Тест математической грамотности

 

Основное содержание математики в стандарте начальной школы группируется вокруг понятия натурального числа и представлено разделом «Числа и вычисления». Сюда относится весь традиционный арифметический материал, касающийся как формальной стороны понятия числа (позиционная запись чисел, стандартные алгоритмы действий над числами, порядок выполнения действий, свойства действий), так и содержательной, связанной со счетом предметов и измерением величин (причем большая часть материала, относящегося к понятию величины, осваивается через решение так называемых текстовых задач). Остальная часть, озаглавленная «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Геометрические измерения», хотя и представляет геометрический материал, но все равно в значительной степени посвящена вычислениям и измерению (длина и площадь отдельных фигур).

В данной диагностической разработке все основное содержание проверки было условно разделено на пять областей.

Во-первых, был выделен в отдельную область «Числа и вычисления» материал, относящийся к формальной стороне понятия натурального числа (позиционная запись чисел, стандартные алгоритмы действий над числами, порядок выполнения действий, свойства действий).

Во-вторых, ввиду прикладной важности была выделена область «Измерение величин», причем к этой области отнесен материал, связанный собственно с действием измерения (прямое и косвенное измерение), а не текстовые задачи. В частности, сюда же отнесены геометрические измерения.

В третьих, была выделена область «Закономерности», содержание которой связано с построением числовых и геометрических последовательностей и др. структурированных объектов, а также с подсчетом их количественных характеристик. Эта линия, к сожалению, практически не представлена в российском образовательном стандарте, хотя имеет большое значение в плане развития математического мышления (в первую очередь – алгоритмического и комбинаторного).

К четвертой области «Зависимости» отнесено содержание, которое связано с выделением и описанием математической структуры отношений между величинами, обычно представляемых текстовыми задачами.

Наконец, пятая область «Элементы геометрии» охватывает геометрический материал, связанный с определением пространственных форм и взаимным расположением объектов.

Выделенные области, с нашей точки зрения, охватывают основное содержание всех российских программ по математике для начальной школы (относительно зарубежных программ требуется отдельное исследование, хотя, вероятнее всего, отличия от нас не очень существенные). В дальнейшем возможно введение и других содержательных областей, например, «Вероятность, дроби, диаграммы». К ней могут быть отнесены встречающиеся в начальной школе задачи на нахождение части целого, связанные с понятием обыкновенной дроби, а также задачи, относящиеся к элементарным вероятностным представлениям, которые присутствуют в ряде зарубежных стандартов начальной математики. Однако в России пока что делаются лишь первые попытки введения вероятностных представлений, и то в основной и старшей школе.

Следует отметить, что существует еще область, связанная с математическими рассуждениями и пониманием математических текстов. Но выделение ее в качестве отдельной актуально, с нашей точки зрения, именно для основной и старшей школы. В начальной же школе математические обоснования в большей мере опираются на предметные действия, чем на формальные рассуждения. Поэтому данная область в начальной школе по существу растворена в других содержательных областях, базирующихся на предметных способах действия, и не предполагает специального выделения.

Все основное содержание проверки может быть представлено в виде матрицы (табл. 2), в первом столбце которой даны названия выделенных областей предметного содержания, во втором перечислены математические средства, овладение которыми определяет меру математической компетентности, а в третьем – математические действия, в которых данные средства используются.

 

Таблица 2. Предметное содержание теста математической грамотности

Область предметного содержания	Средства математического действия (понятия, представления)	Математические действия
Числа и вычисления	· позиционный принцип (многозначные числа) · свойства арифметических действий	· сравнение многозначных чисел · выполнение алгоритмических действий с многозначными числами · прикидка · элементы рационального счета
Измерение величин	· отношение между числом, величиной и единицей · отношение «целого и частей» · формула площади прямоугольника	· прямое измерение длин линий и площадей фигур (непосредственное «укладывание» единицы, «укладывание» единицы с предварительной перегруппировкой частей объекта) · косвенное измерение (измерение с помощью приборов, вычисление по формулам)
Закономерности	· «индукционный шаг» · повторяемость (периодичность) · симметрия	· выявление закономерности в числовых и геометрических последовательностях и других структурированных объектах · вычисление количества элементов в структурированном объекте
Зависимости между величинами	· отношения между однородными величинами (равенство, неравенство, кратности, разностное, «целого и частей») · прямая пропорциональная зависимость между величинами · производные величины: скорость, производительность труда и др. · соотношения между единицами	· решение текстовых задач. · описание зависимостей между величинами на различных математических языках (представление зависимостей между величинами на чертежах, схемами, формулами и пр.) · действия с именованными числами
Элементы геометрии	· форма и другие свойства фигур (основные виды геометрических фигур) · пространственные отношения между фигурами	· распознавание геометрических фигур · определение взаимного расположения геометрических фигур

На основе приведенной технологической матрицы были разработаны два эквивалентных массива математических задач, каждый из которых покрывает на всех уровнях ее содержание (см. табл.3).

 

Таблица 3. Распределение задач по разделам предметного содержания и уровням опосредствования

Область предметного содержания	Общий массив	Задания 1 уровня	Задания 2 уровня	Задания 3 уровня
Закрытые вопросы	Открытые вопросы	Закрытые вопросы	Открытые вопросы	Закрытые вопросы	Открытые вопросы	Закрытые вопросы	Открытые вопросы
Числа и вычисления
Измерение величин
Закономерности
Зависимости между величинами
Элементы геометрии
ВСЕГО

Индикаторы уровней освоения предметного содержания (виды тестовых задач, вопросов)

Первый уровень (формальный) – ориентация на форму способа действия.

Предполагает умение действовать по образцу в стандартных условиях. Индикатором достижения этого уровня является выполнение задания, для которого достаточно уметь, опираясь на внешние признаки, опознать его тип и реализовать соответствующий формализованный образец (алгоритм, правило) действия.

В области «Числа и вычисления» задания первого уровня связаны, прежде всего, как непосредственно с выполнением арифметического действия, так и с некоторыми стандартными приемами, используемыми при вычислениях, такими, например, как оценка результата, округление, проверка результата обратным действием.

Какое получится число, если 10472 разделить на 34? Отметь правильный ответ. А. 37 Б. 38 В. 308 Г. 309

Например, задание 1 уровня:

 

Ответ: В

Это задание может решаться как прямым вычислением, так и прикидкой (варианты А и Б отбрасываются по количеству разрядов, а варианты Г и Д - по последней цифре).

 

В области «Измерение величин» задания первого уровня связаны с простыми измерениями. Если речь идет о прямом измерении, то результат достигается или непосредственным укладыванием единицы (в случае измерения длины и площади) или с помощью знакомых приборов (например, линейка или часы). В любом случае в заданиях этого уровня не требуется производить предварительных преобразований объектов, участвующих в измерении. В случае косвенных измерений могут требоваться простейшие расчеты с использованием известных формул (например, формулы площади прямоугольника). Например:

 

1 см

 

 

Площадь квадрата со стороной 1см называется квадратным сантиметром и
обозначается – см².

 

Измерь в квадратных сантиметрах площадь закрашенной фигуры.

 

 

Ответ: 6 см²

Это задание можно выполнить непосредственным укладыванием единицы площади в измеряемой величине.

 

В области «Закономерности» первому уровню соответствуют задания, в которых даны последовательности с легко выделяющимся «шагом» и число элементов в структурированном объекте определяется прямым подсчетом (например, если структурированный объект имеет небольшое число элементов). Например:

 

 

 

 

Ответ: Б

 

В этом задании можно произвести непосредственный подсчет по рисунку.

 

В области «Зависимости» задания первого уровня представляют собой стандартные текстовые задачи, которые содержат небольшое число легко вычленяемых из текста отношений. Например:

	Веревка состоит из разноцветных кусков: зеленого, желтого и красного. Найди длину зеленого куска, если длина желтого 10 см, длина красного 15 см, а длина всей веревки 37 см. Отметь правильный ответ. А. 62 см Б. 25 см В. 27 см Г. 12 см

 

 

Ответ: Г

Стандартная задача на отношение «целого и частей».

 

В области «Элементы геометрии» в заданиях первого уровня фигуры имеют легко распознаваемые форму и положение. Например:

Поставь точку так, чтобы она лежала внутри квадрата и треугольника и была вне круга

 

Ответ. Любая точка в заштрихованной области

 

В задании представлены хорошо распознаваемые фигуры. Положение точки определяется непосредственно.

 

 

Второй уровень (предметный) – ориентация на существенное отношение в основе способа действия.

Предполагает умение определять способ действия, ориентируясь не на внешние признаки задачной ситуации, а на лежащие в ее основе существенное (предметное) отношение.

В области «Числа и вычисления» задания второго уровня в большей степени должны строиться не на прямых вычислениях, а на выяснении и учете «строения» многозначного числа или выражения. К этому уровню относятся также задания, в которых надо самому определить программу вычислений. Например:

	Петя, переписывая из учебника пример на умножение, первый множитель 27 записал правильно, а во втором множителе переставил местами две последние цифры. Из-за этого в ответе у него получилось число 8235. Какой ответ должен был получить Петя, если бы он правильно переписал пример?

 

 

Ответ: 9450

В отличие от предыдущего задания, где сразу ясно, что нужно делать, здесь еще нужно проанализировать ситуацию и построить определенную программу действий: на первом шаге с помощью обратного действия (деления) находится искаженный множитель (8235: 27 = 305), на втором по описанию ошибки множитель исправляется (350), на третьем шаге находится правильный ответ (27 · 350 = 9450).

 

В области «Измерение величин» второй уровень относится к таким заданиям, в которых невозможно сразу применить непосредственные действия и надо сначала либо преобразовать объекты, участвующие в измерении (в случае прямого измерения), либо перейти в модельный план, либо отстроиться от «возмущений» и определить правильную программу вычислений. Например:

Измерь площадь закрашеной фигуры заданной единицей

 

 

Ответ: 7

В отличие от заданий первого уровня здесь «прямое» укладывание не проходит. Необходимо увидеть, что измеряемая фигура получается из квадрата отрезанием двух кусочков, которые вместе составляют единицу измерения.

 

В области «Закономерности» второму уровню соответствуют задания, в которых прямой подсчет элементов в структурированном объекте затруднен (например, если структурированный объект имеет большое число элементов или не так просто выделить «шаг» последовательности) и необходимо определить программу вычислений. Например:

 

 

Ответ: Б

В этом задании требуется сосчитать достаточно большое число элементов в структурированном объекте, для чего нужно определить его структуру и составить способ подсчета его элементов (возможны разные способы). Например, можно увидеть, что за каждый столик, кроме крайних, могут сесть по два гнома, а за крайние – по три. А можно увидеть: что по длинным сторонам «большого» стола, за каждый столик могут сесть по 2 гнома и еще два гнома с краев «большого» стола.

 

В области «Зависимости» второму уровню соответствуют текстовые задачи со «скрытой» структурой отношений, для выявления которых требуется построение модели или проведение дополнительных рассуждений. Например:

	Веревка состоит из разноцветных кусков: синего, белого и красного. Длина синего и белого кусков вместе 8 см, длина белого и красного вместе 9 см. Длина всей веревки 15 см. Найди длину белого куска веревки.

Так называемая задача на «перекрытие» частей. Она допускает арифметическое решение, но чтобы его увидеть необходимо провести содержательный анализ текста, возможно с использованием чертежа. Необходимо сначала найти длину красного или синего куска (используя длину всей веревки и общую длину двух оставшихся кусков), а затем длину белого (используя общую длину белого куска с одним из других кусков и найденную длину этого куска). Составление уравнения (что, вообще говоря, не характерно для начальной школы) также требует анализа текста.

Правильный ответ: 2 м

 

В области «Элементы геометрии» в заданиях второго уровня фигуры и их положение не соответствуют типичным для них зрительным образам. Другой тип заданий второго уровня, связан с задачами, в которых требуется учитывать идеализированные свойства геометрических фигур, противоречащие их изображению (например, бесконечность прямой). Например:

 

:

Какие из фигур, изображенных ниже, являются прямоугольниками?

Отметь все правильные ответы.

 

 

Ответ Б, Г, Д

Изображенные прямоугольники отличаются от типичных (стереотипных) представлений: в случаях Б (квадрат) и Д (слишком вытянутый) – формой, в случае Г – положением. Наоборот, фоновые фигуры А и В «похожи» на прямоугольники

Третий уровень (функциональный) – ориентация на границы способа действия.

Предполагает свободное владение способом. Индикатором достижения этого уровня является выполнение заданий, в которых необходимо переосмыслить (преобразовать) ситуацию так, чтобы увидеть возможность применения некоторого известного способа (это может быть реализовано в виде некоторого внешнего преобразования модели, а может быть связано с обращением действия или преодолением сильнодействующего стереотипа действий), либо сконструировать из старых новый способ, применительно к данной ситуации.

 

Пример задачи третьего уровня из области «Числа и вычисления»

	Какой самый большой результат может получиться, если в выражении ABC + BDE + EC заменить буквы цифрами (разные буквы заменяются разными цифрами)?

 

 

Ответ: 1936

В основе этого задания лежит принцип позиционности, на основе которого с помощью логических рассуждений подбираются цифры в разрядах. Задача на первый взгляд представляется как допускающая несколько равнозначных решений (но не ответ), т.к. цифры из одного и того же разряда разных слагаемых взаимозаменяемы. И если бы это было так, то задание можно было бы отнести ко 2 уровню. Однако в условие введено «возмущение»: в разных слагаемых на разных позициях имеются одни и те же буквы, что существенно меняет логику рассуждений (теперь, подбирая цифры для получения старшего разряда, необходимо удерживать и следующий разряд), т.е. требует модификации способа. В результате получается однозначный ответ 895 + 976 +65 = 1936.

 

Область «Измерение величин»

На сколько см² площадь первой фигуры больше площади второй фигуры?

 

 

Ответ: 6 см²

Это задание требует преодоления стереотипа: «для того чтобы найти разность величин надо знать значения самих величин». Но измерение площадей обеих фигур здесь как раз невозможно, да и не нужно, поскольку искомая разность – это площадь прямоугольника, получающегося удалением из первой фигуры двух полукругов, образующих вторую фигуру. Таким образом, необходимо преобразование ситуации: разность должна выступить не как отношение между результатами измерений, результат измерения нового специальным образом выделенного объекта.

 

Область «Закономерности»

За столик гномы садятся по одному с каждой стороны. Столики составили

вплотную один к другому. Выбери подходящий длинный стол, если количество

гномов, сидящих за этим столом, подсчитывается по формуле

5 · 2 + 4 · 50 = 210

	А.

……..

 

	Б.

……..

 

	В.

……..

 

	Г.

……..

 

 

Ответ: Б

Выполнение этого задания требует обращения действий: по представленному способу вычислений найти тот объект, к которому этот способ относится.

 

Область «Зависимости»

	Веревка состоит из разноцветных кусков: синего, зеленого и красного. Длина синего и зеленого кусков вместе 16 см, длина зеленого и красного вместе 14 см. Длина синего и красного вместе 20 см. Найди длину всей веревки.

 

 

Ответ: 25 м

Способ решения по действиям в обычном смысле не проходит (ни одно из отношений по отдельности не определяет действия, позволяющего найти какой-либо из его неизвестных членов) для этой задачи не проходит. Для решения нужно сконструировать новый способ, использующий одновременно все заданные отношения. Надо увидеть, что общие длины всех пар кусков, вместе образуют длину удвоенной веревки: 16 +14 + 20 = 50 м.

Область «Элементы геометрии»

Отрезок АВ пересечен линией так,

что получилось 4 квадрата (см. рисунок).

Чему равна длина этой линии, если

длина отрезка АВ равна 7 см?

 

 

Ответ: 21 см

Задание содержит в себе кажущуюся неопределенность, состоящую в том, что ломаная, удовлетворяющая заданному условию, может быть построена бесконечным числом способов (это, однако, не нарушает однозначности результата). При решении нужно преодолеть стереотип необходимости нахождения каждого звена ломаной по отдельности и увидеть, что каждый кусок отрезка, являясь одной стороной квадрата, в 3 раза меньше соответствующего фрагмента ломаной, состоящего из остальных трех сторон квадрата. А значит длина ломаной в 3 раза больше длины отрезка АВ (7 · 3 = 21 см).

 

Примеры блоков задач разного уровня

Измерение площади

Й уровень

Сколько квадратных сантиметров составляет площадь прямоугольника ABCD?

Ответ: 10 см2

Комментарий. Это задание можно выполнить двумя способами: либо непосредственным укладыванием единицы площади в измеряемой величине, либо вычислением по формуле площади прямоугольника, для чего требуется сначала соотнести линейные размеры фигур.

 

 

Й уровень

Измерь площадь фигуры, показанной на рис.1, используя в качестве единицы измерения площадь фигуры, показанной на рис. 2. Запиши получившееся число.

Ответ: 6

Комментарий. В отличие от заданий первого уровня здесь «прямое» укладывание не проходит, требуется предварительное перекраивание, например, преобразование единицы измерения в равновеликую полоску, либо переход от предметного действия с фигурами к действию с числами (единица равна 5 клеточкам)

 

 

Й уровень

Измерь площадь большого треугольника, используя в качестве единицы измерения площадь маленького треугольника. Запиши получившееся число.

Ответ: 10

Комментарий. Прямое укладывание (соответствующее 1 уровню) единицы невозможно. Перекроить подходящим образом и измеряемую фигуру и единицу измерения (2 уровень), достаточно сложно. По существу, нужно «изобретение» нового способа: достраивание и измеряемой фигуры, и единицы до прямоугольников. Для этого необходимо понимание того, что одновременное увеличение величины и единицы в одно и то же число раз сохраняет результат измерения.

 

Площадь прямоугольника

Й уровень

Чему равна площадь прямоугольника, длина которого 10 см, а ширина в 2 раза меньше? Отметь правильный ответ.   А. 15 см2 Б. 30 см2 В. 50 см2 Г. 80 см2

Ответ: В

Комментарий. Стандартное задание на применение формулы площади прямоугольника.

 

Й уровень

Все стороны прямоугольника уменьшили в 2 раза. Во сколько раз уменьшилась площадь прямоугольника? Отметь правильный ответ. А. в 2 раза Б. в 4 раза В. в 8 раз Г. Для ответа не хватает данных о длине сторон исходного прямоугольника

Ответ: Б

Комментарий. В этом задании отсутствие конкретных размеров прямоугольника не позволяет получить результат прямым вычислением с использованием формулы площади прямоугольника. Необходимо либо провести рассуждение общего характера, либо провести формальное преобразование буквенного выражения (что можно исключить применительно к начальной школе), либо построить графическую (геометрическую) модель. В любом случае это требует содержательного анализа предметной ситуации. Кроме того отсутствие конкретных размеров прямоугольника провоцирует некоторых детей выбрать ответ Г.

 

 

Й уровень

Известно, что площадь квадрата со стороной b в 4 раза больше площади квадрата со стороной а (см. чертеж). Найди а

Ответ: а = 10 см

Комментарий. В этом задании связь между сторонами квадратов а и b не очевидна. Чтобы ее увидеть, надо преобразовать чертеж: сдвинуть маленький квадрат так, чтобы его стороны легли на стороны большого квадрата, т.е. на 3 см вправо

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: