Элементы физики твердого тела

А.А. Колоколов

 

Элементы физики твердого тела

 

 

конспект лекций

 

 

Москва

 

УДК 539

ББК 22.37

 

Колоколов А.А.

Физические основы получения информации: конспект лекций ч.I./ А.А.Колоколов. – М.: ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», 2012. – 122с.

 

Общие вопросы получения информации. Элементы физики твердого тела

 

Рассматриваются физические основы измерения физических величин, включая современную физическую картину мира, общие вопросы получения измерительной информации, а также строение и физические свойства кристаллов, широко используемые в современном приборостроении. Лекции предназначены для студентов младших курсов технических высших учебных заведений и могут использоваться в качестве дополнительного материала в курсе общей физики.

 

УДК 539

ББК 22.37

 

 

© Колоколов А.А.

© ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2010

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………......7

1. Материя. Частицы, физические поля и вакуум.

2. Фермионы и бозоны. Элементарные частицы. Лептоны и кварки. Превращения элементарных частиц.

3. Основные взаимодействия элементарных частиц: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Кванты полей. Единая теория взаимодействия.

4. Эволюция Вселенной. Гипотеза Большого взрыва. Антигравитация. Структура современной Вселенной.

5. Стабильность фундаментальных физических постоянных в процессе эволюции Вселенной.

 

Строение кристаллов и их механические свойства ………………………… 42

1. Кристаллы, аморфные тела и жидкости.

2. Элементарная ячейка кристаллической решетки. Трансляционная симметрия. Типы элементарных ячеек.

3. Модель сплошной среды. Обратимые (упругие) деформации. Закон Гука. Предел упругости.

4. Продольные и поперечные упругие волны. Фазовая скорость упругих волн. Фононы.

5. Необратимые (пластические) деформации. Текучесть. Предел прочности.

6. Дефекты кристаллической решетки (точечные, линейные и объемные). Влияние дефектов на свойства кристаллов. Роль поверхности.

 

Тепловые свойства кристаллов…………………………………………………53

1. Модель теплового движения кристаллической решетки.

2. Классическая теория теплоемкости кристалла. Закон Дюлонга и Пти.

3. Квантовая теория Эйнштейна. Теплоемкость кристаллов вблизи абсолютного нуля температур.

4. Теория Дебая. Нормальные колебания кристаллической решетки. Частота и температура Дебая.

5. Тепловое расширение кристаллов.

 

Модель свободных электронов металла……………………………………….63

1. Классическая теория электронного газа П. Друде. Формулы Друде для коэффициента теплопроводности, электропроводности и теплоемкости электронного газа.

2. Закон Видемана-Франца.

3. Квантовая теория металлов А. Зоммерфельда. Одночастичное приближение. Энергетический спектр. Плотность состояний свободных электронов.

4. Заполнение квантовых состояний электронами при абсолютном нуле температуры. Распределение Ферми-Дирака. Свойства свободных электронов при абсолютном нуле температуры. Энергия и поверхность Ферми.

5. Квантовые формулы для коэффициента теплопроводности, электропроводности и теплоемкости электронного газа.

6. Ограниченность модели идеального газа свободных электронов металла.

 

Зонная теория кристаллов……………………………………………………….75

1. Волновая функция электрона в кристалле. Теоремы Блоха и Крамерса. Квазиимпульс электрона.

2. Приближения слабой и сильной связи. Образование энергетических зон.

3. Заполнение энергетических зон электронами. Разделение кристаллов на проводники, диэлектрики и полупроводники.

4. Уравнение движения электрона проводимости в электрическом поле. Эффективная масса электрона.

5. Собственные полупроводники. Понятие дырки. Зависимость электропроводности собственного полупроводника от температуры.

6. Примесные полупроводники. Примеси донорного и акцепторного типов. Электронная и дырочная проводимости.

7. Диэлектрики. Проводимость диэлектриков. Электрический пробой диэлектриков. Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики.

8. Понятие квазичастиц в физике твердого тела.

 

Контактные явления на границах раздела двух твердых тел………………95

1. Граница металла. Работа выхода.

2. Внешний фотоэффект. Термоэлектронная и автоэлектронная (холодная) эмиссии.

3. Электрический контакт двух металлов. Внутренняя и внешние разности потенциалов. Термоэлектродвижущая сила. Термопара.

4. Электрический контакт двух полупроводников с разными типами проводимости (p/n – переход).

5. Вольт – амперная характеристика и коэффициент выпрямления полупроводникового диода. Электрический пробой диода.

6. Транзистор. Схема включения транзистора с общей базой. Коэффициент усиления транзистора по току, напряжению и мощности.

7. Понятие о гетероструктурах.

 

Магнитные свойства вещества………………………………………………...112

1. Магнитные свойства атома. Магнитные моменты элементарных частиц. Магнетон Бора и ядерный магнетон. Гиромагнитное отношение.

2. Отклик атома на внешнее магнитное поле.

3. Магнитное поле в веществе. Намагниченность. Магнитная восприимчивость и проницаемость. Диа-, пара- и ферромагнетики.

4. Основные свойства ферромагнетиков. Кривая намагничивания. Гистерезис. Домены.

5. Физическая природа ферромагнетизма. Обменное взаимодействие электронов. Антиферромагнетики. Ферримагнетики.

 

Литература………………………………………………………………………122

Таблица 1

Все рассмотренные выше элементарные частицы имеют полуцелый спин (спин измеряется в единицах и равен ). Спин античастиц равен спину соответствующей частицы. Частицы с полуцелым спином называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака. В этой статистике справедлив принцип Паули – в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Связь величины спина со статистикой вытекает из релятивистской инвариантности и СРТ-теоремы.

Рассмотренный набор бесструктурных элементарных частиц определяется современным уровнем развития экспериментальных методов исследования строения вещества, который зависит от максимальной энергии частиц, получаемой на ускорителях. При достигнутых на современных ускорителях энергиях порядка 10¹³эВ на первый план выходит взаимная превращаемость элементарных частиц, процессы генерации новых частиц, а не их делимость. Иными словами, на этом уровне описания строения вещества в области достаточно больших энергий взаимопревращаемость элементарных частиц является их основным свойством.

Между элементарными частицами возможны четыре фундаментальных взаимодействия: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В квантовой физике взаимодействие между частицами описывается как обмен квантами соответствующего физического поля, за исключением гравитационного поля, квантовая теория которого до сих пор не создана. Кванты всех известных физических полей обладают целочисленным спином и относятся к бозонам, для которых справедлива квантовая статистика Бозе-Эйнштейна. В одном квантовом состоянии может находиться сколь угодно много бозонов. При определенных условиях бозоны собираются в квантовом состоянии с наименьшей энергией. Данное явление получило название бозе-конденсация.

Существование только двух квантовых статистик для частиц вещества и квантов полей обусловлено трехмерностью пространства. В пространствах с другой размерностью возможно существование статистик другого типа.

Рассмотрим свойства фундаментальных взаимодействий.

1. Сильное взаимодействие. Квантами поля являются 8 глюонов – безмассовых частиц со спином , обладающие цветовыми зарядами. Благодаря цветовым зарядам глюоны взаимодействуют между собой. Обмен глюонами обеспечивает взаимодействие не только кварков, но и нуклонов в атомном ядре. Сильное взаимодействие определяет стабильность атомных ядер. Это короткодействующее взаимодействие с радиусом действия ~10^-15м.

2. Электромагнитное взаимодействие. Квантами поля являются фотоны – безмассовые незаряженные частицы со спином . Обмен фотонами определяет электромагнитное взаимодействие заряженных частиц, которое отвечает за стабильность атомов, молекул и конденсированных сред. Электромагнитное взаимодействие медленно уменьшается с расстоянием, поэтому его радиус считается бесконечно большими.

3. Слабое взаимодействие. Квантами поля служат 3 промежуточных векторных бозона: - бозон с массой 80ГэВ, зарядом - и спином , - бозон с массой 80ГэВ, зарядом - и спином , - бозон с массой 90ГэВ, нулевым зарядом и спином . Здесь - заряд электрона. Обмен векторными бозонами определяет слабое взаимодействие, ответственное за β - распад, медленные процессы превращения элементарных частиц, процессы с участием нейтрино. Слабое взаимодействие играет главную роль в так называемом водородном цикле, когда из 4 протонов образуется ядро гелия:

.

Здесь - позитрон, - дейтерий, γ - квант электромагнитного излучения большой частоты. Этот цикл лежит в основе энергетических процессов на Солнце и определяет его излучение. Слабое взаимодействие является короткодействующим с радиусом ~10^-18м.

4. Гравитационное взаимодействие. Гравитация описывается нелинейным тензорным полем, предполагаемыми квантами которого являются гравитоны – безмассовые нейтральные частицы со спином . Гравитационное взаимодействие связано с метрикой пространства-времени и определяет крупномасштабную структуру Вселенной. Радиус гравитационного взаимодействия считается бесконечно большим.

Интенсивности сильного, электромагнитного, слабого и гравитационного взаимодействий относятся как 1: 10^-2: 10^-14: 10^-39.

Следует отметить, что в современной физике рассматриваются также скалярные поля, кванты которого имеют нулевой спин. Примером такого скалярного поля может служить поле Хиггса, с помощью которого возможно возникают массы промежуточных векторных бозонов при спонтанном нарушении симметрии. Одна из главных задач в научной программе запущенного в Церне суперколлайдера - поиск бозонов Хиггса.

В настоящее время развиваются теории, где фермионы и бозоны описываются с единой позиции как различные состояния гипотетических одномерных объектов (струн) размером порядка планковской длины м, где G - гравитационная постоянная, , h - постоянная Планка, c - скорость света в вакууме. Минимальная размерность пространства-времени, в котором можно построить непротиворечивую теорию суперструны, равна 11: одна временная координата и 10 пространственных. В наиболее общей такой теории используется принцип суперсимметрии, согласно которому каждый бозон и каждый фермион имеет суперпартнера со спином на 1/2 больше или на 1/2 меньше спина частицы.

С данной теорией связаны ожидания, что она является «теорией всего» - всех элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий. Объединение всех четырех фундаментальных взаимодействий в одно должно наблюдаться в области с линейным размером порядка планковской длины:

м,

что соответствует энергии

ГэВ.

Для процессов, протекающих в области с размерами и характеризуемых энергиями , различия между фундаментальными взаимодействиями исчезают.

Таким образом, главным принципом наиболее общей физической теории материального мира является генетическое единство этого мира.

Великое объединение сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий в одно взаимодействие при отдельном описании гравитационного должно происходить в области с линейным размером порядка

м,

что соответствует энергии

ГэВ.

Согласно этой теории протон должен распадаться за время порядка τ _p=10³¹ лет, что примерно на 21 порядок превышает время жизни Вселенной ~ лет. Эксперименты по наблюдению распада протона в принципе возможны, поскольку согласно квантовым законам распад одного нуклона с вероятностью может произойти за сколь угодно короткое время . Если взять 16 тонн воды, содержащей около 10³¹ нуклонов, и проводить наблюдения в течение 1 года, то при времени жизни год мы бы зарегистрировали 1 распад протона. Основная проблема в проведении такого эксперимента – это фон, обусловленный космическими лучами. Для уменьшения этого фона установку необходимо помещать глубоко под землей.

В теории Великого объединения существуют магнитные заряды (магнитные монополи Дирака, рассмотренные П. Дираком в 1931 г.) с массой около 10¹⁶ГэВ (один моль таких монополей весил бы 10¹⁰ тонн). Из-за очень большой массы получение монополей Дирака на современных ускорителях невозможно, поскольку энергия ускоренных частиц слишком мала. Сейчас ведутся поиски реликтовых монополей, оставшихся во Вселенной после Большого взрыва, при котором она возникла.

Стандартная модель, где слабое и электромагнитное взаимодействия объединяются в единое электрослабое взаимодействие, а гравитационные и сильные взаимодействия рассматриваются отдельно, справедлива в области с линейным масштабом

м,

что соответствует энергии

ГэВ.

Эта энергия частиц уже близка к достижимой на современных ускорителях, что позволяет проводить экспериментальную проверку данной теории. Теория электрослабого взаимодействия была создана в 60-е годы XX века, а в 1979г. за вклад в эту теорию Ш. Глэшоу, А. Саламу и С. Вайнбергу была присуждена Нобелевская премия по физике. Промежуточные векторные бозоны были открыты на протон – антипротонном коллайдере ЦЕРНа в 1983г., за что была присуждена Нобелевская премия по физике К. Руббиа и С. Ван дер Мееру в 1984г.

В области с линейным размером м и энергии ГэВ все четыре фундаментальных взаимодействия существуют независимо и обладают совершенно различными свойствами, что и наблюдается в современном мире.

Современная экспериментальная физика, основанная на использовании ускорителей, в скором будущем, по-видимому, исчерпает свои возможности в отношении максимальной энергии ускоряемых частиц. В результате останется единственная естественная и уникальная лаборатория – сама Вселенная, которая по замечанию Я.Б.Зельдовича является «ускорителем для бедных». Отметим, что максимальная энергия частиц, зарегистрированная в космических лучах, ~10¹²ГэВ, максимальная энергия ионов, получаемая на современных ускорителях, порядка 10³ГэВ. Кроме того, в современной Вселенной наблюдаются следы тех высокоэнергетических процессов, которые происходили на начальном этапе ее развития.

Согласно большинству современных теорий Вселенная возникла из сингулярного состояния, где физические характеристики принимают бесконечные значения, в результате Большого взрыва с последующим расширением. В начальной области, определяемой планковскими величинами

м и с,

велики флуктуации энергии, массы и пространственно-временной структуры. Здесь обычные представления о непрерывном пространстве-времени теряют силу и существенны эффекты квантовой гравитации.

При возникновении Вселенной температура материи считается порядка планковской температуры

К,

где Дж/К - постоянная Больцмана. Планковская температура – наибольшая температура, которая рассматривается в современной физике. В процессе расширения Вселенной ее температура монотонно уменьшается.

Модель Большого взрыва, заложенная в работах математика А. Фридмана и астрофизика Ж. Леметра в 1920-х годах, была в современном виде сформулирована в 1948г. Г. Гамовым. Экспериментальное подтверждение эта модель получила в 1964г. после открытия А. Пензиалом и Р. Вильсоном микроволнового равновесного излучения с температурой ~2, 7К, заполняющего Вселенную. Существование этого излучения на основе модели Большого взрыва и последующего расширения Вселенной было предсказано Г. Гамовым.

В области планковских масштабов все четыре фундаментальных взаимодействия объединены в одно взаимодействие. В процессе расширения Вселенной по мере увеличения ее пространственного масштаба происходит последовательное разделение всех фундаментальных взаимодействий. При наблюдается инфляция – практически мгновенное увеличение линейного размера Вселенной на очень много порядков до величины м. Если с, динамика расширяющейся Вселенной описывается решениями уравнений Эйнштейна, впервые полученными А.А. Фридманом в 1922г..

На пространственном масштабе м гравитационное взаимодействие отделяется от трех остальных взаимодействий, которые остаются объединенными. Этот пространственный масштаб соответствует энергии ГэВ.

Далее на пространственной и энергетической осях развития Вселенной простирается область «великой пустыни», когда при изменении пространственного и временного масштабов на 13 порядков существенных изменений в мире частиц и их взаимодействий не наблюдается.

За областью «великой пустыни» при , м и ГэВ отделяется сильное взаимодействие и остаются объединенными электромагнитное и слабое взаимодействия (электрослабое взаимодействие).

В следующем ядерном масштабе м и ГэВ наблюдается привычный мир, в котором взаимодействия между частицами представляют четыре фундаментальные взаимодействия, описываемые различными законами.

Если принять время существования Вселенной τ =13, 7млрд. лет, то ее современный размер (горизонт событий)

м.

На расширение Вселенной указывает красное смещение – сдвиг спектральных линий в сторону больших длин волн – в излучении удаленных звезд, открытое Э. Хабблом в 1929г. и описываемое соотношением, называемым законом Хаббла:

,

где - скорость движения звезд, - расстояние между звездой и наблюдателем, – постоянная Хаббла ( лет).

Красное смещение спектров объясняется эффектом Доплера, согласно которому частота ω электромагнитного излучения, измеряемая наблюдателем, зависит от вектора скорости движения источника:

,

где - частота излучения в случае неподвижного источника, θ - угол между вектором и направлением распространения излучения. При движении источника от наблюдателя частота излучения уменьшается, а его длина волны соответственно растет.

Согласно космологическим измерениям, проведенным в 90-е годы XX века, расширение Вселенной происходит не с постоянной скоростью, а ускоренно по экспоненциальному закону, где её линейный размер растет со временем t как e^ht, где h> 0 – постоянная. В 2011г. Нобелевская премия по физике была присуждена С.Перлмуттеру, А. Рисса и Б. Шмидту – авторам этого великого космологического открытия.

Для объяснения такого ускоренного расширения Вселенной пришлось сделать вывод о том, что во Вселенной существует невидимая материя неизвестной природы, названная « темной энергией », обладающая антигравитационными свойствами. По современным наблюдениям, масса «темной энергии» составляет примерно 70% всей массы материи во Вселенной. Кроме того, существует еще один тип невидимой материи – «темная материя», физическая природа которой также пока не установлена. На долю «темной материи» приходится 26-27% полной массы Вселенной. На долю же наблюдаемой (видимой) и хорошо изученной материи приходится менее 4% от всей массы Вселенной.

Доказательство существования «темной материи» основано на устойчивости галактик, где суммарное гравитационное поле всех звезд галактик не в состоянии предотвратить их разбегание, поскольку для этого нужна дополнительная гравитирующая масса, превосходящая массу наблюдаемой материи в галактике в десятки раз. Эту дополнительную массу и дает «темная материя».

Как уже отмечалось, ускоренное расширение Вселенной объясняется существованием «темной энергии», которая определяет антигравитацию, т.е. силы отталкивания для данного вида материи в классическом понимании. Новые экспериментальные данные, полученные после 1999 г., показали необходимость уточнения уравнения состояния «темной энергии», что привело к еще более быстрому по сравнению с экспоненциальным расширению Вселенной. Её линейный размер L растет со временем по закону

L~ , .

Здесь t_cr - значение финального момента времени, когда рвется ткань пространства Вселенной («Большой Треск» - «Big Crack»). Таким образом, Вселенная возникает как «Big Bang», а заканчивается как «Big Crack».

В общей теории относительности пространство-время считается динамической системой, развитие которой определяется имеющейся материей во всех ее формах. Если ограничиться состоянием современной Вселенной, то ее основной структурный элемент – галактика. Галактики – это гигантские звездные системы, состоящие из десятков и сотен миллиардов звезд. Их размеры порядка десятка и даже сотни тысяч световых лет (расстояние, проходимое светом за 1 год, называется световым годом). Расстояние между соседними галактиками в среднем по Вселенной составляет миллионы световых лет. Галактики группируются в скопления галактик, содержащие сотни галактик. Размеры этих скоплений оцениваются величиной порядка нескольких мегапарсек (1 мегапарсек (Мпк) =3, 2 10⁶ световых лет). Скопления галактик образуют сверхскопления, содержащие десятки тысяч галактик и имеющие размеры в десятки мегапарсек. Систем более высокого порядка, чем сверхскопления галактик во Вселенной, не существует.

Наблюдения показали, что скопления и сверхскопления распределены вблизи границ ячеек размером порядка 100Мпк (ячеистая структура Вселенной). В больших масштабах порядка 200 Мпк Вселенную можно считать однородной, с одинаковыми свойствами всех составляющих элементов (так называемый космологический принцип). Иными словами, во Вселенной нет выделенного центра.

В заключение следует отметить, что согласно современным теоретическим представлениям в процессе развития Вселенной фундаментальные физические постоянные – масса и заряд электрона, постоянная Планка, гравитационная постоянная, масса протона и т.д. не меняются. Строение Вселенной и само возникновение жизни зависит от численных значений этих постоянных. Современные измерения фундаментальных физических постоянных показывают, что они либо сохраняются постоянными, либо меняются очень медленно. Оценки скорости изменения некоторых фундаментальных постоянных дают, что характерное время изменения фундаментальных физических постоянных не может быть меньше 10¹⁵ лет.

 

Рис. 4.1

также гране - и объемноцентрированные элементарные ячейки, где частицы расположены соответственно в центрах граней и в центре параллелепипеда.

Бесконечная кристаллическая решетка получается путем пространственного сдвига элементарной ячейки на вектор трансляции , начало которого находится в точке 0,

,

где m, n и p пробегают все отрицательные и положительные целые значения, включая нуль. Величины a, b, c – длины ребер параллелепипеда – являются пространственными периодами кристаллической решетки. При смещении бесконечной кристаллической решетки на вектор она переходит в саму себя, т.е. идеальная кристаллическая решетка обладает трансляционной симметрией.

Следует отметить, что выбор элементарной ячейки неоднозначен. Элементарная ячейка минимально возможного объема называется примитивной элементарной ячейкой. Выбор ее, вообще говоря, также неоднозначен.

Помимо трансляционной симметрии кристаллическая решетка может обладать и другими элементами симметрии. В общем случае симметрия кристаллической решетки определяется набором всех возможных пространственных операций типа сдвига, поворота, зеркального отражения, инверсии и их комбинаций, которые переводят бесконечную кристаллическую решетку в саму себя.

По симметрии примитивных решеток все кристаллы делятся на 7 кристаллических систем ( сингоний ). Под симметрией здесь понимается точечная симметрия, когда при преобразовании по крайней мере одна точка решетки остается неподвижной. Центрирование граней и объемов не меняет симметрии решетки, но приводит к появлению еще 7 новых типов решетки. Таким образом, существует всего 14 типов решеток:

1) триклинная ; 2) моноклинная , - простая и базоцентрированная ячейка; 3) ромбическая , - простая, базоцентрированная, гранецентрированная и объемноцентрированная ячейки; 4) тетрагональная - простая и объемноцентрированная ячейки; 5) тригональная , ; 6) гексагональная - простая и базоцентрированная ячейки; 7) кубическая - простая, гранецентрированная и объемноцентрированная ячейки.

Симметрия примитивной решетки, содержащей 8 атомов в вершинах основного параллелепипеда и не имеющей ни одного атома внутри объема или на гранях этого параллелепипеда (решетка Браве), однозначно определяется числом и характером осей симметрии.

Сложную пространственную решетку можно рассматривать как составленную из вложенных примитивных решеток. Сложные решетки могут обладать новыми элементами симметрии (винтовая ось, плоскость зеркального скольжения). Как показал в 1890-91 гг. Е.С.Федоров, всего имеются 230 различных пространственных групп (совокупностей всех элементов симметрии пространственной решетки), т.е. 230 вариантов упорядоченного расположения частиц в кристаллах.

Если геометрическая кристаллография изучает симметрию кристаллов и дает методы описания их внешних форм на основе систем геометрических точек, то в структурной кристаллографии рассматривается пространственное распределение частиц с конечными размерами, образующих реальный кристалл. Для характеристик этого распределения вводятся такие величины, как координационное число, равное числу ближайших соседей частицы кристалла, коэффициент упаковки

,

(4.1)

где = - объем частицы, r – радиус частицы, – объем элементарной ячейки и Z – число частиц в элементарной ячейке, и т.д.

Упругие, тепловые и акустические свойства кристаллов определяются их пространственной структурой и силами связи между частицами. Однако при рассмотрении многих физических свойств дискретностью строения кристаллов можно пренебречь и описывать кристалл как сплошную однородную среду. Для этого достаточно, чтобы характерные пространственные параметры описываемых физических процессов были много больше пространственных периодов кристаллической решетки, что дает возможность усреднять физические процессы по области объемом, много большим объема элементарной ячейки.

Однако предельный континуум сплошной среды в той или иной степени должен сохранять определенные характеристики дискретной кристаллической решетки. Например, в случае тригональной решетки , поэтому при переходе к континууму отношения сохраняются неизменными, что приводит к анизотропным свойствам предельной сплошной среды. Например, коэффициенты теплового расширения в направлениях ребер a и c будут разными. Если при некоторой температуре длины ребер сравниваются и a=b=c, то это означает фазовый переход второго рода, связанный с изменением симметрии системы и проявляющийся в скачках коэффициента изотермического всестороннего сжатия и теплоемкости. Дискретность исходной кристаллической решетки проявляется также в том, что минимальная длина волны упругих волн в сплошной среде не может быть меньше линейных размеров элементарной ячейки.

Модель сплошной среды, где все физические характеристики являются непрерывными функциями координат, удобно использовать для описания деформаций, т.е. отклонений формы и объема твердого тела от его равновесной формы и равновесного объема под действием внешних нагрузок.

Любую достаточно малую локальную деформацию сплошной среды можно представить как сумму деформации всестороннего сжатия, где меняется объем при постоянной форме, и деформации сдвига, где меняется форма при постоянном объеме.

При малых квазистатических нагрузках деформации являются обратимыми ( упругими ). В этом случае после снятия нагрузки тела восстанавливают свой первоначальный объем и свою первоначальную форму. Обратимые (упругие) деформации описываются законом Гука (1860г.), который устанавливает локальную линейную связь между деформацией ε и приложенным напряжением σ:

1) деформация всестороннего сжатия

,

(4.2)

где – нормальное напряжение, или давление, - относительное изменение объема V, K - модуль всестороннего сжатия, обычно рассматривается изотермическое ( , ) или адиабатическое сжатие ( , );

2) деформация сдвига

,

(4.3)

где - касательное напряжение, ε - деформация сдвига, равная углу наклона боковой грани кубического элемента в направлении действия касательного напряжения относительно ее равновесного положения, G- модуль сдвига, обычно измеряемый либо для изотермической, либо для адиабатической деформации.

Согласно теореме Коши – Гельмгольца наиболее общее перемещение элемента среды есть сумма поступательного движения некоторой точки Р элемента, вращения элемента как абсолютно твердого тела вокруг точки Р на некоторый угол и деформационного перемещения вследствие сжатия или растяжения элемента по трем взаимно перпендикулярным осям деформации.

Если нагрузка меняется достаточно быстро во времени, в среде возбуждаются упругие волны, описываемые скалярным волновым уравнением

,

(4.4)

где φ – волновая функция, определяющая смещение макроскопических элементов среды относительно их равновесного положения, - фазовая скорость упругих волн, зависящая от характеристик среды. Волновое уравнение получается на основе второго закона Ньютона и закона Гука, примененных к элементу среды.

Для продольных упругих волн, где элементы среды колеблются в направлении распространения волны,

.

(4.5)

Здесь ρ - плотность среды в отсутствие упругих волн.

В случае поперечных упругих волн, где элементы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны,

.

(4.6)

Отсюда видно, что скорость продольных волн всегда больше скорости поперечных волн.

Частота ω и волновое число упругих волн, связаны между собой соотношением

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: