Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Случайная составляющая погрешности
Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получают результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей (" случайных эффектов" ). Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих непредсказуемых возмущений, и сама является случайной величиной. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основе этих закономерностей дать количественные оценки результата измерений и случайной составляющей его погрешности. Свойства случайной величины описывается функцией распределения F ( x ), которая определяет вероятность того, что случайная величина x будет меньше x1: F ( x ) = P{x < x1}. Функция распределения – неубывающая функция, определённая так, что F ( -¥ ) = 0 и F ( +¥ ) = 1. Наряду с функцией распределения F ( x ), называемой интегральной или кумулятивной, широко применяют дифференциальную функцию f ( x ), которуюобычно называют плотностью распределения вероятностей: . Функция f ( x ) всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде
Это означает, что площадь под графиком кривой f ( x ) всегда равна единице. В метрологической практике чаще всего имеют дело с нормальным и с равномерным законами распределения погрешностей. В нормативной метрологической документации в качестве модели распределения случайной составляющей погрешности принимается нормальное распределение, а модели неисключенной систематической составляющей - равномерное распределение. Для нормального распределения имеем: ; .
Здесь: параметр D = s2 - дисперсия, s - среднее квадратичное отклонение, mx - математическое ожидание случайной величины (истинное значение измеряемой величины при отсутствии систематических погрешностей). В измерительном эксперименте для выборки (группы из n наблюдений) случайных величин xi, распределенных по нормальному закону, аналогами теоретических параметров mx и s являются среднее арифметическое выборки (координата центра распределения) и среднее квадратичное отклонение выборки (по международной терминологии – стандартное отклонение) S ( x ): ; . Вычисление F(x) при некотором фиксированном x1 даёт вероятность P{x < x1} = P1. При использовании графика f ( x ) для вычисления этой величины нужно найти площадь под кривой, расположенную левее точки x1. В расчётах широко применяют центральное нормированное нормальное распределение, которое получается при переходе к случайной величине : ; . В научной и технической литературе часто приводят таблицы значений функции Ф ( z ), называемой функцией Лапласа и определяемой выражением:
Очевидно, что для z ³ 0 F ( z ) = 0.5 + Ф ( z ). Параметры ветви для z < 0 находят на основе симметрии: F ( z ) = 0.5 − Ф(z). Для равномерного закона распределения случайной величины:
0 x < x1 f(x)= x1 £ x £ x2 0 x > x2 Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ результата измерения используют различные варианты: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения. Предельная погрешность Dm - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Такая оценка погрешности правомерна только для равномерного распределения, где границы чётко выражены и существует такое значение ± Dm, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения. Более универсальной и информативной является квантильная оценка. Площадь под кривой плотности распределения погрешностей делят вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями. Квантильная оценка погрешности представляется интервалами от − Dx ( P ) до +Dx ( P ), на которых с заданной вероятностью P встречаются P · 100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ± Dx ( P ) называют доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующую ему вероятность PД – доверительной вероятностью. При оценке случайной погрешности доверительными границами необходимо указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0, 5В при PД = 0, 95). Доверительные границы случайной погрешности Dx ( P ), соответствующие доверительной вероятности PД, находят по формуле: Dx ( P ) = t · s, где t - коэффициент, зависящий от PД и вида закона распределения. На графике нормального распределения погрешностей по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±s; ±2s; ±3s. Для достоверной оценки границ доверительного интервала необходимо, чтобы число наблюдений n было не меньшим, чем n ³ ( 1 + PД )/( 1 − PД ). При нормальном распределении погрешностей принято считать случайную погрешность с границами ±3sпредельной (максимально вероятной) погрешностью. В этом случае нормальное распределение называют усеченным. Использование усеченного нормального закона распределения характерно для механических измерений. Для оценки границ доверительного интервала при малом числе измерений ( n £ 30) одной и той же величины используют формулу , где - коэффициент Стьюдента, зависящий от значения доверительной вероятности и числа измерений n. При увеличении числа измерений распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 261; Нарушение авторского права страницы