
3. Найти площадь поверхности и объем конуса, радиус основания которого равен 3 см, а высота 4 см.
4. В шар вписан цилиндр. Радиус шара равен 5 см. Высота цилиндра 6 см. Найти объемы шара и цилиндра.
5. Объем данного цилиндра равен 72 см³. Чему равен объем другого цилиндра, радиус которого в два раза больше радиуса данного цилиндра, а высота в 2 раза меньше?

 

 

Тренировочный вариант для подготовки к экзамену по математике.

 

Часть 1.

 

А1. Решите уравнение: у²+у-6=0. В ответ запишите сумму полученных корней.

1) -1 2) -5 3) 1 4) 5.

 

А2. Решите неравенство: 3(2х-1)-2(4х-7)< 3.

1) (-∞; 4) 2) (-∞; 4] 3) (4; +∞ ) 4)[4; +∞ ).

 

А3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт ∙ ч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 110 кВт ∙ ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2 руб. 20 коп. за 1 кВт ∙ ч. Год назад А. установил двухтарифный счетчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2 руб. 20 коп. за 1 кВт ∙ ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 80 коп. за 1 кВт ∙ ч.

В течении 12 месяцев режим потребления не менялся. На сколько рублей больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменял счетчик?

1) 506 руб 2) 352 руб 3) 154 руб 4) 1848 руб

 

А4. Упростите выражение: sin (^π /₂ - х) ∙ tg (2π +х) - sin (π + х).

1) 0 2) 2 sin х 3) 2 cos х 4) sin х + cos х.

 

А5. Найдите значение производной функции: f(х) = ¹/₃ х³ - х²+ 2 - 3х + 5 в точке х = 1.

1) 1 2) 5 3) 3 4) -3.

 

А6. Решите неравенство: ( ⅔ ) ^{х + 3} < (⁸¹/₁₆) ^{4 - х}.

 

1) (-∞; ¹⁹/₃) 2) (¹⁹/₃; +∞ ) 3) (-∞; ¹⁹/₃] 4) [¹⁹/₃; +∞ ).

 

А7. Решите уравнение: log₃(х+5) = - 2.

 

1) - 4 ⁸/₉ 2) 4 ⁸/₉ 3) 5 ¹/₃ 4) ¹/₉

Часть 2.

 

_{π / 4}

В1. Вычислите интеграл: а) ∫ 3 sin 2х dх.

⁰

В2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S – вершина пирамиды, O – центр основания, SA =10, BD=16. Найдите объем пирамиды.

В3. Решите уравнение: 2 cos² х – sin х - 1 =0.

 

В4. Найдите наименьшее значение функции f(х) = х³ - 3х² + 3х + 27 на отрезке [-1; 4].

 

Часть 3.

 

С1. Решите систему уравнений: 2^х ∙ 2 ^{- у} = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2 + log₃ 2

 

С2. Вычислите площадь поверхности и объем правильного тетраэдра, длина ребра которого равна 4 см.

 

 

ЖЕЛАЮ УСПЕШНОЙ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА!

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.

Таблица квадратов.

x2

 

Степень числа.

__

аⁿ=а∙ а∙ а∙ …∙ а (n раз), а ^–n =¹/аⁿ, (^а/_в) ^–n = (^в/_а) ⁿ, а^m/n=ⁿ√ а^m

 

Степени некоторых чисел.

 

22=4	32=9	42=16	52=25	62=36	72=49
23=8	33=27	43=64	53=125	63=216	73=343
24=16	34=81	44=256	54=625	64=1296	74=2401
25=32	35=243	45=1024	55=3125
26=64	36=729
27=128	37=2187			82=64	92=81
28=256				83=512	93=729
29=512				84=4096	94=6561
210=1024

 

Свойства степени.

 

1.а^m∙ аⁿ=а^m+n; 2.а^m : аⁿ=а^m+n; 3.(а^m)ⁿ=а^{m∙ n}; 4.(ав)ⁿ=аⁿ∙ вⁿ; 5. (а/в)ⁿ=аⁿ/вⁿ.

 

 

Основные формулы тригонометрии.

 

sin² α +cos²α =1,

sin² α =1 - cos²α,

cos²α =1 - sin² α,

tg α = ^{sin α} / _{cos α,} сtg α = ^{cos α} / _{sin α}

tg α ∙ сtg α = 1;

 

sin(α +β )= sin α cos β + cos α sin β;

sin(α -β )= sin α cos β - cos α sin β;

cos(α +β )= cos α cos β - sin α sin β;

cos(α -β )= cos α cos β + sin α sin β;

 

sin 2α =2 sinα cosα ,

cos 2α = cos²α - sin²α.

 

Формулы приведения.

 

123Следующая ⇒

Поделиться: