Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Функция является обратимой, так как является монотонной. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
6. у = 0; = 0 уравнение корней не имеет, нулей функции нет. Вывод: График функции не пересекает ось Ох.
7. у < 0; у > 0. 8. Функция является неограниченной сверху и снизу. Упражнения: 1. Дана функция . Найти: f (0), f ( - 1), f (1) , f ( ). 2. Найти область определения функции: 1) ; 2) ; 3) . 6. Квадратичная функция, ее свойства и графики Определение: Функция вида , где a, b, c - действительные числа, причем а ¹ 0, называется квадратичной функцией. Замечание: Графиком квадратичной функции является парабола, по-разному расположенная относительно координатных осей. Частные случаи:
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 ( b = 0, c = 0) ( b = 0) ( c = 0) Общий случай: ( b ¹ 0, c ¹ 0)
.
при а < 0 .
.
Рис. 4 Рис. 5 а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0
при а > 0 у - убывает; у - возрастает; при а < 0 у - возрастает; у - убывает.
; ; х1; 2 - нули функции; ; х - нуль функции; ; нулей функции нет.
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;
7. Уравнения с одной переменной 7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если . Обозначение: - модуль числа а.
Замечание: 1. Из определения следует, что при любом действительном а . 2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.
½ - 2 ½ = 2; ½ 2 ½ = 2; ½ 3, 5 ½ = 3, 5; ½ 0 ½ = 0.
3. ½ b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b.
½ b - а½ = b - а, если b > а ½ b - а½ = а - b, если b < а
Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:
1. Раскрытие модуля по определению. 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 3. Разбиение на промежутки.
Пример: 1. . Решение: Так как при любом х , то уравнение решений не имеет. Ответ: Решений нет. 2. . Решение: Раскроем по определению:
Ответ: х1 = 4; х2 = - 1.
Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение , равносильное данному.
3. . Решение: Если х+1 < 0, то уравнение корней не имеет, так как . Если х+1 ≥ 0, то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
; ; ; ; ; ; ; . Ответ: ; . 4. . Решение: , . Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат: Û Û Û ; ; ; ; ; . Ответ: ; . 5. . Решение: 1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0. 3 – х = 0 при х = 3. х + 2 = 0 при х = – 2. 2) Числовая прямая разбивается на промежутки: . Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:
3) Решим уравнение на каждом промежутке: При ; . . При ; . . При ; .
Ответ: .
Упражнения:
7.2. Иррациональные уравнения Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.
Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.
Пример:
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; . Проверка: х1 = 2; ; ; х2 = - 2; ; . Ответ: .
Решение: Û ; Возведем обе части уравнения в квадрат: ; 5 - х = 25; х = - 20. Проверка: х = - 20; ; 7 = 7. Ответ: х = - 20.
Решение: Û Û ; Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; ; ; ; х1 = - 3; х2 = 5. Проверка: х1 = - 3; ; ; - не существует; х1 = - 3 - не является корнем данного уравнения. х2 = 5; ; 8 = 8. Ответ: х = 5.
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; ; Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; ; Умножим обе части уравнения на - 1: ; ; ; ; х1 = 10; х2 = 362. Проверка: х1 = 10; ; 8 = 8. х2 = 362; ; 19 + 27 ¹ 8. х2 = 362 - не является корнем данного иррационального уравнения. Ответ: х = 10.
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; ; Возведем обе части уравнения в квадрат: ; ; ; ; ; ; ; ; х1 = 2; х2 = . Проверка: х1 = 2; ; 3 + 4 = 7; 7 = 7. х2 = ; ; ; ; ; |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-17; Просмотров: 286; Нарушение авторского права страницы