Тема «Функции и их свойства. Графики функций»

Задания для работы в аудитории

Пример 1. Решите графически уравнение:

а) –х²= ⁸/_х ; б) –х+7= ⁶/_х.

Пример 2. Постройте графики функций: у= х²; у= х² - 3;

у= (х-2)²; у= (х+3)² - 4.

Пример 3. Постройте график функции у= . Укажите свойства функции.

Пример 4. Постройте график функции у=|х|-2. Назовите свойства этой функции.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

1. Постройте графики следующих функций:

а) у=2х²-4; б) у= ; в) у= - |х|+3.

Опишите свойства этих функций.

2. Решите графически уравнение: 2 = 2 - х.

 

 

Тема «Показательные уравнения и неравенства»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Решите уравнения: а) 2^х =16;

б) 3^х = ¹/₈₁; в) 5^х = 1; г) 2^х ∙ 3^х = 216.

Пример 2. Решите уравнение: а) 5^х-2 = 125;

б) 2 ^х+8 = ¹/₃₂; в) (²/₃)^х = 1, 5.

Пример 3. Решите уравнение: а) 3^х+2 + 3^х = 90; б) 2^х-1 + 2^х = 6; в) 5 ∙ 2^х - 3 ∙ 2^х-1 = 56.

Пример 4. Решите уравнение: а) 9^х – 4∙ 3^х + 3 = 0;

б) 16^х – 17∙ 4^х + 16 = 0.

Пример 5. Решите уравнение: а) 5^х = 8^х;

б) 4 ∙ 9^х - 13 ∙ 6^х + 9 ∙ 4^х = 0.

Пример 6. Решите графически уравнение: а) 2^х=5-х;

б) ( )^х = х+4.

Пример 7. Решите систему уравнений: 4 ^х+у = 16,

4 ^х+2у-1 = 1.

Пример 8. Решите неравенство: а) 3^х < 81; б) (¹/₂)^х > ¹/₁₆;

в) 3^х-2 < ¹/₂₇; г) 5^х-1> .

Пример 9. Решите неравенство: а)3 ^х+2 +3 ^х-1< 28;

б) 2^2х-1+2^2х-2+2^2х-3 ≥ 448.

Пример 10. Решите неравенство: а) 16^х - 5∙ 4^х + 4 < 0; б) 3∙ 9^х + 11∙ 3^х< 4.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

 

1. Решите уравнение: а) 6^х = 216; б) 2^3х-5 = 16;

в) 3 ^-5х+2 = ¹/₈₁; г) 3∙ (²/₅)^х = ¹²/₂₅.

2. Решите уравнение: а) 6^х-2 - 6^х-1 = - 180;

б) 2∙ 2^2х - 17∙ 2^х+ 8 = 0.

3. Решите неравенство: а) 4^х > 256; б) 3^х > ¹/₈₁;

в) (⁵/₇)^3х+4 > ⁴⁹/₂₅; г) ^> 64; д) ^{+ х} < 100.

4. Решите неравенство: (²/₃)^х + (²/₃)^х-1 > 2, 5.

5. Решите неравенство: 5^2х - 6∙ 5^х+5 > 0.

 

Вариант 2.

 

1. Решите уравнение: а) 7^х = 343; б) 2^3х-4 = 64;

в) 5 ^-5х+2 = ¹/₆₂₅; г) 3∙ (²/₅)^х = ¹²/₂₅.

2. Решите уравнение: а) 5^х-1 + 5^х =150;

б) 3^2х -10∙ 3^х + 9 =0.

3. Решите неравенство: а) 2^х > 512; б) 3^х > ¹/₂₄₃;

в) (⁵/₇)^3х+4 > ²⁵/₄₉; г) < 64; д) 7^х2+х < 49.

 

4. Решите неравенство: (²/₃)^х + (²/₃)^х-1 < 2, 5.

5. Решите неравенство: 4^2х - 5∙ 4^х + 4 < 0.

 

Тема «Логарифмы»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Найдите логарифм числа:

а) log₃ 27; б) log₂ ¹/₄; в)log_{√ 2} 8; г) log_1/3 81; д) log_{0, 5} 4.

Пример 2. Решите уравнение: а) log₃ х = -1; б) log_1/6 х = -3; в) lg х = -3; г) lg х = ¹/₂; д) log_х 16 = 4.

Пример 3. Вычислите: а) 3^log₃ ⁵; б) 4^log₂¹⁷; в) 5^log₅^{2 + 1};

г) π ^log_π ^{6 - 1}.

Пример 4. Найдите логарифм выражения:

lg (10х³у^1/2 с^-3).

Пример 5. Найдите х, если:

log₆ х =3 log₆ 2 + 0, 5 log₆ 25- 2 log₆ 3.

Пример 6. Запишите логарифмы log_1/2 а, log₈ а, log_1/4 а, log_{√ 2} а логарифмами по основанию 2.

Пример 7. Решите уравнение: а) log_1/2 (2х-4) = -2;

б) log_{0, 3} (5+2х) = 1; в) log_π (х²+2х+3) = log_π 6.

Пример 8. Решите уравнение: а) lg(х-9) + lg(2х-1) = 2;

б) log₃(х+1) + log₃(х+3) = 1; в) lg(х-1) – lg(2х-11) = lg 2.

Пример 9. Решите уравнение: 2 log₄² х+ 5 log₄ х – 3 = 0.

Пример 10. Решите уравнение графически: log₂х = 3-х.

Пример 11. Решите систему уравнений: log₅(х+у) = 1,

log₆х+log₆у=1

Пример 12. Решите неравенство: а) log₄ х < 3;

б) log_{0, 5} х > 1; в) lg (х-5) > 2;

г) log_1/7 (4х+1)< -2; д) lg(2х-3) < lg(х+1).

Пример 13. Решите неравенство: а) lg х + lg(х-1) < lg 6;

б) lg²х + 2 lg х > 3.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы по теме «Логарифмические уравнения»

 

Вариант 1.

 

1. Вычислите: а)log₂ 16; б)log_1/3 9; в)log_{√ 2} 4; г) log₃ .
2. Решите уравнение: а) log₃ х=-4; б) lg х=-1;

в) lg(х+2) + lg(х-2) = lg(5х+10); г) log₇ log₃ log₂х = 0.

1. Решите уравнение: log₃² х- log₃ х – 6 = 0.

 

Вариант 2.

 

1. Вычислите: а)log₃ 81; б)log_1/4 64; в)log_{√ 2} 2; г)log₃ .
2. Решите уравнение: а) log₅ х = -3; б) lg х = -2;

в) lg(х+1) + lg(х-1) = lg(9х+9); г) log₅ log₃ log₂х = 0.

1. Решите уравнение: lg² х- lg х – 2 = 0.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы по теме «Логарифмические неравенства»

 

Вариант 1.

 

1. Решите неравенство: а) log₅ х> 3; б) log₃(7-4х)< 3; в)log_{0, 5}(х-7) > log_{0, 5}(х+1).
2. Решите неравенство: lg(х-4)+lg(х-3) > lg(17-3х).
3. Решите неравенство: log²₂(х+1) – 3 log₂(х+1) > -2.

 

Вариант 2.

 

1. Решите неравенство: а) log₃ х > 5; б) log₃(8-4х)< 3; в)log_{0, 5}(х-4) < log_{0, 5}(х+1).
2. Решите неравенство: lg(х-2) + lg(х+3) > lg 2х.
3. Решите неравенство: log²₂(х+1) – 3 log₂(х+1) < -2.

 

Задания для подготовки к зачету по теме

«Показательная и логарифмическая функции».

 

Вариант 1.

 

1. Вычислите: а) ; б) ;

в) : .

1. Решите уравнение: = 3.
2. Вычислите: 16^1/4 +27 ^-1/3 + 81 ^3/4 - 8 ^5/3.
3. Решите уравнение: а) 6^х =216; б)2^3х-5 =16;

в) 3^х2-5х+2 =¹/₈₁.

1. Решите уравнение: а) 5^х-1 + 5^х =150;

б) 3∙ 9^х + 26 ∙ 3^х-9=0.

1. Решите неравенство: а) 3^х > ¹/₂₄₃; б) (⁵/₇) ^3х+4 > ²⁵/₄₉.
2. Решите уравнение: а) log₃ х =-4; б) log_х 64=6;

в) lg х=3.

1. Решите уравнение: lg (х+2) + lg (х-2)= lg (5х+10).
2. Решите неравенство: log_{0, 5} (1-3х) > -2.

1. Решите систему уравнений: 2 ^х ∙ 2 ^-у = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2+log₃ 2

 

Вариант 2.

 

1. Вычислите: а) ; б) ;

в) : .

1. Решите уравнение: = - 5.
2. Вычислите: 27 ^1/3+25 ^-1/2+16 ^3/4 - 8 ^{4 / 3}.
3. Решите уравнение: а) 8^х=512; б) 3^2х+7=243;

в) 2^{х - х - 1}= 32.

1. Решите уравнение: а) 6^х-2 - 6^х-1 = -180;

б) 2∙ 4^х - 17 ∙ 2^х + 8 = 0.

1. Решите неравенство: а) 6^х > ¹/₂₁₆; б) (⁴/₃ ) ^2х-1 > ⁹/₁₆.

7. Решите уравнение: а) log₂ х=4; б) log_х 81=4;

в) lg х = - 3.

8. Решите уравнение: lg (х+1) + lg (х-1) = lg (9х+9).

9. Решите неравенство: log₃(7 – 4х) < 3.

1. Решите систему уравнений: 2 ^х ∙ 2 ^-у = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2+log₃ 2.

Тема « Основы тригонометрии»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Упростите выражение: а) 1- cos² х; б) cos² х+(1- sin²х); в) cos х tg х- sin х; г) (1- sin х)(1+ sin х);

д) sin х: tg х + cos х.

Пример 2. Найдите значения cos х, tg х, ctg х, если sin х=0, 6, х Î I чет.

Пример 3. Вычислите: а) 2 sin ^π /₆ + tg ^π /₄; б) sin^{2 π} /₃ +cos^{2 π} /₄

в) ctg ^π /₆ ∙ tg ^π /₃

Пример 4. Упростите: а) cos (^3π /₂+х); б) tg (180^◦ +х);

в) ctg (π – х); г) sin (^π /₂-х).

Пример 5. Вычислите: а) sin 150^◦ ; б) cos 240^◦ ; в) tg 210^◦ ;

г) ctg 225^◦ .

Пример 6. Вычислите:

а) sin 69° cos 21° + cos 69° sin 21°; б) cos 165°;

в) 2 sin15° cos15°; г) cos² 75° - sin² 75°.

Пример 7. Пусть cos α = 0, 6. Найдите sin 2α, cos 2α, tg 2α, если α Î I четв.

Пример 8. Представьте в виде произведения:

а) sin 40^◦ + sin 16^◦ ; б) sin 18^◦ - sin40^◦ ; в) cos ^π /₅ - cos ^π /₁₀;

г) cos 68°- cos 22°

sin 68° - sin 22°

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

1. Углом какой четверти является угол: а) 120^◦ ; б) 48^◦ ; в)100^◦ ; г) - 45^◦ ; д) - 190^◦ .

2. Упростите выражение: а) 1- sin²х; б) sin²х + (1- cos² х);

в) (1- cosх)∙ (1+cosх).

3. Найти sin х, tg х, ctg х, если cos х = 0, 8, хÎ I четв.

4. Вычислите: а) sin ^π _/6 + cos ^π /₃; б) sin^{2 π} /₄ - tg ^π /₄;

в) tg 30^◦ ∙ ctg 60^◦ .

5. Упростите: а) cos (^3π /₂ - х); б) tg (180^◦ - х); в) ctg (π + х);

г) sin (2π -х).

6. Вычислите: а) sin 300^◦ ; б) cos 135^◦ ; в) tg 330^◦ .

7. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите

sin 105°.

8. Упростите выражение: sin α sin β + cos (α +β ).

9. Зная, что sin α = 0, 8, найдите sin 2α.

10. Найдите значение выражения: cos² 15° - sin² 15°.

11. Найдите значение выражения: 2 sin ^π /₈ cos ^π /₈.

12. Представьте в виде произведения: sin 15° + sin 65°.

 

Вариант 2.

1. Углом какой четверти является угол: а) 240^◦ ; б) 35^◦ ; в)120^◦ ; г) - 36^◦ ; д) - 258^◦ .

2. Упростите выражение: а) sin²х - 1; б) sin²х - (1- cos² х);

в) sin х ∙ ctg х.

3. Найти sin х, tg х, ctg х, если cos х = ³/₅, хÎ I четв.

4. Вычислите: а) sin ^π /₄+ cos ^π /₄; б) sin^{2 π} /₆- tg ^π /₄; в) tg 60^◦ ∙ ctg 30^◦

5. Упростите: а) cos (^π /2 - х); б) tg (270^◦ - х); в) ctg (2π + х);

г) sin (^π /₂ + х).6.

6. Вычислите: а) sin 330^◦ б) cos 225^◦ в) tg 150^◦ 1.

7. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите

cos 105°.

8. Упростите выражение: sin (α -β ) - sin (α +β ).

9. Зная, что sin α = 0, 8, найдите cos 2α.

10.Найдите значение выражения: cos² 15° - sin² 15°

11.Найдите значение выражения: 2 sin ^π /₁₂ cos ^π /₁₂.

12.Представьте в виде произведения: cos 40° + cos 10°.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: