Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

К таким уравнениям относятся уравнения вида

.

Путем алгебраических преобразований данное уравнение приводят к уравнениям вида , называемым уравнениями с разделенными переменными. Функции , считают непрерывными.

После интегрирования уравнения находим общее решение дифференциального уравнения или общий интеграл: . Здесь – общее решение.

 

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Уравнение называется однородным, если P и Q однородные функции от x и y одинакового измерения.

Однородные уравнения приводятся к виду и решаются подстановкой как уравнения с разделяющимися переменными.

 

Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

1) Уравнение вида решается последовательным n-интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

2) Уравнение , не содержащее y в явной форме, приводиться подстановкой , к уравнению первого порядка .

3) Уравнение , не содержащее x в явной форме, подстановкой , приводиться к уравнению первого порядка .

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение , в котором коэффициенты постоянны, можно привести к уравнению вида

Частное решение такого уравнения ищется в виде функции . Дважды дифференцируя эту функцию и подставляя выражения , , , получим уравнение . Так как , то, сокращая на , получим уравнение .

Алгебраическое уравнение для определения коэффициента k называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет два корня. Эти корни могут быть или действительными различными, или действительными и равными, или комплексными сопряженными.

Приведем таблицу формул общего решения уравнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

 

Уравнение
Характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения
Фундаментальная система частных решений
Формула общего решения

 

Решение типовых задач

1) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

xydx + (x + 1)dy = 0.

Решение:

Задано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные: (x + 1)dy = – xydx;

;

проинтегрируем уравнение: ;

;

.

Таким образом, – общее решение дифференциального уравнения.

2) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

.

Решение:

Задано однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Приведем его к виду :

.

Подстановкой , , приведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: .

Разделим переменные: .

Проинтегрируем последнее уравнение:

;

.

Выполним обратную подстановку: так как , то получаем:

или – общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

 

3) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

.

Решение:

Задано дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее х в явном виде.

Понизим порядок данного уравнения подстановкой , :

.

Разделим переменные: .

Проинтегрируем последнее уравнение:

.

Так как , то получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделим переменные и проинтегрируем:

;

.

Найдем левый интеграл, используя метод замены переменной:

(т. к. , поэтому получаем) .

Окончательно находим:

.

Таким образом, – общее решение дифференциального уравнения.

4) Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение

, , .

Решение:

Задано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

.

По теореме Виета находим корни: , то есть корни действительные и различные. Из таблицы формул общего решения находим, что , есть общее решение заданного дифференциального уравнения.

Значения постоянных найдем из начальных условий:

Вычисляем производную и получаем систему линейных уравнений:

.

Запишем частное решение: .

Таким образом, – частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

 

Упражнения

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14.

 

Задание 2. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1. , при x=0, y=0;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Задание 3. Найти общее решение и, где указано, частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1.

2.

3.

4.

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.

 

 

Основы теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей должна давать количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозможные.

Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.

Виды случайных событий

Случайные события подразделяются на следующие виды: равновозможные, несовместные и совместные.

Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них в результате испытания имеет больше шансов осуществиться, чем другие.

События называются несовместными, если в результате испытания осуществление одного из них исключает осуществление остальных.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий

Если в результате испытания обязательно осуществится одно и только одно из несовместных событий , то эти события называются полной группой событий.

Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными.

Исходы испытания

Несовместные события, имеющие одинаковую возможность осуществиться, называются исходами испытания.

Исходы называются благоприятными для события , если осуществление любого из исходов является вместе с тем осуществлением события .

Операции над событиями

Определение. Если при каждом осуществлении заданного комплекса условий, при котором происходит событие , происходит и событие , то говорят, что влечёт за собой , и обозначают символом или .

Если влечет за собой и в то же время влечёт за собой , т.е. события и оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события и равносильны, и обозначают символом .

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением (или пересечением) событий и , и обозначается символом или .

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , (возможно, двух сразу), называется суммой (или объединением) событий и , и обозначается символом или

Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называется разностью событий и , и обозначается символом или .

Достоверное событие обозначают с помощью символа , а невозможное – с помощью символа .

Событие, противоположное событию , обозначают с помощью символа .

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий.

Понятие вероятности

123Следующая ⇒

Поделиться: