Подход – на основе решения практических задач

М.И. Моро

• последовательно один за другим рассматриваются отрезки ряда натуральных чисел (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3….9). Каждый ряд – новое число выделяется цветом. Основные приемы: прочтение чисел, счет предметов, выделение нового для изучаемого числа.
• при изучении нового числа, каждый раз работа организуется по одинаковой схеме. Учащимся представляется новое число, рассматриваются различные предметные совокупности связанные с этим числом. Рассматривается способ получения этого числа через сложение или вычитание с записью равенств и выражений.
• закрепление через выполнение упражнений (счет предметов, ответ на вопрос сколько и который, установление отношений между множествами больше, меньше, столько же; присчитывание по одному, запись выражений, равенств к картинкам.

Н.Б. Истомина

• уточнение имеющихся у детей представлений о числах первого десятка осуществляется в процессе изучения темы «признаки предмета». Основные приемы: сравнение предметных совокупностей, анализ картинок, вопросы «что изменилось? », счет по порядку.
• число – рассматривается как характеристика предметных совокупностей.
• все понятия темы рассматриваются в логической последовательности.: признаки предметов – цифра – принцип построения ряда натур. чисел – сравнение чисел – смысл арифм. чисел – мат. выражения и равенство
• цифры изучаются не в той последовательности, в котором расположены цифры в ряду натуральных чисел, а по общности элементов при написании (1, 4, 7); (3, 6, 8, 9); (2, 5)
• закрепление изученного осуществляется в процессе выполнения упражнений, стимулирующие активную мыслительную деятельности (анализ и сравнение, классификацию, обобщение и т.д.)

УМК «Система развивающего обучения Л. В. Занкова» Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результата пересчета предметов => N возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а основ­ным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элемен­тами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях «боль­ше», «меньше», «равно», «не равно» как между множествами, так и между соответствующими им числами.. ОСОБЕННОСТЬ: Уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении в пер­вом классе такой величины как «длина», а в последующие годы обучения в начальной школе - «масса », «вместимость », «пло­щадь» и разнообразных других величин.

***Число нуль является характеристикой пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того, чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приемы.

1) установление соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.

2) Другой прием знакомит младших школьников с нулем как результатом вычитания. Для этой цели учащимся предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают (рассказывают, что нарисовано на картинке), а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами. Следует иметь в виду, что при таком введении числа нуль у детей может сложиться неправильное представление о числе нуль как результате вычитания 1-1. Для введения числа нуль можно придумать другие ситуации, связанные с изменением количества. Например, на фланелеграфе 3 зайца. Ученики закрывают глаза, учитель в это время изменяет количество зайцев (добавляя одного). Математическая запись выполненного предметного действия выглядит так: 3+1 =4. Затем рассматриваются ситуации, соответствующие записям: 4 + 2 = 6, 6-2 = 4, 4 + 3 = 7ит. д. Наконец, дети закрывают глаза, но учитель оставляет картинку без изменения. Возникает вопрос - как записать такое «изменение» математическими знаками? Для этой цели можно использовать число нуль: 4 + 0 = 4, 4-0 = 4.

3) Это число можно сравнить с другими числами, получаем, что 0  1. Отсюда следует, что его место в ряду чисел перед 1. Таким образом, получаем такой ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Изучение отношений «равно», «больше», «меньше» между числами.

Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели. В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимно-однозначных соотвествия между элементами 2-ух множеств. Для записи отношений между числами учитель знакомит детей со знаками > (больше), меньше и равно и с математическими записями, которые называются равенствами или неравенствами. В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов. Пр.: 5< 9, т.к. число 5 называется при счете раньше, чем 9. В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.

Правила сравнения многозначных чисел

ПРАВИЛО №1 Обращаем внимание сначала на кол-во цифр в их записи =больше то многозначное число, в записи которого больше цифр.

ПРАВИЛО № 2- если кол-во в записи чисел одинаково, то их сравнивают поразрядно:

(для наглядности на первых порах можно записать числа в таблицу разрядов). Процесс сравнения начинается со старшего разряда ( первый слева) и продолжается до нахождения неравных значений разрядов. Больше будет то число, у которого значения соответствующегоразряда больше.

Например: сравниваем сотни тысяч, затем десятки тысяч, а в единицах тысяч в одном числе «5», а в другом –«6», дальше нет необходимости сравнивать разряды. Первое число меньше.

2. Методика изучения сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

Трактовка понятия сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

В НКМ находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицат. чисел, в соответствии с которым сложение Z0 связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, вычитание – с операцией дополнения выделенного подмножества.

Суммой 2-ух целых неотриц. чисел а и в наз-ся число элементов объединения конечных непересекающ. мн-в А и В, таких что мн-во А содержит а элементов, мн В – в элементов. ПРИМЕР: Найдем объед-ие мн-в А и В, где n(A)=а, n(B)=b, А∩ В=(пустое мн-во), АỤ В={a.b, с.d, е.f.p}подсчитаем число элементов АỤ В, n(АỤ В)=7, значит сумма чисел 4 и 3 равна 7.

Действие, при пом. кот. находят сумму наз-ся сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).

1.Разностью натур. чисел а и в назыв. число эл-ов дополнения мн-ва В до мн-ва А при условии, что В подмн-во А и мн-во А содерж. а элементов, а мн-во В соодерж. в элементов. Действие, при помощи кот. находят разность, назыв. вычитанием. ПРИМЕР: 4-3 Возьмём мн-ва А и В. n(А)=4, n(В)=3. В - подмно-во А, А{§·Ñ ð } В={§·Ñ } Находим дополнение А\В={ð } n(А\В)=4-3=1.

 

2. Определение разности через сумму: разностью натур. чисел А и В назыв. такое натур. число С, сумма кот. и числа в равно а. а-в=с, с+в=а.

В НКМ устанавливают взаимосвязь между действиями слож и вычит. Эта взаимосвязь формулир-ся в виде правил, устанавл-щих связь между компонентами и рез-м действий слож. и вычит.: 1) Если из суммы вычесть одно слаг., то получим др. слаг. 2) Если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Методика ознакомления учащихся со сложением и его свойствами.

В основе одного из подходов лижет выполнение учащимися предметных действий и их интерпритация в виде графических и символических моделей. Де-ть учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями. Например: детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша запускают рябок в один аквариум.

1 этап. Дети рассказывают, что делают Миша и Маша на картинках. (Миша запускает 2 рыбки, а Маша-3)

Учителю важно подчеркнуть, что рыбки детей объединяются вместе в одном аквариуме.

2 этап. Учитель сообщает, что действия Маши и Миши можно записать на языке математики. Эти записи даны под картинками и являются мат выражениями, которые в матем называются суммой. Выясняется, чем похожи эти выражения ( в каждом два числа и знак +) и как можно прочитать их ( по –разному: «2 плюс 3, к двум прибавить три, сложить числа 2 и 3»)

3.Дети упражняются в чтении данных выражений

4. Теперь нужно соотнести каждое из этих выражений с соотв картинкой. Выполняя это задание, дети ориентируются на число предметов, которые объединяют Маша и Миша.

5. Помимо выражений каждой картинке можно поставить в соответствие определенное число. (Об этом дети также могут догадаться, пересчитав предметы на каждой картинке)

6. В результатете этой работы учитель показывает, как записать равенство, и знакомит детей с эти понятием, а также с термином «значение суммы».

 

Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. В этом случае для приведенной выше ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили». Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2) или равенство (4+2=6).

 

Сложение натуральных чисел обладает свойствами: переместительным свойством (свойство коммутативности) и сочетательным свойством (свойством ассоциативности), доказанными и в теории множеств и в аксиоматической теории.

Переместительное свойство заключается в том, что от перестановки слагаемых значение суммы не меняется, например: 2+1=1+2. Данное свойство изучается в 1 классе, при изучении сложения чисел в пределах первого десятка.

С переместительным свойством можно познакомить школьников следующим образом:

1. Решить пары примеров вида: 3 + 4 и 4 + 3, сравнить, чем похожи и чем отличаются решенные примеры, затем подвести детей к определенному выводу: от перемены слагаемых сумма не изменяется. Аналогично рассматриваются ещё 2 – 3 пары примеров.

2. Можно начать работу с рассмотрения действий с предметными множествами. Приведём вариант примерных рассуждений учителя с учащимися.

 

- положите 4 больших треугольника и ещё 3 маленьких. Сколько всего треугольников? (7).

 

- положите 3 красных кружка и 4 зеленых. Сколько всего кружков? (7).

 

Результат практического действия переводится на язык математики и делаются записи. 4 +3 = 7 и 3 + 4 = 7. Сравниваю записи, выясняют, чем похожи и чем отличаются и делают соответствующие выводы.

 

Знакомство с новым вычислительным приёмом целесообразно начинать с рассмотрения проблемной ситуации. С решения задачи практического характера: «На одном пришкольном участке дети собрали 2 мешка картофеля, на другом 7. Сколько всего картофеля собрано с двух участков? Необходимо сложить их вместе. Как удобнее, 7 мешков перенести к двум или 2 мешка перенести к семи? ». Практическая ситуация переводится на математический язык: 2 +7 или 7 + 2.

 

Опираясь на жизненную ситуацию и наблюдения, дети убеждаются, что далеко не безразлично как выполнять сложение и выбирают удобный способ.

 

 

Возможен и другой вариант моделирования переместительного свойства сложения:

Т=▲ ▲ ▲ Т+К=▲ ▲ ▲ ■ ■

К=■ ■ К+Т=■ ■ ▲ ▲ ▲

 

 

Сочетательное свойство или правило группировки слагаемых заключается в том, что значение суммы нескольких слагаемых не зависит от порядка, в котором выполняются действия сложения, например: (8+3)+7=8+(3+7). Сочетательное свойство используется для рационального вычисления. Обратим внимание на несколько приемов сложения, в которых применение данного свойства необходимо:

 

При сложении однозначных чисел с переходом через разряд. Например, для того, чтобы выполнить сложение, например, 7+5, нужно второе слагаемое представить в виде суммы удобных слагаемых 3+2 и применить сочетательное свойство, то есть изменить порядок сложения:

 

Ознакомление с этим свойством можно начинать с решения примера: (4+3)+2. Иллюстрация примера: на наборном полотне выкладывают 4 красных больших кружка, 3 синих треугольника и 2 синих кружка

 

Предлагается составить примеры: (4 + 3)+2=9, 4 +3 +2=9, 4+(3+2)=9. Сравнив полученные примеры и их результаты, школьники смогут сделать вывод: при сложении трёх слагаемых результат не изменяется, если соседние слагаемые заменить их суммой. Затем по аналогии дети подводятся к правилу: при сложении трёх и более слагаемых соседние числа можно заменить их суммой.

 

Особенности изучения таблицы сложения однозначных чисел в различных методических системах.

Подход учебнике М1М к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться теоретической линией курса, предметными действиями, методическими приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного запоминания таблиц используется специальная система упражнений.

Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия: 1) принцип построения натурального ряда чисел – присчитывание и отсчитывание по 1; 2) смысл сложения и вычитания – присчитывание и отсчитывание по частям; 3) переместительное свойство сложения – перестановка слагаемых; 4) взаимосвязь сложения и вычитания – правило: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

Составление таблиц 1) группы не вызывает затруднения. При формировании вычислительных навыков для случаев сложения и вычитания, представленных во 2), 3), 4) группах, работа организуется в соответствии с определенными этапами: 1 – подготовка к знакомству с вычислительным приёмом; 2 – ознакомление с вычислительным приёмом; 3 – составление таблиц с помощью вычислительных приёмов; 4 – установка на запоминание таблиц; 5 – закрепление таблиц в процессе тренировочных упражнений.

В формировании вычислительных навыков в школьной практике используются различные подходы:

· Можно просто выучить таблицы сложения, умножения и соотв. случаи деления и вычитания; закрепить их в процессе решения примеров, так как сами примеры представляют собой таблицу, только вразбивку. Познавательная деятельность в этом учащихся в этом случае характеризуется активной работой памяти и напряжением произвольного внимания.

· При втором подходе учащиеся знакомятся с различными вычислительными приёмами, самостоятельно составляют таблицы и непроизвольно запоминают их в процессе выполнения различных вычислительных упражнений.

· Третий подход отличается от второго тем, что в определённый момент, после использования предметных действий и различных вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание.

 

УМК " Гармония" и мы пользуемся именно этими моделями= Треугольник " Десяток". Один треугольник сгодится для упражнений по составу числа в пределах 10, несколько треугольников + отдельные кружочки - помогут разобраться с переходом через десяток и действиями в пределах 100.

 

Методика ознакомления младших школьников с вычитанием. Нахождение неизвестного компонента сложения (вычитания).

 

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

a) уменьшение данного предметного мно-ва на несколько предметов (путем зачеркивания)

b) уменьшение мно-ва, равночисленному данному, на несколько предметов

c) сравнение двух предметных мно-в, т.е. ответ на вопрос: «На сколько предметов в одном мно-ве больше, чем в другом? »

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов. Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было пять кукол. Две она подарила Тане. Покажи куклы, которые у нее остались». Дети рисуют 5 кукол, зачеркивают 2 и показывают куклы, которые у нее остались.

Для разъяснения смысла вычитания, также как и сложения, можно использовать представления детей о соотношение целого и части. В этом случае куклы, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «куклы, которые она подарила и куклы, которые у нее остались».

Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая части и целое их числовыми значениями, дети получают выражение 5 - 2 или равенство 5 - 2 = 3. В процессе выполнения у предметных действий, соответствующих ситуации б) у детей формируется представление о понятие «меньше на».

 

При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:

 

Учитель задает вопрос:

- В каком ряду кругов больше? (Вопрос почти никогда не вызывает затруднений.)

 

- На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Вопрос также не вызывает затруднений, потому что дети ориентируются на количество предметов, оставшихся без пары.) Однако свой ответ первоклассники никак не связывают с выполнением вычитания, так как никаких действий с предметами они не выполняют. Для того чтобы ребята могли осознать связь вопроса: «На сколько больше (меньше)? » с вычитанием, нужно направить их деятельность на решение этой задачи. Опишем возможный вариант.

 

К доске вызываются два ученика. Каждому из них дается фланелеграф с кругами. У одного из мальчиков (Вити) 7 кругов, у другого (Коли) — 5 кругов. Ученики встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга. Класс также не видит этих кругов. Учитель обращается к классу:

 

- Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: мальчики, стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу. Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на поставленный вопрос.

 

Дети приступают к выполнению задания. Наступает момент, когда один из уче­ников говорит:

 

- У меня нет больше кругов.

 

- А у тебя еще остались круги? — спрашивает учитель у другого. (Да.)

Учитель обращается к классу:

 

- Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого мень­ше?

 

- Как ты догадался? (У кого круги остались, у того больше.)

 

- А вот сколько кругов осталось, мы не знаем. Но я вам скажу, сколько кругов было у Вити. Может быть, тогда вы догадаетесь, какое нужно выполнить действие, чтобы ответить на вопрос: «На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли? »

 

(Дети в раздумье...)

 

-Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов мне дал Коля, а сколько Витя.

(Одинаково. Коля — 5 и Витя — 5.)

 

-А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Тогда вы сможете ответить на вопрос: «Сколько кругов у него осталось? » или «На сколько у Вити кругов больше, чем у Коли? » (Нужно из 7 вычесть 5.)

 

В истинности ответа учащиеся могут убедиться, проанализировав рисунки.

 

Какие числовые равенства нужно записать, чтобы ответить на вопрос под каждой картинкой:

 

В результате у первоклассников формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее».

 

При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опираться на представления детей о соотношении целого и части. Для этого необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос: «На сколько больше... (меньше)? » мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей совокупности, т. е. выполняем вычитание.

 

Нахождение неизвестного компонента сложения (вычитания)

 

В основе усвоения взаимосвязи между компонентами и результатами сложения и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. стоит отметить, что особую трудность для детей представляет вычленение и удаление части множества, т.е. осознание тех предметных действий, который связаны со смыслом вычитания.

Методические приемы:

1.Работая у доски с рисунками и дидактическими пособиями, полезно сначала предложить ученику показать предметные совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них. Например, на доске 3 гриба, из них вычленяется и отодвигается один. Ученикам предлагаются задания: Покажи а) сколько сначала было грибов б) те грибы, которые отодвинули, а затем те, которые остались. При этом жест, указывающий на целое должен быть особенным, это будет позволять перейти к выводу.

2. Выполняя задания с рисунками, к которым дана запись вида _ -_=_, рекомендуется заполнять «окошки» не только в прямом порядке, но и начиная с любого. Например, после выяснения содержания рисунка учитель может спросить: «Какое число нужно записать после знака минус? После знака равенства? А теперь покажите на рисунке тех птичек, которые нужно записать в первом окошке.

3. Из 6 карточек откладываются 2 и производится запись 6-2=4ю Учитель обращает внимание на то, что в записи имеются три числа. Ученикам предлагает взять карточки: одному-6, другому-2, третьему-4. И все это должно быть сделано одновременно. При выполнения задания обнаруживается, что все карточки либо забирает один ученик и тогда остальным ничего не достается, либо двое забирают, а одному ничего не достается. Итог – подчеркиваем, что карточки каждого из двух ребят – это части того, что должен взять третий.

Игровая форма помогает детям усвоить взаимосвязь между компонентами и результатами действий сложения и вычитания. Однако, осознавая «предметную» взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все дети могут описать её, пользуясь

математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. В этом случае целесообразно использовать понятия целого и части и соотношение между ними (часть всегда меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая).

Понятие целого и части позволяет как бы «материализовать» такие термины, как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое (например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью).

 

Отношения «больше на …», «меньше на …» и их связь со сложением и вычитанием.

Пусть a и b – целые неотрицательные числа, такие, что n(A) = a, n(B) = b, и установлено, что a < b. Это значит, что в множестве В можно выделить собственное подмножество В 1, равномощное множеству А, и множество В\ В 1 не пусто. Пусть n(В\ В 1 ) = с и с не равно 0. Тогда в множестве В элементов столько же, сколько в множестве А, да еще с элементов. В этом случае говорят, что число а меньше числа b на с или что число b больше числа а на с. Так как с = n(В\ В 1 ), где В 1 является подмножеством В, то c = b – a. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Теоретико-множественный смысл отношений «меньше на», «больше на», позволяют обосновать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

ПРИМЕР: Задача: Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько было девочек? Решите задачу и обоснуйте выбор ее решения.

Решение. В задаче речь идет о двух множествах: множестве А мальчиков, множестве В девочек. Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n(A) = 6. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько в А, только без двух. Таким образом, n(B) = n(A 1 ) = n(A) – n(A\ A 1 ) = 6 – 2 = 4.

Ответ: девочек во дворе было 4.

Методика изучения приемов устного сложения и вычитания натуральных чисел.

При сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел, так же как при сложении и вычитании однозначных, учащиеся пользуются различными вычислительными приемами.

Формирование понятий об арифметических действиях начинается с первых уроков математики и проводится на основе практических действий я различными множествами предметов.

 

Случаи сложения и вычитания в пределах 10

1 этап _+1, _-1

прием + 1 –назвать следующее число, -1 – назвать предыдущее число.

 

2 этап +-2, +-3, +-4

Прием: сложение и вычитание по частям

Ознакомление с приемом: Задача - Мальчик нашел на одной поляне 4 гриба, а на другой – 2 гриба. Сколько всего грибов нашел мальчик? Обучаем приему: Кладем в корзину 4 гриба, а 2 гриба он срывал по одному: сначала 1 и положил в корзину. Сколько стало? (5) Одновременно ведется запись на доске 4+2=6

4+1+1=6

 

3 этап _ +5, _+6, _+7, _+ 8, _+9

Прием: перестановка слагаемых

Свойство вводится индуктивным путем. Это значит, что на основе наблюдения нескольких частных фактов с использованием наглядности, метода беседы, записей на доске и в тетради учитель ведет к обобщению.

Ознакомление с приемом: запись 1+6=7 кладется черный кубик и к нему по одному надстраиваются еще 6. далее наоборот: запись 6+1=7 и на 6 белых кубиков кладется один черный. В процессе беседы подводим к выводу, что удобнее к большему числу прибавить меньшее и от перестановки слагаемых значение суммы не меняется.

4 этап 6-_, 7-_, 8-_, 9-_, 10-_

Прием: правило взаимосвязи компонентов при сложении

Цель: подвести к выводу, что если из суммы 2-ух чисел вычесть одно из слагаемых, то получим другое слагаемое. Вводится индуктивным путем. Дается тройка примеров

4+2=6

6-4=2

6-2=4

После нескольких фактов подводим детей к обобщению.

С целью подготовки повторяется взаимосвязь компонентов сложения и состав чисел.

Ознакомление с приемом:

7-5= или 7-5=2

7=5+2

5 2

Рассуждения ученика: « 7-это 5 и 2. Если из суммы выесть одно из слсгаемых, то получим другое слагаемое. Значит, 7-5=2.»

 

Можно также использовать прием дополнения: 9-7 – сколько надо добавить к 7, чтобы получить 9?

Табличное сложение и вычитание в пределах 20

СЛОЖЕНИЕ Прием: прибавление числа по частям: сначала дополняют первое слагаемое до 10, потом прибавляют остальные единицы

Знакомство с приемом: учитель демонстрирует наборное полотно и просит сосчитать, сколько карманов в верхнем ряду (10) и в нижнем (10)

9+4

-Назовите первое слагаемое (9). Изобразим его синими кружками, вставив их в карманы верхнего ряда.

-Назовите второе слагаемое (4). Изобразим его кружками красного цвета.

-Как к 9 синим кружкам прибавить 4 красных?

Возможно кто-то из учеников догадается, что сначала один красны кружок надо поставить в верхний ряд, а три кружка – во второй ряд.

Учитель поясняет: -Число 4 к 9 прибавляли по частям. Сначала дополнили 9 до 10, для этого прибавили к 9 число 1. Сколько осталось прибавить? (3)

-Почему 3? (4 это 1 да 3).

ВЫЧИТАНИЕ прием: вычитание по частям: сначала вычитают столько единиц, чтобы осталось 10, потом из числа 10 вычитают остальные единицы.

Знакомство с приемами.

1 прием: - Надо из 15 вычесть 7. Решим этот пример с помощью кружков. Вставьте в карманы наб полотна 15 кружков. – Сколько кружков вставили в карманы верхнего ряда? (10) –Сколько кружков вставили в карманы нижнего ряда? (5) –Сколько кружков надо снять, чтобы осталось 10? (5) –Снимем сначала 5 кружков в нижнем ряду. Сколько кружков осталось? –Сняли 5 кружков. Сколько кружков еще надо снять? (2). Почему? (7 это 5 да 2). –Снимем 2 кружка. Сколько осталось кружков? (8). – Как же мы из 15 вычитали 7? (Сначала вычли 5, чтобы получить 10, потом из 10 вычли 2, получилось 8. Значит, 15-7=8.) Вывод: сначала вычитают столько единиц, чтобы осталось 10, потом из числа 10 вычитают остальные единицы.

2 прием: -Можно выполнять вычитание другим способом. Для этого надо вспомнить состав числа, из которого вычитаем. (прием, называя состав числа, надо сначала назвать число, которое вычитаем). –Например, чтобы вычесть из 12 число 5, надо вспомнить состав числа 12 – это 5 и 7, значит, из 12 вычесть 5, то получится 7.

Сложение и вычитание в пределах 100

Прием для случая 35-7:

Введение приема: -Решим задачу: « В гараже стояло 35 машин, 7 машин уехало. Сколько машин осталось? » -Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Из 35 выесть 7). -Запишем. Выполним это вычитание на палочках. Возьмем число 35. Как мы его представим? (3 пучка и 5 палочек). –Сколько надо вычесть? (7). –Можем сразу вычесть 7? (Нет). –А сколько можем выесть? (5). –Сколько останется, когда вычтем 5? (30)-Сколько еще осталось вычесть? (2) – Как это сделать? (Один пучок развязать и вычесть 2). – Сколько палочек останется в этом пучке? (8 палочек). – Что с ними надо сделать? (прибавить к двум пучкам). – Сколько получится? (28).

-А теперь выполним вычитание на счетах. – На какой проволоке у нас единицы? ( на нижней) – Нам надо вычесть 7. Можно сделать это на нижней проволоке? (нет). – Почему? (потому что в ней отложено только 5 единиц). - Сколько же сначала можно вычяесть? (5 единиц) –Сколько останется? (30). –Сколько осталось вычесть? (2 единицы). –Из какого числа вычтем? ( из 30). -Сколько останется? (28).

В процессе беседы на доске появляется запись: 35-7 (ниже- (35-5)-2=30-2=28

 

3. Методика изучения умножения и деления натуральных чисел в начальном курсе математики. Трактовка понятия умножения и деления натуральных чисел. Умножение и деление с единицей и нулем. Методика ознакомления учащихся с умножением и его свойствами. Отношения «больше в… раза», «меньше в… раза» и их связь с умножением и делением. Особенности изучения таблицы умножения однозначных чисел и соответствующих случаев деления в различных методических системах. Характеристика деятельности учащихся при изучении данного материала и планируемых результатов его освоения.

Трактовка понятия умножения и деления натуральных чисел

Подход, в основе которого лежит понятие суммы:
Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением a • b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
1) a × b = а + а + а + …+ а (b слагаемых), если b > 1;
2) a × b = а, если b = 1;
3) a × b = 0, если b = 0.
Если мн-ва А1, А2, А3, Ав содержат а элементов и попарно не пересекаются, то их объединение содержит а*в элементов. Т.о. произведение а*b -число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.
С теоретико-множественной точки зрения произведение a × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что мн-во А содержит а элементов, а мн-во В содержит в элементов. 3*2 = 3 + 3, А = { а, в, с }, В = { в, с }, А * В = { ( а, в) (а, с) (в, в) (в, с) (с, в) (с, с)}, N (A * B) = 6 => 3 * 2 = 6
Действие, при помощи которого находят произведение чисел, называют умножением, а числа, которые умножают, называют множителями.

Деление целого неотрицательного числа на натуральное число связано с разбиением множества на классы. Если а – число элементов множества А и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых b элементов, то частным чисел а и b называется число подмножеств разбиения.
Действие, при помощи которого находят частное, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

 

Умножение и деление с единицей и нулем

 

1)Умножение 1 на число. Это частный случай умножения, который можно заменить сложением. Поэтому дети сначала находят рез-т вида 1*2, 1*3, 1*4 и приходят к выводу: ПРИ УМНОЖЕНИИИ 1 НА ЛЮБОЕ ЧИСЛО ПОЛУЧАЕТСЯ ТО ЧИСЛО, НА КОТОРОЕ УМНОЖАЛИ.

2) Умножение числа на 1. Этот случай особый, так как его нельзя заменить сложением. Поэтому сначала вводится определение - «правило»: ПРИ УМНОЖЕНИИ ЛЮБОГО ЧИСЛА НА 1 ПОЛУЧАЕТСЯ ТО ЧИСЛО, НА КОТОРОЕ УМНОЖАЛИ. Затем дети приписывают произведение по правилу (не вычисляя его). Например, 7*1=7, т.к. при умножении любого числа на 1получается то число, на которое умножали. После рассмотрения обоих случаев полезно провести обобщение: ЕСЛИ ОДИН ИЗ МНОЖИТЕЛЕЙ РАВЕН 1, ТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО ДРУГОМУ МНОЖИТЕЛЮ.

Деление с 1

Существует 2 случая: 1 –делитель, 1 частное. Их следует рассмотреть одновременно. Возможны различные методические подходы.

 

М.И. МОРО

Последовательность составления таблиц и организация де-ти может быть различной. Например, в уч М2М уча-ся сначала изучали все теоретические вопросы и только после этого приступали к составлению таблиц умножения и деления.

В учебнике М2М после усвоения смысла умножения стала составляется только одна таблица-умножение числа 2. Затем дети знакомятся с переместительным сво-ом умножения и составляют таблицу «умножение на 2». На усвоение этих двух столбиков отводится определенное время. В этот период уч-ся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый столбики таблицы деления. Для этой цели используется табл умнож и правило о взаимосвязи произведения и множителей. Т.о. усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. Так самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

В учебнике М2М (1-4) также наблюдается тенденция к распределению во времени процесса составления и усвоения таблиц умнож и деления. А именно: после усвоения смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется только часть таблицы «Умножение числа 2», при это дано указание «Вычисли и запомни: 2*2, 2*3, 2*4, 2*5.»

Вторая часть таблицы составляется на другом уроке. Аналогично организуется работа с таблицей «Умножение числа 3» с тем же указанием: «Вычисли и запомни». После изучения переместительного сво-ва умножения составляется таблица «Умножение на 2», затем «Умножение на 3». Познакомив уч-ся со смыслом деления, авторы предлагают различные упражнения, подготавливающие уч-ся к составлению таблиц деления с числом 2 и с числом 3.

Н.Б.ИСТОМИНА

Особенности подхода:

123Следующая ⇒

Поделиться: