Высказать общее суждение о средних величинах, установить общую формулу степенных средних, перечислить виды средних величин, расшифровать правило мажорантности, предложить правила выбора средней

Средняя величина одним числом характеризует то общее, что типично (характерно) для совокупности в целом в отношении изучаемого признака. Метод средних в статистике позволяет заменить большое число варьирующих значений признака одной усреднённой величиной. Средней величиной представляет собой обобщающий показатель, который выражает характерный, типичный, свойственный большинству признаков уровень.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Выделяют следующие условия применения средних величин:

- качественная однородность изучаемой совокупности;

- достаточный объём изучаемой совокупности;

- правильный выбор средней.

Различают средние степенные (арифметическая, хронологическая, геометрическая, гармоническая и др.) и средние структурные (мода и медиана).

В общем виде среднюю степенную величину можно представить в виде общей формулы:

,

где Xi – меняющиеся величины (варианты) усредняемого признака; m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

средняя гармоническая, если m = -1;

средняя геометрическая, если m –> 0;

средняя арифметическая, если m = 1;

средняя квадратическая, если m = 2.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантностисредних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

Правила выбора средней:

Средняя арифметическаяприменяется когда объём варьирующего признака образуется как сумма отдельных вариант.

Средняя квадратическая - когда объём варьирующего признака образуется как сумма квадратов отдельных вариант.

Средняя гармоническая - когда объём варьирующего признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант.

Средняя геометрическая - когда объём варьирующего признака образуется как произведение отдельных вариант.

Перечислить виды средних величин, охарактеризовать методику расчёта средней арифметической простой и взвешенной, расшифровать свойства средней арифметической, выделить условия применения средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической величин

Различают средние степенные (арифметическая, хронологическая, геометрическая, гармоническая и др.) и средние структурные (мода и медиана).

Средняя арифметическая - основной вид средних величин. Она может быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака (вариант) на число значений:

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, если каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое число раз.

Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной: ,

где х – значение признака (варианты);

f– частота повторения соответствующего признака (веса); количество величин с одинаковым значением X.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, если значения признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз.

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

∙ Σ ƒ =Σ хƒ.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от средней арифметической равняется нулю:

; .

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты хнаа, т.е. . Тогда:

.

Увеличим все варианты хнаа, т.е. . Тогда:

 

4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в а раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в а раз:

Если все варианты уменьшить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится в а раз.

Пусть , тогда .

Если все варианты увеличить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда увеличится в а раз.

Пусть , тогда .

5. Если частоты (веса) всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда: .

Средняя квадратическая применяется, когда объём варьирующего признака образуется как сумма квадратов отдельных вариант.

Средняя гармоническая применяется, когда объём варьирующего признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант.

Средняя геометрическая применяется, когда объём варьирующего признака образуется как произведение отдельных вариант.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: