Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Случайная составляющая погрешности



Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получают результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей (" случайных эффектов" ). Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих непредсказуемых возмущений, и сама является случайной величиной. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основе этих закономерностей дать количественные оценки результата измерений и случайной составляющей его погрешности.

Свойства случайной величины описывается функцией распределения F ( x ), которая определяет вероятность того, что случайная величина x будет меньше x1:

F ( x ) = P{x < x1}. Функция распределения – неубывающая функция, определённая так, что F ( ) = 0 и F ( ) = 1. Наряду с функцией распределения F ( x ), называемой интегральной или кумулятивной, широко применяют дифференциальную функцию f ( x ), которуюобычно называют плотностью распределения вероятностей:

.

Функция f ( x ) всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

Это означает, что площадь под графиком кривой f ( x ) всегда равна единице.

В метрологической практике чаще всего имеют дело с нормальным и с равномерным законами распределения погрешностей. В нормативной метрологической документации в качестве модели распределения случайной составляющей погрешности принимается нормальное распределение, а модели неисключенной систематической составляющей - равномерное распределение.

Для нормального распределения имеем:

; .

 

Здесь: параметр D = s2 - дисперсия, s - среднее квадратичное отклонение, mx - математическое ожидание случайной величины (истинное значение измеряемой величины при отсутствии систематических погрешностей).

В измерительном эксперименте для выборки (группы из n наблюдений) случайных величин xi, распределенных по нормальному закону, аналогами теоретических параметров mx и s являются среднее арифметическое выборки (координата центра распределения) и среднее квадратичное отклонение выборки (по международной терминологии – стандартное отклонение) S ( x ):

; .

Вычисление F(x) при некотором фиксированном x1 даёт вероятность P{x < x1} = P1. При использовании графика f ( x ) для вычисления этой величины нужно найти площадь под кривой, расположенную левее точки x1.

В расчётах широко применяют центральное нормированное нормальное распределение, которое получается при переходе к случайной величине :

; .

В научной и технической литературе часто приводят таблицы значений функции Ф ( z ), называемой функцией Лапласа и определяемой выражением:

Очевидно, что для z ³ 0 F ( z ) = 0.5 + Ф ( z ). Параметры ветви для z < 0 находят на основе симметрии: F ( z ) = 0.5 − Ф(z). Для равномерного закона распределения случайной величины:

0 x < x1 F(x)= x1 £ x £ x2 1 x > x2  


0 x < x1

f(x)= x1 £ x £ x2


0 x > x2


Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ результата измерения используют различные варианты: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения.

Предельная погрешность Dm - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Такая оценка погрешности правомерна только для равномерного распределения, где границы чётко выражены и существует такое значение ± Dm, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения.

Более универсальной и информативной является квантильная оценка. Площадь под кривой плотности распределения погрешностей делят вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями. Квантильная оценка погрешности представляется интервалами от − Dx ( P ) до +Dx ( P ), на которых с заданной вероятностью P встречаются P · 100% всех возможных значений случайной погрешности.

Интервал с границами ± Dx ( P ) называют доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующую ему вероятность PД доверительной вероятностью. При оценке случайной погрешности доверительными границами необходимо указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0, 5В при PД = 0, 95). Доверительные границы случайной погрешности Dx ( P ), соответствующие доверительной вероятности PД, находят по формуле:

Dx ( P ) = t · s,

где t - коэффициент, зависящий от PД и вида закона распределения.

На графике нормального распределения погрешностей по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±s; ±2s; ±3s. Для достоверной оценки границ доверительного интервала необходимо, чтобы число наблюдений n было не меньшим, чем n ³ ( 1 + PД )/( 1 PД ). При нормальном распределении погрешностей принято считать случайную погрешность с границами ±3sпредельной (максимально вероятной) погрешностью. В этом случае нормальное распределение называют усеченным. Использование усеченного нормального закона распределения характерно для механических измерений.

Для оценки границ доверительного интервала при малом числе измерений ( n £ 30) одной и той же величины используют формулу , где - коэффициент Стьюдента, зависящий от значения доверительной вероятности и числа измерений n. При увеличении числа измерений распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 261; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.019 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь