Вопрос №1 Вектор . Линейные операции над веторами.

Вопрос №1 Вектор. Линейные операции над веторами.

Операции:

1) Сложение а+б ( по правлу треугольника). Так же можно пременить правило параллелограмма, для этого нужно соединиь два вектора концами с помощью точки Y. Дальше до строить до параллелограмма. Сумма веторов а и б будет их одна из диоганалей.

2) Разность: а-б=ОА-ОБ=БА.

3) Умножение ветора на число. При условиях если К> 0 тосонаправлен, если K< 0 то противоположно направлен.

Вектор –это направленый отрезок прямой, те. Отрезок у которого одна из ограничевающих его точек принимает за начало, а другая за конец.

Линейные операции над векторами.

Сложение векторов.

Свойства сложения векторов.

1.Свойство комутативности (вектор а + в = в+а)

2.Свойства ассоциативности (ветора а+в) +с=а+(в+с)

3.Свойства существования вктора, нейтрального относительно операции сложения( а+0=0)

Вычитание векторов.

Умножение векторов

Свойства умножения векторов.

1) Свойства оссоциативности относительно числового множителя (альфа(бэтта *вектор А)= (альфа*бэтта)* ветор А).

Свойства дистрибутивности вкторного множителя относительно операции сложения чисел.

3) Свойства дистрибутивности числового множителя относительно операции сложения вектор.(альфа*(вектора А+В)= альфа*А+альфа *В.

«2» условие коллинеарности векторов (в координатах)

Если ветор а =(х.y, z) u b=(x2, y2, z2);

Имеет вид x1=mx2, y1=my2, z1=mz2 то получается ил x1/y1=x2/y2=z1/z2=M

Если m> 0, то векторы а и в имеют одинаковый напрвления.

Если m< 0, то векторы имеют противоположное направление.

Вопрос №3 Проекция ветора на ось.

Пусть в пространстве данны два вектора а и в. Отложим от произвольной точки О векторы ОА=а, ОВ=в. Углом между веторами а и в называется наименьший из углов, угол АОВ ( при (веторах а; b )= фи, при 0< =фи< =Пи.

Расмотрим ось L и отложим на нtй единичный отрезок вектор e(т.е что вектор, длина которго равна единице). Под углом между векторами а и осью L понимают угол фи, между векторами a и e. Пусть L некоторая ось и вектор а = вектору AB. Обозначим через А1 и В1 проекции на ось L, соответственно точек А и В, предположим что А, имеет координату х1, а В1 координату х2 на оси L.

Тогда проекцией вектора AB на ось L, называется разность х1-х2 между координатами проекций конца и начала вектора AB на эту ось.

Проекция вектора а на ось L.

Из этого следует что видно, что угол между векторами а и осью L, если этот угол тупой то, х2-х1и проекция х2-х1=0.

Если вектор а перпендикулярен оси l то х2=х1 и х2-х1 =0

Из этого следует что проекция ветора AB на ось L –это длина отрезка A1B1 взятая с определенным знаком и следовательно проекция вектора на ось это число или сколяр.

Вопрос №4

1.Базис в пространнстве- это тройка не компланарных векторов взятая в определенном порядке.

Ортонормированый базис- это когда, векторы этой системы папарно ортонормированы ( тоесть перпендикулярны) и имеют длину равную единице.

Ортонормированый базис (находится в дикартовой системе координат)

Ортонормированый базис – это когда их скалярное произведение равно нулю.

Кординаты вектора – это координаты точки.

Вопрос №6. Длина и направляющие косинусы вектора.
Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .
Из свойств проекций: , , . Следовательно,
, , .
Легко показать, что

12. 1) ;

13. 2) координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

Длина вектора равна расстоянию между точками А и В:
Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора. Если точки заданы своими координатами , , то

Вопрос №7

«1» Скалярное произведение – это число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Вектор а*b=|a|*|b|*cos (a, b);

«2» Свойства скалярного произведения.

Коллинеарность двух векторов

Векторы а и в

a*b =+-- |a|*|b|

+ когда вектор a|| b

- когда а и в противо направлены.

Вопрос №8 векторы произведения

Векторы произведения двух векторов а и в – это треттььи вектор с.

Векторы а*в = Se, Se - площадь парраллелограмма.

e- орты направления а*в.

«2» Свойства.

Модуль вектора а равен произведению модулей вектора а и в на синус между ними.

Вопрос № 9

Сме́ шанное произведе́ ние векторов — скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов и :

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком " минус":

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Вопрос №10 Общее уравнение прямой на плоскости.

Ах+By+C=0

Если А=0, то прямая параллельна оси Ох.

Если В=0, то пряма парраллельна оси Оу.

С=0, то прямая происходит через начало.

А, В- Координаты нормального вектора(n) и он перпендикулярен.

С- просто координатой.

Пример: 3x+5y+7=0

«2»

Растояние от точки М1(x1; y1); до прямой Ax+By+C=0:

Вопрос№11 Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть Mo(x0; y0); - заданная точка прямой, а q=(m, n); - вектор, коллинеарный прямой( направляющий вектор прямой). Если М(х; y), - произвольная точка на прямой, то векторы, M0M=(x-x0; y-y0) и вектор q=(m; n), коллинеарны, т.е координаты этих векторов пропорциональны.

Формула: x-x0/m=y-yo/n - каноническое уравнение.

«2»

x-x0/x1-x0 =y-y0/y1-y0.- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параллельные плоскости

Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:

(4.23)

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что

и наоборот.

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку

Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и

Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде

Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):

или

Пересекающиеся плоскости

Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

(4.25)

При этом условии система уравнений

имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до этой плоскости можно вычислить по формуле
.

Теоремы

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1; 0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)