Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет

45. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.

Обозначим набор смешанных стратегий s=(s₁, …, s_n) через σ =( σ ₁, …, σ _n).

Ситуация (набор смешанных стратегий) σ =( σ ₁, …, σ _n) является равновесием по Нэшу в игре ={А, {Σ ^a}, { }}, если для любого а=1, …, n

где - альтернатива стратегии a-ого игрока , - игровая ситуация, которая сложилась в результате выбора своих стратегий всеми игроками кроме a-ого.

Однако существуют дополнительные условия, при которых ситуация в смешанных стратегиях является равновесной по Нэшу.

Пусть S_a⁺ S_a – множество чистых стратегий, которые игрок a играет с положительной вероятностью в ситуации σ =( σ ₁, …, σ _n). Ситуация σ является равновесной по Нэшу в смешанном расширении игры Г тогда и только тогда, когда для всех a=1, 2, …, n

1) S_a⁺

2) S_a⁺, S_a⁺

Данные условия можно описать следующим образом:

1) Каждый игрок при данном распределении стратегий, которые играют его противники, безразличен между чистыми стратегиями, которые он играет с положительной вероятностью;

Эти чистые стратегии не хуже тех, которые он играет с нулевой вероятностью

46. Аналитическое решение биматричных игр 2× 2.

	B1	B2
A1	a11	a12
А2	a21	a22

 

А=

Сначала предположим, что матрица А имеет седловую точку aij, то есть элемент aij, наименьший в i-той строке и наибольший в j-том столбце. Тогда игра имеет решение в чистых стратегиях {Ai, Bj, V=aij}, где Ai и Bj- оптимальные стратегии соответственно игроков A и B, а V=aij – цена игры.

Рассмотрим случай, когда матрица [2x2]-не имеет седловой точки.

Тогда по теореме, каждый из игроков A и B обладает единственной оптимальной смешанной стратегией соответственно P^O=(p₁^O, p₂^O) и Q^O=(q₁^O, q₂^O), где

А цена игры (в смешанных стратегиях) V определяется формулой

Пояснение (без строгого доказательства):

Рассмотрим функцию выигрыша игрока A более подробно:

, .

Примем также следующие обозначения:

, ,

, .

Пусть и , тогда функцию можно переписать в виде:

.

Представим в явном виде функцию как линейную функцию с аргументом (независимой переменной) q. Получим следующее выражение:

.

 

Если , т.е. если

, график функции имеет положительный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать свои потери (минимизировать функцию ), выбирая свою второю чистую стратегию, т.е. реализуя смешанную стратегию , . В итоге исход игры определится результатом .

Если , т.е. если

, график функции имеет отрицательный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать функцию , выбирая свою первую чистую стратегию , .

В итоге исход игры определится результатом .

 

В итоге приходим к системе, решая которую, получим формулы, представленные в утверждении теоремы.

 

Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.

47. Геометрическое решение биматричных игр 2× 2

Пусть имеется игра с матрицей А

	B1	B2
A1	a11	a12
А2	a21	a22

Алгоритм «А»

 

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1].

( )

2. В концах отрезка [0, 1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий чист. стратегии , и правый- .

3. На левом перпендикуляре от его пересечения с отрезком [0, 1] в точке 0 откладываем элементы первой строки матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от его пересечения с отрезком [0, 1] в точке 1 откладываем элементы второй строки матрицы А.

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами (элементы, стоящие в одном и том же столбце матрицы А). В результате получаем отрезки .

Прямые на графике:

6. Если отрезки неубывающие: , то стратегия доминирует стратегию

Если отрезки возрастающие: , то стратегия строго доминирует стратегию

7. Если отрезок лежит не ниже отрезка , то стратегия доминирует стратегию

Если отрезок лежит выше отрезка , не пересекается с ним, то стратегия строго доминирует стратегию

8. Показатель эффективности смешанной стратегии Р=(1-р, p)

- это функция от р, являющаяся нижней огибающей функции Н(Р, В₁) и Н(Р, В₂) (отрезков соответственно).

9. Находим наивысшие точки нижней огибающей.

10. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0, 1].

11. Полученные проекции определяют оптимальные стратегии игрока А.

12. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры

= _.

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .

14. Нижний из двух верхних концов отрезков есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

15. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка , на котором он лежит, то этот элемент является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Алгоритм «В»

	B1	B2
A1	a11	a12
А2	a21	a22

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1].

2. В концах отр9езка [0, 1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий стратегии B₁ и правый, соответствующий стратегии B₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем элементы первого столбца матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем элементы второго столбца матрицы А.

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами (элементы, стоящие в одной и том же строке матрицы А). В результате получаем отрезки .

6.. Находим верхнюю огибающую отрезков .

7. Находим наинизшую точку М верхней огибающей.

8. Находим абсциссу наинизшей точки верхней огибающей.

9. Смешанная стратегия является оптимальной стратегией игрока В.

10. Ордината наинизшей точки верхней огибающей и представляет собой цену игры .

11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

14. Верхний из двух нижних концов отрезков есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

 

Модель дуополии по Курно.

Предположим, что две фирмы, A и B, производят аналогичный продукт. Обозначим через и объёмы выпуска продукции соответственно фирмами A и B. Пусть – совокупный объём выпуска продукции фирмами. Поскольку мы рассматриваем ситуацию дуополии, величина Q характеризует объём предложения на рынке.

Для описания зависимости цены единицы продукции от величины предложения на рынке воспользуемся функцией , , если . Параметр a имеет смысл цены единицы продукции в случае, если .

Для описания зависимости затрат на создание единицы продукции от масштаба производства введём в модель функции затрат , фирм. Функция отражает факт равенства предельных затрат (параметр c) на производство единицы продукции для рассматриваемых фирм A и B.

Обозначим множества стратегий фирм символами и . Стратегии фирм заключаются в выборе определённого объёма выпуска продукции и , т.е. , . Будем предполагать, что фирмы выбирают свои стратегии одновременно и независимо. Соответствующая данной игре матрица игровых ситуаций будем иметь вид:

.

Выигрыши фирм в этой игре – их прибыли на рынке. Для расчёта прибылей фирм воспользуемся формулой:

, .

Каждая из фирм заинтересована в максимизации своей прибыли и каждая вынуждена учитывать интересы своего конкурента.

Возникает вопрос, существует ли пара стратегий фирм , от которых ни одной из них не выгодно отклониться. Существуют ли оптимальные объёмы выпуска фирм, оптимальные и учитывающие интересы конкурентов. Другими словами, существует ли равновесие Нэша в данной игре? Проверим это.

Если пара существует, то для её поиска фирмы решают следующие задачи:

, .

Решим задачу максимизации прибыли для фирмы A.

.

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума.

Получаем, что .

Для фирмы B:

,

,

.

Можно показать, что полученные выражения и определяют объёмы выпуска, доставляющие максимумы функциям прибыли и соответственно. Условия достаточности существования экстремума здесь приводим не будем.

Таким образом, можно записать следующую систему:

.

.

Итак, оптимальные стратегии фирм A и B заключаются в выборе объёмов выпуска . В соответствии с определением равновесия Нэша, отклоняясь от данных уровней выпуска в единоличном порядке, фирмы могут лишь ухудшить своё положение, а именно, снизить свою прибыль.

Рассмотрим графическую интерпретацию данной игры. Для этого введём понятие кривой реакции игрока. Кривую реакции игрока часто называют функцией лучших ответов. Данная кривая представляет собой геометрическое место точек, каждая из которых определяет наилучший исход для игрока при конкретном известном поведении противника.

В модели Курно обозначим функции реакции игроков A и B соответственно символами и :

,

.

Здесь и отражают оптимальные объёмы выпуска (предложения) фирм.

 

Поделиться: