Тема «Первообразная. Определенный интеграл»

Задания для работы в аудитории

Пример 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f: а) F(х)=х⁵, f (х)=5х⁴; б) F(х)=¹/₇ х⁷, f (х)=х⁶;

в)F(х)=3+sin х, f (х)=cos х.

Пример 2. Найдите для функции f(х) = первообразную, график которой проходит через точку М (9; -2).

Пример 3. Найти общий вид первообразных для функции f(х):

а) f(х) = 2 - х³; б) f(х) = - sin х;

в) f(х) = 3х⁵ - + ; г) f(х) = 5х² – х + 3; д) f(х) =

Пример 4. Найти общий вид первообразных для функции:

а) f(х) = (4-15х)⁷; б) f(х) = в) f(х) = .

г) f(х) = sin 5х; д) f(х) = cos (3х - ^π /₄);

Пример 5. Для функции f(х) найти первообразную, график которой проходит через точку М:

а) f(х) = 2х + 3, М(1; 2); б) f(х) = sin 2х, М (^π /₂; 5)

Пример 6. Вычислите интеграл: а) ; б) ;

в) ; г) ;

Пример 7. Вычислите интеграл: а) ;

б) ; в) .

Пример 8. Вычислите интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) ; д)

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = в, осью х и графиком функции у = f (х): а) а = 1, в = 2, f(х) = х³; б) а = -2, в = 1, f(х) = х² + 1; в) а = 4, в = 9, f(х) = ; г) а = ,

в = π, f(х) = sin х.

 

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 0, у = 4 - х²; б) у = 0, х = 0, у = (х+2)²; в) у = 0, х = - , х= ;

у = 2 cos 2х.

 

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=х²+1 и прямой у=х+3.

 

Пример 12. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=2t²+t(м/с). Вычислите путь, пройденный телом за промежуток времени от t₁ = 1 до t₂ = 3 с.

 

Пример 13. Скорость прямолинейно движущегося тела равна v(t)=4t-t² (м/с). Вычислите путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

 

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

Вычислите интеграл: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) .

Вариант 2.

 

Вычислите интеграл: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы по теме «Применения интеграла»

 

Вариант 1.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х³; у = 0; х = 2; б) у = 4х - х²; у = 4 - х.

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3t² + 1 (м/с). Вычислите путь, пройденный телом за промежуток времени от t₁ = 0 до t₂ = 4 с.

Вариант 2.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 9 - х²; у = 0; х = -1; х = 2; б) у = 4х - х²; у = х.

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3t² + 1 (м/с). Вычислите путь, пройденный телом за промежуток времени от t₁ = 1 до t₂ = 3.

Тема «Задачи планиметрии»

Задания для работы в аудитории

Задача 1. Углы АВС и СВD – смежные, угол СВD равен 70^◦ . Определите угол между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой АD, и биссектрисой угла АВС.

Задача 2. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого. Докажите, что АС и ВD параллельны.

Задача 3. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120^◦ . Боковая сторона равна 8 см. Найти высоту и основание треугольника.

Задача 4. Биссектриса угла параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки 4 и 6 см. Найти периметр параллелограмма.

Задача 5. Окружность разделена в отношении 4: 6: 8, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

Задача 6. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Найти площадь круга, описанного около этого треугольника.

Задача 7. В треугольнике АВС две стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними 60^◦ . Найти третью сторону и площадь.

Задача 8. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

Вариант 1.

1. Одна сторона прямоугольника равна 12 см, а диагональ 13 см. Найти площадь прямоугольника.
2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а угол, лежащий напротив него, равен 30^◦ . Найдите площадь треугольника.
3. Точки А, В, С делят окружность на 3 дуги в отношении

4: 2: 6. Найти углы АВС, ВСА, ВАС.

1. Окружность описана около правильного треугольника со стороной 3 см. Найти площадь круга.

 

Вариант 2.

1. Основания трапеции равны 48 и 24 см, а высота 4 см. Найдите площадь трапеции.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12, а один из острых углов равен 45^◦ . Найдите площадь треугольника.
3. Точки А, В, С делят окружность на 3 дуги в отношении 2: 5: 8. Найти углы АВС, ВСА, ВАС.
4. Окружность вписана в правильный треугольник со стороной 4 см. Найти длину окружности.

 

Тема «Прямые и плоскости в пространстве»

Задания для работы в аудитории

Задача 1.Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Задача 2. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

Задача 3. Параллельные отрезки А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂ заключены между параллельными плоскостями α и β.

Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ равны.

Задача 4. В треугольнике АВС дано: угол С равен 90^◦ , АС=6 см, ВС=8 см, СМ- медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

Задача 5. Концы отрезка отстоят от плоскости на расстояниях 1 см и 4 см. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости.

Задача 6. Наклонная АМ, проведенная из точки А к плоскости, равна 10 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и плоскостью равен: а)30^◦ ; б) 45^◦ ; в) 60^◦ ?

Задача 7. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСД. Докажите, что треугольники АМД и МСД прямоугольные.

Задача 8. Основание АС равнобедренного треугольника АВС лежит в плоскости ά, а вершина В удалена от плоскости ά на расстояние 4 см. Найдите двугранный угол между плоскостью ά и плоскостью треугольника, если АС=12 см, АВ=10 см.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

1. Один конец данного отрезка лежит в плоскости ά, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости ά.

2. Наклонная АВ равна 8 см, а ее проекция равна 4 см. Найти угол между наклонной и плоскостью.

3. Через вершину В квадрата АВСД проведена прямая ВК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти КД, если ВК=9 см, а сторона квадрата равна 6√ 2 см.

 

Вариант 2.

 

1. Концы данного отрезка лежит по одну сторону от плоскости ά на расстоянии 6 см и 8 см от плоскости. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости ά.

2. Наклонная АВ равна 10 см, угол В между наклонной и плоскостью равен 60◦. Найти длину проекции.

3. Через вершину В квадрата АВСД проведена прямая ВК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти КД, если ВК=9 см, а сторона квадрата равна 6√ 2 см.

 

Тема «Многогранники»

 

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота призмы 10 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пример 2. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пример 3. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 4 см, а высота призмы равна 8 см. Найти площадь полной поверхности.

Пример 4. В правильной треугольной призме сторона основания равна 10 см, а высота призмы 15 см. Вычислить площадь полной поверхности.

 

Пример 5. Основанием пирамиды является ромб, сторона основания которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей и равна 7 см.

Пример 6. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60◦ с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро 12 см.

Пример 7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро 6 см. Найти площадь полной поверхности.

Пример 8. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2, а боковое ребро 2. Найти площадь поверхности.

 

Пример 9. Найти площадь поверхности правильного икосаэдра с ребром 2 см.

Пример 10. Найти объем прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если ∟ ВАС=120◦, АВ=5 см, АС=3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см².

Пример 11. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см и апофемой 5 см.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

1. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота призмы 12 см. Найти площадь поверхности призмы.
2. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 16 см, а апофема равна 10 см.
3. Найти объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания 4 см и высотой 8√ 3 см.
4. Найти площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 и 6 см, а высота боковой грани 2√ 3 см.

 

Вариант 2.

1. Основание прямой призмы – квадрат с диагональю 3√ 2 см, высота призмы 10 см. Найти площадь поверхности.
2. Найти объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а высота 9 см.
3. Найти объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания 12 см и высотой 10√ 3 см.
4. Найти площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 и 8 см, а высота боковой грани 4√ 3 см.

 

Домашняя практическая работа «Объем и площадь поверхности многогранника».

1. Начертить развертку многогранника на листе плотной бумаги.
2. Вырезать развертку, оставляя припуски для склеивания фигуры.
3. Склеить модель многогранника.
4. Выполнив необходимые измерения, вычислить площадь полной поверхности многогранника.
5. Выполнив необходимые измерения, вычислить объем многогранника.
6. Оформите практическую работу на отдельном листе и сдайте вместе с моделью на проверку.

 

Тема «Тела вращения»

Задания для работы в аудитории

Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат с диагональю 20√ 2 см. Найти высоту и площадь основания цилиндра.

Пример 2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Пример 3. Найти площадь поверхности цилиндра, высота которого равна диаметру основания и равна 6 см.

Пример 4.Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы без крышки (и с внутренней и с внешней сторон), если диаметр основания бака 1м, а высота 1, 5 м, и если на 1 м² расходуется 200 г краски?

Пример 5. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2, 5% площади ее боковой поверхности?

 

Пример 6. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 60◦. Найти площадь основания конуса.

Пример 7. Осевое сечение конуса- правильный треугольник со стороной 4 см. Найти высоту и площадь основания конуса.

Пример 8. Найти площадь сечения конуса, параллельного основанию, и делящего высоту в отношении 1: 2, считая от вершины, если радиус основания равен 6 см.

Пример 9. Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Пример 10. Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 и 6 см, а высота равна 4 см.

 

Пример 11. Найти площадь сферы диаметром 10 см.

Пример 12. Шар радиуса 41 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найти площадь сечения.

Пример 13. Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько квадратных км земной поверхности занимает суша, если радиус Земли считать приблизительно равным 6000 км?

 

Пример 14. Найти объем цилиндра, диаметр которого равен высоте цилиндра и равен 10 см.

Пример 15. Найти объем конуса, если образующая равна 5 см, а радиус 3 см.

Пример 16. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6 м, образующая 5 м. Найти объем усеченного конуса.

Пример 17. Радиус шара равен 3 см. Найти объем этого шара. Во сколько раз больше будет объем шара, радиус которого в два раза больше?

Пример 18. Найти объем шара, вписанного в куб с ребром 4 см.

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

1. Найти площадь поверхности цилиндра, радиус которого равен 4 см, а высота равна 10 см.

2. Высота цилиндра 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на 9 дм, равна 240 дм². Найти радиус цилиндра.

3. Высота конуса 4 см, а угол между высотой и образующей равен 60◦. Найти площадь боковой поверхности конуса.

4. Прямоугольная трапеция с основаниями 5 и 2 см вращается вокруг меньшей боковой стороны, равной 4 см. Найти площадь поверхности полученного при вращении тела.

5. Найти объемы следующих геометрических тел: а) цилиндра с радиусом 4 см и высотой 10см, б) конуса с радиусом 3 см и образующей 5 см. в) шара с радиусом 3 см.

 

Домашняя практическая работа «Объем и площадь поверхности тела вращения».

 

1.Начертить развертку цилиндра или конуса на листе плотной бумаги.

2.Вырезать развертку, оставляя припуски для склеивания фигуры.

3.Склеить модель цилиндра или конуса.

4.Выполнив необходимые измерения, вычислить площадь полной поверхности цилиндра или конуса.

5.Выполнив необходимые измерения, вычислить объем цилиндра или конуса.

6. Оформите практическую работу на отдельном листе и сдайте вместе с моделью.

Задания для подготовки к зачету по теме «Многогранники и тела вращения».

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Вычислить площадь полной поверхности и объем.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 72 см², а площадь основания 16π см². Найти объем цилиндра.

3. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 и 8 см и углом 45◦ вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найти объем тела вращения.

4. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 6 см и высотой 4 см вписан конус. Найти площадь поверхности конуса.

 

5. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 64π см². Найти объем куба.

6. В правильную треугольную призму со стороной основания 4 см и высотой 10 см вписан цилиндр. Найти объем цилиндра.

7.Куб с ребром дм вписан в шар. Найдите объем шара.

Тема «Задачи стереометрии»

 

Задания для работы в аудитории

 

Пример 1. Основание пирамиды РАВС- треугольник со сторонами АС=12см, АВ=13см и ВС=5 см. Боковое ребро СР перпендикулярно плоскости основания и равно 12 см. Найти площадь поверхности пирамиды.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Вычислить площадь полной поверхности и объем.

Пример 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 72 см², а площадь основания 16π см². Найти объем цилиндра.

 

Пример 4. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 и 8 см и углом 45◦ вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найти объем тела вращения.

Пример 5. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 6 см и высотой 4 см вписан конус. Найти площадь поверхности конуса.

 

Пример 6. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 64π см². Найти объем куба.

Пример 7. В правильную треугольную призму со стороной основания 4 см и высотой 10 см вписан цилиндр. Найти объем цилиндра.

Пример 8. Куб с ребром дм вписан в шар. Найдите площадь сферы.

Пример 9. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

 

 

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы.

 

Вариант 1.

 

1. Найти площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы со стороной основания 3 см и высотой 6 см.

2. Найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8см.

3. Найти площадь поверхности и объем конуса, радиус основания которого равен 6 см, а образующая 10 см.

4. В цилиндр вписан шар. Радиус основания цилиндра равен 3 см. Найти объемы шара и цилиндра.

5. Объем данного цилиндра равен 72 см³. Чему равен объем другого цилиндра, радиус которого в два раза больше радиуса данного цилиндра, а высота в 4 раза меньше?

 

Вариант 2.

 

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 60 см², а сторона основания 4 см. Найдите объем призмы.
2. Найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 см и апофемой 5см.
3. Найти площадь поверхности и объем конуса, радиус основания которого равен 3 см, а высота 4 см.
4. В шар вписан цилиндр. Радиус шара равен 5 см. Высота цилиндра 6 см. Найти объемы шара и цилиндра.
5. Объем данного цилиндра равен 72 см³. Чему равен объем другого цилиндра, радиус которого в два раза больше радиуса данного цилиндра, а высота в 2 раза меньше?

 

 

Тренировочный вариант для подготовки к экзамену по математике.

 

Часть 1.

 

А1. Решите уравнение: у²+у-6=0. В ответ запишите сумму полученных корней.

1) -1 2) -5 3) 1 4) 5.

 

А2. Решите неравенство: 3(2х-1)-2(4х-7)< 3.

1) (-∞; 4) 2) (-∞; 4] 3) (4; +∞ ) 4)[4; +∞ ).

 

А3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт ∙ ч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 110 кВт ∙ ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2 руб. 20 коп. за 1 кВт ∙ ч. Год назад А. установил двухтарифный счетчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2 руб. 20 коп. за 1 кВт ∙ ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 80 коп. за 1 кВт ∙ ч.

В течении 12 месяцев режим потребления не менялся. На сколько рублей больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменял счетчик?

1) 506 руб 2) 352 руб 3) 154 руб 4) 1848 руб

 

А4. Упростите выражение: sin (^π /₂ - х) ∙ tg (2π +х) - sin (π + х).

1) 0 2) 2 sin х 3) 2 cos х 4) sin х + cos х.

 

А5. Найдите значение производной функции: f(х) = ¹/₃ х³ - х²+ 2 - 3х + 5 в точке х = 1.

1) 1 2) 5 3) 3 4) -3.

 

А6. Решите неравенство: ( ⅔ ) ^{х + 3} < (⁸¹/₁₆) ^{4 - х}.

 

1) (-∞; ¹⁹/₃) 2) (¹⁹/₃; +∞ ) 3) (-∞; ¹⁹/₃] 4) [¹⁹/₃; +∞ ).

 

А7. Решите уравнение: log₃(х+5) = - 2.

 

1) - 4 ⁸/₉ 2) 4 ⁸/₉ 3) 5 ¹/₃ 4) ¹/₉

Часть 2.

 

_{π / 4}

В1. Вычислите интеграл: а) ∫ 3 sin 2х dх.

⁰

В2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S – вершина пирамиды, O – центр основания, SA =10, BD=16. Найдите объем пирамиды.

В3. Решите уравнение: 2 cos² х – sin х - 1 =0.

 

В4. Найдите наименьшее значение функции f(х) = х³ - 3х² + 3х + 27 на отрезке [-1; 4].

 

Часть 3.

 

С1. Решите систему уравнений: 2^х ∙ 2 ^{- у} = ¹/₁₂₈,

log₃ х+log₃ у=2 + log₃ 2

 

С2. Вычислите площадь поверхности и объем правильного тетраэдра, длина ребра которого равна 4 см.

 

 

ЖЕЛАЮ УСПЕШНОЙ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА!

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.

Таблица квадратов.

x2

 

Степень числа.

__

аⁿ=а∙ а∙ а∙ …∙ а (n раз), а ^–n =¹/аⁿ, (^а/_в) ^–n = (^в/_а) ⁿ, а^m/n=ⁿ√ а^m

 

Степени некоторых чисел.

 

22=4	32=9	42=16	52=25	62=36	72=49
23=8	33=27	43=64	53=125	63=216	73=343
24=16	34=81	44=256	54=625	64=1296	74=2401
25=32	35=243	45=1024	55=3125
26=64	36=729
27=128	37=2187			82=64	92=81
28=256				83=512	93=729
29=512				84=4096	94=6561
210=1024

 

Свойства степени.

 

1.а^m∙ аⁿ=а^m+n; 2.а^m : аⁿ=а^m+n; 3.(а^m)ⁿ=а^{m∙ n}; 4.(ав)ⁿ=аⁿ∙ вⁿ; 5. (а/в)ⁿ=аⁿ/вⁿ.

 

 

Основные формулы тригонометрии.

 

sin² α +cos²α =1,

sin² α =1 - cos²α,

cos²α =1 - sin² α,

tg α = ^{sin α} / _{cos α,} сtg α = ^{cos α} / _{sin α}

tg α ∙ сtg α = 1;

 

sin(α +β )= sin α cos β + cos α sin β;

sin(α -β )= sin α cos β - cos α sin β;

cos(α +β )= cos α cos β - sin α sin β;

cos(α -β )= cos α cos β + sin α sin β;

 

sin 2α =2 sinα cosα ,

cos 2α = cos²α - sin²α.

 

Формулы приведения.

 

1)Если в формуле приведения содержится ^π /₂ или ^3π /₂ (90^◦ или 270^◦ ), то функция меняется на кофункцию, а если π или 2 π (180^◦ или 360^◦ ), то не меняется.

2) Перед полученной функцией ставится тот знак, который имела исходная функция в данной четверти.

 

 

Знаки тригонометрических функций.

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.

 

ά	0◦	30◦	45◦	60◦	90◦	180◦	270◦
ά, рад		π /6	π /4	π /3	π /2	π	3π /2
sin ά		1/2	√ 2/2	√ 3/2			-1
соs ά		√ 3/2	√ 2/2	1/2		-1
tg ά		√ 3/3		√ 3	-		-
сtg ά	-	√ 3		√ 3/3		-

 

Формулы для решения тригонометрических уравнений.

 

соs t =а t = + аrcсos а +2π n, nÎ Z.   Частные случаи. соs t = 1, t=2π n, nÎ Z соs t = -1, t=π +2π n, nÎ Z соs t = 0, t= π /2+ π n, nÎ Z	sin t =а t=(-1)n аrcsin а + π n, nÎ Z. Частные случаи. sin t = 0, t = π n, nÎ Z. sin t = 1, t = π /2+ 2π n, sin t =-1, t = -π /2+ 2π n, nÎ Z.
tg t = а. t = arctg а+ π n, nÎ Z.	сtg t = а. t = arcсtg а+ π n, nÎ Z.

Таблица производных.

 

f(х)	хn	1/х	√ х	С	х	sin х	cos х	tg х
f ∕ (х)	n∙ хn-1	-1 х2	1__ 2√ х			сos х	-sin х	1__ сos2х

 

Правила нахождения производных.

 

1. (u+v) ^∕ =u ^∕ +v ^∕ .
2. (uv) ^∕ =u ^∕ v+uv ^∕ .
3. (Сu) ^∕ =Cu ^∕ .
4. u ^∕ u ^∕ v - u v ^∕

v = v²

 

5. g (f (х)) ^∕ = g ^∕ (f (х)) ∙ f ^∕ (х).

 

Таблица некоторых первообразных.

 

Функция f (х)	1/√ х	k	1/х2	хn	sin х	cos х	1 cos2х	1 sin2х
Одна из перво- образных	2√ х	kх	-1/х	хn+1 n+1	-cosх	sinх	tg х	ctg х

 

Правила нахождения первообразных.

 

1. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.
3. Для сложной функции f(kх+b) первообразная равна ¹/_k∙ F(kх+b).

Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а; в], то справедлива формула

а

∫ f(х) dх = F(а) – F(в).

в

Планиметрия. Фигуры и их свойства.

Треугольник

Если ввести обозначения: а, b, с – стороны; α, β, γ – углы; r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности; S – площадь треугольника, то основные соотношения в произвольном треугольнике выглядят следующим образом:

а < b + с – неравенство треугольника;

α + β + γ = 180°;

а² = b² + с² – 2 bс∙ соs α – теорема косинусов;

- теорема синусов;

; R = ; S = ah_a; S = ab sin γ ;

S = , где p = (а+b+с).

В прямоугольном треугольнике выполняются следующие соотношения:

с² = а² + b² – теорема Пифагора.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половинегипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника S = ½ а∙ b, где а и b – катеты.

Площадь правильного треугольника S =

Для правильного треугольника:

а₃ = 2r ; а₃ = R , где а₃ – сторона правильного треугольника.

 

Четырехугольник

 

Площадь параллелограмма S=ah;

Площадь ромба d₁d₂, где d₁ и d₂ – диагонали;

Площадь трапеции S = , где a, b – основания, h – высота; средняя линия .

Если a+b = c+d, где а, в – основания, c, d – боковые стороны, то в трапецию можно вписать окружность.

Окружность

Длина окружности С = 2 R; площадь круга S = R². Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(х₀; у₀) имеет вид: (х-х₀)² + (у-у₀)² = r², если центр окружности – начало координат, то уравнение окружности х²+у² = r².

 

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: