Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Группы симметрии биологических молекул



Пространство живой материи отличается от физического пространства тем, что в этом пространстве отсутствуют элементы симметрии, переводящие левосторонние молекулы в правосторонние. Физическое пространство симметрично относительно группы ортогональных преобразований трёхмерного пространства и симметрично относительно любых чистых и инверсионных поворотов. В этом пространстве если существует левосторонняя тетраэдрическая молекула АВСD, то и существует правосторонняя молекула АВDС. Энергии таких молекул равны, поэтому их возникновения равновероятны. В пространстве живой материи более высокая организация и строительство материи происходит из молекул одного типа, а именно левосторонних молекул.

Поэтому группы симметрии биологических молекул будут группы, в которые входят только чистые повороты. Таких групп точечной симметрии одиннадцать:

О, Т, D4, D3, D2, D6, C4, C3, C6, C2, C1

 

Кроме того имеются три группы текстур с инвариантами псевдоскаляра: R3, и с дополнительными инвариантами: R2(z2), R1(z).

1.20 Группа симметрии чистых вращений трёхмерного пространства R3

Инвариант группы R3 это смешанное векторно-скалярное произведение трёх векторов (А[B× D]). Это произведение выражается через проекции векторов:

ax bx dx
ay by dy
az bz dz

 

Рассмотрим инвариантность этого определителя относительно поворотов, например, вокруг оси z. Для этого подействуем на него матрицей поворота:

 

cax+s ay cbx+s by cdx+s dy
-sax+cay -sbx+cby -sdx+cdy
az bz dz

 

Раскрывая определитель и в силу условия инвариантности приравнивая коэффициенты при проекциях единице, получим условие: с2+s2=1. Отсюда следует, что смешанное произведение инвариантно относительно поворотов.

Теперь остаётся рассмотреть трансформацию этого произведения относительно инверсии системы координат. Тройное произведение выражается через углы между векторами: ABD× CosSina, где a-угол между векторами B и D, d- угол между вектором А и векторным произведением. Отсюда видно, что это произведение инвариантно только для одного направления вращения либо левого, либо правого, но не инвариантно относительно обоих типов вращений: при замене a на -a произведение меняет знак. Поэтому группа R3 - исходная группа живой материи.

 

Группы симметрии и свойства веществ

Точечная группа симметрии вещества определяет симметрию физических свойств этого вещества. Поскольку значение физического свойства является непрерывной функцией от направлений, то оно характеризуется поверхностью физического свойства. Свойства симметрии дискретны, поскольку определяются поворотами на конечные углы. Поэтому свойства симметрии физического свойства должны включать в себя все элементы симметрии точечной группы вещества. По-другому, можно сказать, что физические свойства должны быть инвариантны относительно всех элементов симметрии вещества.

Физические свойства не зависят от трансляционной симметрии, поскольку индивидуальность вещества выражается в том, что его свойства симметрии постоянны в любых точках.

В первых главах было показано, что точечные группы можно представить как комбинацию группы перестановок и группы инверсий осей координат. Инвариантность свойств относительно элементов симметрии точечной группы вещества определяет правила выполнения этого принципа.

· Перестановки показывают, какие компоненты тензора физического свойства равны друг другу

· Инверсии осей координат показывают, какие компоненты тензора физического свойства равны нулю.

 

Полярно-векторные свойства веществ

Пример полярно-векторного свойства веществ является наличие в материале электрического поля с напряжённостью Е. Это сегнетоэлектрики и пироэлектрики. Полярный вектор меняет своё направление при инверсии системы координат и его проекции меняют свой знак:

123 Ex=-Ex, 123 Ey=- Ey, 123 Ez=-Ez

Поэтому если в группе симметрии вещества имеется трёхмерная инверсия, то исходя из инвариантности свойств нужно заключить Ex= Ey= Ez=0. В таких веществах отсутствуют полярно-векторные свойства.

Полярно-векторные свойства существуют в веществах, у которых в группе симметрии отсутствует инверсии по осям. И существует в тех направлениях, в которых отсутствуют инверсии. Другими словами эти свойства существуют в тех группах, в которых имеются инварианты с нечётными функциями координат: x, y, z.

Это следующие группы: Cnv, Cn, n=6, 4, 3, 2, 1 (C1vº Cs).

Задача: Определить направление сегнетоэлектричества в группах Сnv (n=4, 6, 3).

Группы С4v, С6v имеют инвариант z и внутреннее электрическое поле Ex= Ey=0, Ez¹ 0.

Группа С3v имеет инвариант (x+y+z), поэтому электрическое поле направлено по оси [111].

Можно аналитически определить, сколько компонент полярного вектора можно наблюдать в группе симметрии. Для этого надо рассчитать:

(1.29) ,

где c(G) –характер матрицы представления для элемента симметрии G, h-порядок группы или число элементов симметрии в группе, а- число компонентов полярного вектора не равных нулю.

Пример: 1.определить количество компонент полярного вектора для группы C3v. В группе 6 элементов симметрии: 123, 213, 132, 321, 231, 312 и формула) будет: а=(3+1+1+1+0+0)/6=1.

2.Тоже для группы D3: 123, 213, 132, 321, 231, 312 и а=(3-1-1-1+0+0)/6=0.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 546; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.01 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь