Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема: «Функции, их свойства и графики. Степенная функция»Стр 1 из 6Следующая ⇒
Тема: «Функции, их свойства и графики. Степенная функция» Степени. Корни. Определения степеней: 1. an = a × a × … × a, n Î N. 2. a1 = a 3. а 0 = 1, (0 0 - не имеет смысла). 4. , . 5. , a³ 0, n Î N, т Î Z. Свойства степеней: Четная степень отрицательного числа есть число положительное. Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное. Любая степень положительного числа есть число положительное. 4. 0 n = 0, n Î N. 5. 1 n = 1 , n Î N. 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . Определения корней: 1. .
2. Свойства корней:
1. , а ³ 0, b ³ 0. 2. , а ³ 0, b > 0. 3. , а ³ 0, n Î N, k Î N. 4. , а ³ 0, n Î N, т Î N. 5. , а ³ 0, n Î N, т Î N, k Î N. 6. При любом значении а . 2. Числовая функция: область определения, множество значений, способы задания
Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятия постоянной и переменной величин. Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоянные и переменные.
Определение: Величина называется постоянной, если она в условиях данного эксперимента сохраняет одно и то же значение. (Постоянная – const. (лат.)) Пример: Постоянными величинами являются: 1. длина радиуса данной окружности; Температура кипения воды при постоянном давлении. Замечание: Некоторые постоянные сохраняют свое числовое значение при любых условиях, их называют абсолютными постоянными. Пример: Абсолютными постоянными величинами являются: 1. сумма углов треугольника; 2. скорость света в пустоте; 3. количество секунд в минуте; 4. p = 3, 14…; 5. е = 2, 718281828459045…. Определение: Величина называется переменной, если она в условиях данного эксперимента может принимать различные значения. Пример: Скорость камня, брошенного вверх, является переменной величиной. В практических задачах часто рассматриваются переменные величины, которые связаны между собой так, что значения одной определяют значения другой. Пример: Объем V шара радиуса R определяется по формуле . ; p – постоянные величины; R – независимая переменная; Монотонность функций Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (Рис. 1).
Рис. 1. Рис. 2 Вывод: График возрастающей функции - восходящая кривая, график убывающей функции - нисходящая кривая при перемещении вдоль оси абсцисс в положительном направлении. Определение: Функция только возрастающая или только убывающая на данном промежутке называется монотонной на этом промежутке.
монотонновозрастающая монотонноубывающая не монотонная функция функция функция Обратимость функций Определение: Функция называется обратимой (имеет обратную функцию), если она принимает каждое свое значение один раз.
Рис. 1: Рис. 2: Функции (Рис. 1)и ( Рис. 2) определены на и имеют множество значений . Функция принимает каждое свое значение один раз, то есть у = f ( х ) -обратимая функция. Функция принимает некоторые свои значения не один раз, то есть у = j ( х ) -необратимая функция. Вывод: Обратима только монотонная функция. Пример: Найти функцию обратную функции . Построить графики взаимно обратных функций. Решение: 1. Из формулы выразим х через у: ; ; . В полученной формуле поменяем местами х и у: . и - взаимно обратные функции. 2.
х - 2 2 у - 5 3
х - 5 3 у - 2 2 График функции - прямая l1 проходит через точки ( - 2; - 5) и (2; 3). График функции - прямая l2 проходит через точки ( - 5; - 2) и (3; 2). Прямая является осью симметрии прямых l1 и l2. Вывод: 1. Чтобы получить функцию, обратную даннойфункции , надо из формулы выразить х через у и в полученной формуле поменять местами х и у. 2. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой . Ограниченность функций Определение: Функция называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что все значения функции удовлетворяют условию , то есть . Определение: Функция называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что все значения функции удовлетворяют условию , то есть .
- ограниченная снизу, но - неограниченнаясверху неограниченная сверху функция и снизу функция Упражнения: 1. Выяснить, является ли функция четной или нечетной: а) ; б) ; в) ; г) ; 2. Найти область определения функции, заданной формулой: U AAYACAAAACEAndLTfpAKAAAyVgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAAnn+zuEAAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADqDAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s UEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAPgNAAAAAA== ">
3. Дана функция на отрезке . Найти обратную ей функцию и ее область определения. 4. Исследовать функцию, заданную графиком: Схема исследования функции
4. Линейная функция, ее свойства и графики Определение : Линейной функцией называется функция вида , где x – независимая переменная, k, b – некоторые числа. Замечание: Графиком линейной функции является прямая.
1. Область определения функции : . 2. Множество значений функции : . 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ; f ( - х ) = k ∙ ( - х ) + b = - k ∙ x + b; и . 4.
Рис. 1. Рис. 2. Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. a - угол наклона прямой l к положительному направлению оси Ох. k = tg a - угловой коэффициент прямой l.
Þ – монотонно возрастающая функция (Рис. 1.) Þ – монотонно убывающая функция (Рис. 2.) 5. Функция является обратимой: ; - функция, обратная для . 6.
7.
Рис. 3. Рис. 4.
; ; ; ; y < 0; y > 0; y > 0. y < 0. 8. Функция неограниченная: 9. При х = 0 у = b. – точка пересечения прямой с осью Оу. b – начальная ордината – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.
Рис. 5. Рис. 6. Частные случаи линейной функции . 1. k = 0; y = b ( у = const ); 2. b = 0, k ¹ 0; y = k x – прямая пропорциональность.
Пример : Рис.1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5 Рис. 6 5. Степенная функция, ее свойства и графики Определение: Функция вида , где a Î R, называется степенной функцией.
( a - натуральноечетное число) 1. Область определения функции: (любое действительное число можно возвести в квадрат). 2. Множество значений функции: (при возведении в квадрат любого действительного числа получается неотрицательное число). ; х = 0 у = 0; .
3. Функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого х Î R выполняется равенство . . Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат. 4. Функция не является монотонной, так как она убываетпри и возрастаетпри . Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 ( b = 0, c = 0) ( b = 0) ( c = 0) Общий случай: ( b ¹ 0, c ¹ 0)
.
при а < 0 .
.
Рис. 4 Рис. 5 а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0
при а > 0 у - убывает; у - возрастает; при а < 0 у - возрастает; у - убывает.
; ; х1; 2 - нули функции; ; х - нуль функции; ; нулей функции нет.
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;
7. Уравнения с одной переменной 7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если . Обозначение: - модуль числа а.
Замечание: 1. Из определения следует, что при любом действительном а . 2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.
½ - 2 ½ = 2; ½ 2 ½ = 2; ½ 3, 5 ½ = 3, 5; ½ 0 ½ = 0.
3. ½ b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b.
½ b - а½ = b - а, если b > а ½ b - а½ = а - b, если b < а
Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:
1. Раскрытие модуля по определению. 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 3. Разбиение на промежутки.
Пример: 1. . Решение: Так как при любом х , то уравнение решений не имеет. Ответ: Решений нет. 2. . Решение: Раскроем по определению:
Ответ: х1 = 4; х2 = - 1.
Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение , равносильное данному.
3. . Решение: Если х+1 < 0, то уравнение корней не имеет, так как . Если х+1 ≥ 0, то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
; ; ; ; ; ; ; . Ответ: ; . 4. . Решение: , . Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат: Û Û Û ; ; ; ; ; . Ответ: ; . 5. . Решение: 1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0. 3 – х = 0 при х = 3. х + 2 = 0 при х = – 2. 2) Числовая прямая разбивается на промежутки: . Определим знак каждого из дву |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-17; Просмотров: 471; Нарушение авторского права страницы