Группы симметрии тригональной сингонии.

Группы этой сингонии мы получим в системе осей координат куба. Эти группы имеют одну ось третьего порядка.

Группа D3d (3m).

Инвариант этой группы: (x+y+z)². Он допускает любые перестановки осей и инверсию всех трёх осей одновременно.

123 Е 123 I

213S2[110] 213C2[110]

321 S2[101] 321 C2[101]

132 S2[011] 132 C2[011]

231C31[111] 231S31[111]

312С32[111] 312S32[111]

 

В этой группе имеется одна ось третьего порядка с ориентацией в системе координат куба [111] и три оси второго порядка, лежащие в плоскостях xy, yz, zx и перпендикулярные оси третьего порядка.

Группа D3 (32).

Это группа чистых поворотов содержит элементы с одной перестановкой осей и одной или тремя инверсиями; без или с двумя перестановками без инверсий осей:

 

123 Е

213C2[110]

321 C2[101]

132 C2[011]

231C31[111]

312С32[111]

 

Группа C3v (3m).

Если взять в качестве инварианта x+y+z, то останутся элементы, без инверсий:

123 Е

213S2[110]

321 S2[101]

132 S2[011]

231C31[111]

312С32[111]

 

Группа C3 (3).

Эта группа получается из группы C_3v если оставить только чистые повороты:

123 Е

231C31[111]

312С32[111]

 

Группа C3h (3).

Если добавить к группе С₃ трёхмерную инверсию, то число элементов удвоится:

123 Е 123 I

231C31[111] 231S31[111]

312С32[111] 312S32[111]

 

Группы симметрии ромбической сингонии.

В этих группах отсутствуют оси симметрии с порядком выше двух.

Группа D2h (mmm).

Инвариант x²‒ y² исключает все перестановки осей, но оставляет все комбинации инверсий:

123 Е 123С42[001]º С2[001] 123С42[010] º С2[010] 123С42[100] º С2[100] 123S42[100] º S2[100] 123S42[010] º S2[010] 123S42[001] º S2[001] 123 I

В отсутствии осей четвёртого порядка повороты С₄² превращаются в С₂ той же ориентации. Тогда в этой группе присутствуют три оси второго порядка, направленные по осям x, y, z куба.

Группа D2 (222).

Эта группа чистых поворотов с определителем +1 или с чётным количеством инверсий осей координат.

 

123 Е 123С42[001]º С2[001] 123С42[010] º С2[010] 123С42[100] º С2[100]

 

Группа C2v (mm2).

Эта группа симметрии получается из группы D_2h при добавлении инварианта z. Этот инвариант оставит в группе элементы без инверсии оси z:

123 Е 123С42[001]º С2[001] 123S42[100] º S2[100] 123S42[010] º S2[010]

 

Группы симметрии моноклинной сингонии.

Эти группы получаются из групп ромбической сингонии добавление инварианта аксиального вектора.

Группа С2h(2/m).

Если к группе D_2h добавить инвариант xy³-x³y, то он оставит только элементы с одновременной инверсией осей x и y:

 

123 Е 123С42[001]º С2[001] 123S42[001] º S2[001] 123 I

 

Группа С2(2).

Это группа чистых поворотов вокруг одной оси второго порядка, или в группе С_2h остаются только 2 элемента с чётным числом инверсий:

123 Е

123С₄²_[001]º С_2[001]

Группа Сs(m).

Инварианты этой группы: три функции x, y, z². В группе имеется только инверсия оси z:

123 Е

123S₄²_[001] º S_2[001]

 

Группы симметрии триклинной сингонии.

В этой сингонии имеется две группы С₁ и С_i.

Группа симметрии Сi(1).

Эта группа содержит два элемента симметрии: тождественное преобразование и трёхмерная инверсия: 123 Е, 123 I.

 

Группа симметрии С1(1).

В этой группе отсутствуют элементы симметрии кроме тождественного преобразования. Инварианты этой групп в добавлении к инвариантам группы О_h это x, y, z. Они оставляют только один элемент симметрии: 123 Е.

Группа симметрии икосаэдра

Если на сфере с двумя полюсами, выделить две окружности на равных расстояниях между ними и от полюсов; на каждой окружности выделить 5 точек на равном расстоянии друг от друга, повернуть одну окружность так, чтобы её точки соответствовали середине расстояния между точками другой окружности и полученные 12 точек соединить, то получится икосаэдр. Он имеет 12 вершин и каждые три вершины образуют грань в виде треугольника. Количество граней 20: пять около каждого полюса и 10 в поясе. Количество рёбер можно подсчитать по формуле: р= г+в-2, где р, г, в, количество рёбер, граней, вершин выпуклого многогранника. Для икосаэдра р=20+12-2=30.

Элементы симметрии чистых поворотов икосаэдра следующие: 5 осей пятого порядка С₅ соединяют противоположные вершины, 10 осей третьего порядка С₃ соединяют середины противоположных граней, 15 осей второго порядка С₂ соединяют середины противоположных рёбер. Каждая ось С₅ даёт 4 поворота, а 6 осей даст 24 поворота. Каждая ось С₃ даёт 2 поворота, а 10 осей – 20 поворотов. Остаётся добавить 15 поворотов вокруг осей С₂ и тождественный элемент. Итого получается: 24+20+15+1=60.Порядок группы h=60. Можно выделить 5 наборов поворотов, имеющие одинаковые характеры матриц векторного представления.

Представления	Е	20С2	15С3	6С51, 6С54	6С52, 6С53
Г1
Г2 (полярный вектор)			-1	(1+Ö 5)/2	(1-Ö 5)/2
Г3 (аксиальный вектор)			-1	(1-Ö 5)/2	(1+Ö 5)/2
Г4					-1
Г5		-1

 

Группы симметрии гексагональной сингонии.

Это группы симметрии сплющенного относительно пространственной диагонали [111] куба. В этом случае легче определять элементы симметрии относительно этой оси, принимая её за ось z. Направление осей x, y определяется тригональной системой координат куба.

Группа симметрии D6h.

Инвариант этой группы в тригональной системе координат следующий

(x³-3xy²)².

Он допускает все инверсии осей x, y, z в любой комбинации.

Для определения поворотов необходимо рассчитать повороты, которые допускает этот инвариант. При поворотах вокруг оси z, можно рассматривать матрицы поворотов 2 × 2, определяющие изменения координат x, y: .

Подставим эти координаты в инвариант (25) и приравняем его к исходному инварианту:

{(сx+sy)³-3(сx+sy)(-sx+cy)²}²=(x³-3xy²)²

или (сx+sy)³-3(сx+sy)(-sx+сy)²=±(x³-3xy²)

Коэффициенты левой и правой части при x³ должны быть равны: c³-3cs²=±1. В левой части имеется косинус тройного угла:

Cos3d=±1, и разрешённые этим инвариантом углы поворотов: d₁=2pn/3; d₂=pn/3;

Коэффициенты левой и правой части при y³ должны быть равны: s³-3c²s=0. Эти равенства выполняются при поворотах на углы 60, -60, 120, ‒ 120, 180, 360^о и инвариант допускает существование оси шестого порядка С₆. Общий вид матрицы поворотов вокруг оси z следующий:

(1.26) ,

(1.27) ,

 

где a, b это Cosd, Sind, и d- угол поворота, для поворота на 60^о и их значения равны: a=±1/2, b=±Ö 3/2, с=±1. Таких матриц восемь для (1.26) с различными наборами знаков: четыре чистых поворота (с=1) и четыре инверсионных поворота (с=-1) и восемь для (1.27) с различными наборами знаков: четыре чистых поворота (с=-1) и четыре инверсионных поворота (с=1). Итого имеется 16 матриц чистых и инверсионных поворотов вокруг оси шестого порядка.

Для получения всех элементов группы D_6h необходимо добавить к матрицам (1.26) группу инверсий: 123, 123, 123, 123, 123, 123, 123, 123.

Итого получается 24 матрицы.

E	C61[001]	C62[001]	C63 123	C64[001]	C65[001]
С2[100] 123	C2[ba0]	C2[ab0]	C2[010] 123	C2[ab0]	C2[ba0]
I 123	S61[001]	S62[001]	S63[001] 123	S64[001]	S65[001]
S2[100] 123	S2[ba0]	S2[ab0]	S2[010] 123	S2[ab0]	S2[ba0]

В квадратных скобках даны значения направляющих косинусов, которые нужно поделить на нормировочный коэффициент или корень из суммы квадратов чисел в квадратных скобках.

Группа симметрии D3h.

Инвариант этой группы x³-3xy² допускает только инверсии по осям y, z. И не допускает инверсии оси x. Поэтому в группе D_6h надо исключить элементы, в которых имеется эта инверсия.

E	S61[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 -1	C62[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1	S63[001] 123	C64[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1	S65[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 -1
С2[100] 123	C2[ba0] a -b 0 -b -a 0 0 0 -1	C2[ab0] -a -b 0 -b a 0 0 0 -1	S2[010] 123	S2[ab0] a -b 0 -b -a 0 0 0 1	S2[ba0] -a -b 0 -b a 0 0 0 1

 

1.17.3 Группа симметрии C6v.Инвариант z.

Если в группе D_6h оставить только элементы, где отсутствует инверсия оси z (или к группе С₆ добавить элемент 123):

E	C61[001] a b 0 -b a 0 0 0 1	C62[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1	C63 123	C64[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1	C65[001] a -b 0 b a 0 0 0 1
S2[100] 123	S2 [ba0] -a b 0 b a 0 0 0 1	S 2[ab0] a b 0 b -a 0 0 0 1	S2[010] 123	S2[ab0] a -b 0 -b -a 0 0 0 1	S2[ba0] a -b 0 b a 0 0 0 1

1.18 Группа симметрии D₆. Инвариант z².

В группе D_6h надо оставить только чистые повороты (первая и вторая строка таблицы). По-другому к группе С₆ нужно добавить поворот на 180^о вокруг оси х: 123. В группе С₆ уже имеется элемент с двойной инверсией, поэтому добавляется элемент с двойной инверсией.

E	C61[001] a b 0 -b a 0 0 0 1	C62[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1	C63 123	C64[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1	C65[001] a -b 0 b a 0 0 0 1
С2[100] 123	C2[ba0] a -b 0 -b -a 0 0 0 -1	C2[ab0] -a -b 0 -b a 0 0 0 -1	C2[010] 123	C2[ab0] -a b 0 b a 0 0 0 -1	C2[ba0] a b 0 b -a 0 0 0 -1

 

Группа симметрии С6h.

 

E	C61[001] a b 0 -b a 0 0 0 1	C62[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1	C63[001] 123	C64[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1	C65[001] a -b 0 b a 0 0 0 1
I 123	S61[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 -1	S62[001] a -b 0 b a 0 0 0 -1	S63[001] 123	S64[001] a b 0 -b a 0 0 0 -1	S65[001] -a b 0 -b a 0 0 0 -1

 

Группа симметрии C6.

Это группа чистых поворотов относительно оси шестого порядка. Имеет в качестве дополнительного инварианта z, который исключает инверсию оси z.

E

C61[001] a b 0 -b a 0 0 0 1

C62[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1

C63 123

C64[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1

C65[001] a -b 0 b a 0 0 0 1

 

Группа симметрии C3h.

Эта группа получается из группы D_3h при исключении инверсий по оси y.

E

C62[001] º C31[001] -a b 0 -b -a 0 0 0 1

C64[001]º C32[001] -a -b 0 b -a 0 0 0 1

S63[001]º S2[001] 123

S2[ab0] a -b 0 -b -a 0 0 0 1

S2[ba0] -a -b 0 -b a 0 0 1

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: