Свойства описывающиеся тензором второго ранга

 

Это свойство возникает при приложении к материалу внешнего векторного поля, при этом в материале возникает внутреннее векторное поле, величина которого определяется свойством материала. Это свойство описывается тензором второго ранга: V ⁽¹⁾=s* V ⁽²⁾, где V ⁽ⁱ⁾- полярный вектор внешнего и внутреннего поля, s- свойство материала, которое представляется таблицей 3х3 с девятью значениями компонентов:

s11	s12	s13
s21	s22	s23
s31	s32	s33

Структура этого тензора, т.е. отличные от нуля компоненты, определяются свойствами симметрии материала. Тензор должен быть инвариантным под воздействием всех элементов симметрии. Если какой-либо элемент симметрии приведёт к изменению матрицы тензора, то приравнивая эту матрицу к исходной можно определить равенство компонент нулю или другим компонентам. Здесь можно привести правила, по которым можно это сделать.

· Элементы симметрии с перестановками показывает какие компоненты тензора равны друг другу,

· Элементы симметрии с инверсиями показывают какие компоненты равны нулю,

· В тензоре имеется два типа элементов: диагональные и не диагональные с равными или не равными индексами.

Пример. Определить отличные от нуля компоненты тензора второго ранга для кристаллов с симметрией O_h.

Для диагональной компоненты можно записать равенство:

V⁽¹⁾₁=s₁₁× V⁽²⁾₁.

· Подействуем на обе стороны равенства элементом 123: 123V⁽¹⁾₁=s₁₂× 123V⁽²⁾₂. Инверсия оси х изменяет знаки х-проекций вектора V⁽¹⁾, поэтому равенство будет V⁽¹⁾₁=-s₁₂× V⁽²⁾₂. Поскольку свойство не должно меняться, то это будет при условии s₁₂=0.

· Поскольку в группе имеются инверсии других осей, то также можно доказать, что все недиагональные элементы равны нулю.

· Подействуем на обе стороны равенства элементом 231: 231V⁽¹⁾₁=s₁₁× 231V⁽²⁾₁. Этот элемент меняет ось х на ось у, поэтому изменятся проекции: V⁽¹⁾₂=s₁₁× V⁽²⁾₂. С другой стороны, из определения тензора можно для этих проекций записать равенство: V⁽¹⁾₂=s₂₂× V⁽²⁾₂. Поскольку при воздействии элемента симметрии кристалла свойство не должно меняться, то это будет при условии: s₁₁=s₂₂.

· Используя элемент 312 можно показать, что s₁₁=s₃₃.

Таким образом, тензор второго ранга имеет три равные друг другу и отличные от нуля компоненты.

1.22 Аналитический метод определения числа компонент тензора второго ранга

Представление тензора второго ранга получается умножением векторного представления самого на себя. Характер этого представления равен произведению характеров или характеру в квадрате. Число отличных от нуля компонент можно определить по формуле:

.

В предыдущем примере группы O_h эта формула работает следующим образом: В группе имеется 8 элементов без перестановок осей из них 2 со следами ±3 и 6 со следами ±1; 24 элемента с одной перестановкой со следами ±1; 16 элементов с двойной перестановкой след которых равен 0. Итого будет следующий результат: а=(2·9+6·1+24·1+16·0)/48=1.

Поскольку в этой формуле производится суммирование квадратов характеров, то а не может быть равно нулю ни для каких групп симметрии. Поэтому свойства, описываемые тензорами второго ранга, существуют для всех материалов. Структура тензоров второго ранга одинакова для всех групп кубической сингонии.

Симметричный и антисимметричный тензор второго ранга

Тензоры второго ранга бывают трёх типов:

1.Общего вида V² ,

2.Симметричный [V²], t_ij= t_ji

3.Антисимметричный {V²}, t_ij= -t_ji, t_ii= 0.

Тензор общего вида можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензора. Диагональные элементы симметричного и общего вида тензоров равны. Для недиагональных элементов: a_ij(V²) = a_ij[V²]+ a_ij{V²}, a_ji(V²) = a_ij[V²]-a_ij{V²}, откуда можно получить: 2× a_ij[V²] =a_ij(V²)+ a_ji(V²), 2× a_ij{V²} = a_ij(V²)-a_ji(V²).

 

Aнтисимметричный тензор второго ранга

Антисимметричный тензор второго ранга – это векторное произведение двух полярных векторов или аксиальный вектор: {V²}=[V₁*V₂]

i	j	k
V1x	V1y	V1z
V2x	V2y	V2z

 

 

Перестановка двух осей координат равносильна перестановке двух столбцов определителя, что меняет знак определителя и аксиального вектора, при двух перестановках знак не меняется.

Свойства, которые описываются этим тензором: напряжённость магнитного поля, механические напряжения и т.д.

Свойства симметрии аксиального вектора следующие:

· Перестановка двух осей меняет знак вектора

· Двойная перестановка осей знака вектора не меняет

· Инверсии осей координат могут изменить и не изменить знак проекции аксиального вектора, в зависимости от комбинации проекций двух полярных векторов, образующих эту проекцию. Инверсия всех осей не оставляет аксиальный вектор инвариантным.

Матрицы представлений аксиального вектора совпадают с матрицами полярных векторов, за исключением элементов с одной перестановкой осей координат. Ниже в таблице приведены следы матриц представления полярного (Г₄) и аксиального (Г₅) векторов для чистых поворотов группы О(432).

 

	123 Е	123 123 123	213, 213 132, 132 321, 321	213, 213 132, 132 321, 321	231, 231, 231, 231 312, 312, 312, 321
Г4, (V)		-1	-1
Г5.({V2})		-1		-1

Как видно из этой таблицы только для 12 элементов с одной перестановкой осей след изменяет знак (4 и 5-ая колонки). Для групп с инверсионными поворотами следы полярного вектора меняют знак, а аксиального нет. Так как S_n^k= C_n^k× I и инверсия трёх осей не меняет знака аксиального вектора, поэтому характер матрицы для них будут совпадать с характером чистых поворотов.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: