|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Матрица зонной структуры кристаллов со структурой алмаза
При составлении матрицы тензора взаимодействия необходимо учитывать следующие правила отбора по перестановочной и инверсионной симметрии состояний: Перстановочная симметрия. Поскольку любое взаимодействие в орбитальном пространстве является скаляром в пространстве спина, то эти взаимодействия отличны от нуля только для состояний с одинаковой спиновой перестановочной симметрией. · Инверсионная симметрия. Чётное взаимодействие имеет отличные от нуля матричные элементы между состояниями одинаковой чётности, не чётное взаимодействие – между состояниями противоположной чётности. В Табл. 2.2 приведена матрица взаимодействия для основных состояний зонной структуры кристаллов типа алмаза. В качестве базисных функций были взяты базисные функции нормированных представлений группы куба.
Табл. 2.2. Матрица взаимодействия для основных состояний зонной структуры кристаллов типа алмаза.
Введены следующие обозначения: Е1=Е(Г1+)+kx2+ ky2+ kz2, E25= Е(Г25+)+kx2+ ky2+ kz2, E15=Е(Г15-)+kx2+ ky2+ kz2, E2= Е(Г2-)+kx2+ ky2+ kz2, k=2p/a*ab*ki, ki=0.. 1 [001], ki=0.. 1/2 [111], где а – параметр кристаллической решётки, аb-Боровский радиус. Индексами в скобках отмечены повторяющиеся однотипные состояния. Значения недиагональных матричных элементов даны в таблице 3.
Таблица 3.Значения недиагональных матричных элементов. 2.8 Зонная структура кремния в направлениях [001], [111] Для расчёта зонной структуры в направлении [001]вектора k надо положить kx= ky=0 и рассчитывать энергии относительно проекции kz: kz=2p/ab*a*ki, где ki=0.. 1. Для расчёта зонной структуры в направлении [111] нужно положить kx= ky= kz= k/Ö 3 и рассчитывать матрицу относительно величины k: k=2p/ab*a*ki, где ki=0.. ½. Ниже приводятся данные расчёта зонной структуры кремния в направлении [001] и [111] в единицах электрон-вольт (отрицательные значения ki в направлении [111] приняты условно).
Табл. 2.3. Зонная структура кремния в направлении [001] и [111] (единицы электрон-вольт).
Данные расчёта энергетической структуры кремния в области минимума энергии зоны проводимости для значений ki=0.8..0.85.
Энергия минимума зоны проводимости в зависимости от ki приведена на Рис. 2.2. Энергия в минимуме равна 1.1957эв. при значении квазиимпульса ki=0.824.
Рис. 2.2. Энергия дна зоны проводимости кремния от ki [001].
Рис. 2.3. Энергия дна зоны проводимости кремния в направлении [100]. Формулы зависимости энергии зоны проводимости от величины квазиимпульса для двух направлений представлены ниже: E(ki[001])=–1.2·105(ki–0.8235)4+33.33·(ki–0.8235)3+5.328·(ki–0.8235)2+ 1.195761 ( 2.4) E(ki[100])= -128·ki4 +26.36·ki2 +1.19576. По этим зависимостям можно определить эффективную массу электронов: ( 2.5) где а, а0- параметр решётки полупроводникового материала и Боровский радиус, Е-энергия в атомных единицах. Для кремния эти формулы будут: ( 2.6) Вторая производная энергии по квазиимпульсу определяется по формулам ( 2.4 ) для двух направлений [001], [100].
Откуда эффективные массы будут:
Эффективная масса определяется относительно массы свободного электрона. Поскольку эффективная масса это вторая производная скалярной величины по полярному вектору k , тоона является тензором второго ранга с тремя главными значениями m[001], m[100]= m[010].
Данные расчёта энергетической структуры кремния в области максимума энергии валентной зоны для значений ki от 0 до 0.1 в двух направлениях зоны [001], [111] даны на Рис. 2.5.
Зависимости энергии этих состояний от величины квазиимпульса для направлений [001], [00-1]: ( 2.7)
Рис. 2.4. Энергия валентной зоны кремния в направлениях [111], [001].
Массы дырок двух типов рассчитываются аналогично массы электронов:
mp1=-0.374/1.08=-0.346, mp2=-0.374/2.58=-0.145. Из рис.4 видно, что зависимости энергии валентной зоны в направлении [001], [111] имеют некоторую ассимметрию зависимости. Аналитическая зависимость энергии валентной зоны в этом направлении для двух типов электронов в валентной зоне будет: ( 2.8) Вторая производная энергии по квазиимпульсу и массы двух типов будут:
Экспериментально по наблюдению циклотронного резонанса эффективная масса двух типов дырок равна 0.5 и 0.16, что находится в согласии со средними величинами масс (0.346, 0.7). Следует отметить, что вторые производные энергии максимума валентной зоны отрицательны. Это приводит к тому, что эффективные массы электронов в валентной зоне отрицательны, поэтому переходят к формализму дырок. Дырка с положительной массой и положительным зарядом ведёт себя также как и электрон с отрицательной массой и отрицательным зарядом. Зонная структура германия Расчёт зонной структуры германия приведён в ( 2.7): Табл. 2.4. Зонная структура германия (эв.)
Графически эти зависимости представлены на Рис. 2.5.
Рис. 2.5. Энергия уровней зонной структуры германия в двух направлениях [001], [111].
Для германия минимум зоны проводимости наблюдается в направлении [111] почти на границе зоны. В Табл. 2.5 приведена энергия зоны проводимости в области минимума. Табл. 2.5. Энергия зоны проводимости в области минимума энергии
На Рис. 2.6 показана зависимости энергии минимума зоны проводимости в увеличенном масштабе.
Рис. 2.6. Энергия минимума зоны проводимости германия в направлении [111]Г2(эв.)
Аналитически зависимость энергии уровня Г2 от k в области минимума энергии представляется следующим степенным рядом: (2.9)
Эффективная масса электронов в зоне проводимости рассчитывается для параметра кристаллической решётки 0.566 нМ и второй производной энергии вблизи минимума зоны проводимости по формуле: (2.10)
Вторая производная определяется по уравнению (2.9):
Точность определения эффективной массы в этом случае недостаточна, так как при получении степенного ряда разложение определялось по одной половине минимума энергии.
Область энергии вблизи максимума валентной зоны более подробно показан на Рис. 2.7.
Рис. 2.7. Валентная зона германия в области максимума энергии для двух направлений зоны: [111], [001].
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 376; Нарушение авторского права страницы
, 
.
.
.
