Предел функции на бесконечности.

Пусть функция f(x)  определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f( x) при х ® ¥ , если  для любой последовательности аргументов {x_n}: .

Если для любой последовательности значений аргумента {x_n}: х_т¹ а и  имеет место , то говорят, что предел функции f( x) в точке а есть бесконечность и пишут

Пример №4 Вычислить предел числовой последовательности:

а) ; б) ;   в) .

Указания: Разделить все слагаемые числителя и знаменателя на старшую степень, содержащуюся в дроби. При этом, если старшая степень расположена в числителе, предел равен ∞, если в знаменателе, то предел равен нулю; если старшая степень знаменателя равна старшей степени числителя, предел равен отношению коэффициентов при них.

r а)

б) .

в) . p

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Теорема. Предел функции   в точке х=0 существует и равен единице, т.е.

                                              (1)

Предел (1) называется первым замечательным пределом и применяется при вычислении ряда других пределов. Рассмотрим несколько примеров на применение предела (1).

Пример №5. Найти предел функции   при х®0.

Указание: предел вида преобразуют так, чтобы использовать 1-й замечательный предел : .

r p

 

Второй замечательный предел

Теорема. Предел функции  при х®¥ существует и равен е, т.е.

.                                  (2)

Или

Предел (2) называется вторым замечательным пределом и применяется при вычислении ряда других пределов. e = 2.718281…

Число е - иррациональное число, е » 2, 72.

Пример №6. Вычислить предел последовательности .

Указание: В пределах вида сделать замену , откуда х= y.

r p

Пример №7.

 

Определение производной функции

 

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x.

Пусть Dх -приращение (изменение) аргумента в точке x.

Обозначим через Dy=Df= f(x+Dx) – f(x) -  приращение функции.

Отношение   как видно из рисунка, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Если существует предел отношения   в точке Dx = 0, то он называется производнойфункции y = f(x)в точке x и обозначается y ¢ или f ¢ (x):

.

Нахождение производной функции y = f(x)называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f ¢ (x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Пример №8. Найдите производную функции у=5х²-6 в точке х₀=1, пользуясь непосредственно определением производной.

Используйте алгоритм:

1) Найти f(x₀+Dx), т.е. в заданную функцию f(x) вместо х подставить х₀+Dx;                             

2) Найти f(x₀), т.е. в f(x) вместо х подставить х₀;     

3) Найти производную функции по формуле

r Задана функция f(x)=5х²-6.

1. Найдём f(x₀+Dx)=5(x₀+Dx)²-6=5(x₀²+2х₀× Dx+(Dх)²)-6=5x₀²+10х₀× Dx+5(Dх)²-6.
2. Найдём f(x₀)=5х₀²-6.
3. Вычислим производную функции в точке х₀:

f ¢ (x₀)=10x₀. f ¢ (1)=10× 1=10. p

Основные правила вычисления производной.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

                          (3)

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

                    (4)

Следствие.Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                             (5)

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

                     (6)

Таблица производных основных элементарных функций

1. C ¢ =0,                                             9. ,

2. (xⁿ)¢ =nx^n-1,                                    10. ,

3. ,                                       11. ,

4. ,                                 12. ,

5. ,                                   13. ,

6. ,                           14. ,

7. ,                                    15. ,

8. ,                                16. .

Пример №9. Найдите производную функции:

а) f(x)=3x⁴- -5tgx+2sinx-2lnx+71;       б) g(x)=(3x-6) ; в) .

Указания: Используйте основные правила и формулы дифференцирования (таблицу производных):

 

r а) Здесь следует использовать правило дифференцирования суммы (разности) функций (3) и выносить постоянный коэффициент за знак производной (5).

f ¢ (x)=(3x⁴- -5tgx+2sinx-2lnx+71)¢ =(3x⁴)¢ - -(5tgx)¢ +(2sinx)¢ - (2lnx)¢ +(71)¢ = =3(x⁴)¢ -2 -5(tgx)¢ +2(sinx)¢ -2(lnx)¢ +0=3× 4x^4-1-2× -5 +2cosx-2 = =12x³+ +2cosx- .

 

б) Следует использовать правило дифференцирования произведения функций (4) и таблицу производных.

g ¢ (x)=(3x-6) ¢ + (3x-6)( )¢ =(3× 1-0) × + (3x-6) =3 .

 

в) Используйте правило дифференцирования частного функций (6) и таблицу производных.

 p

123456Следующая ⇒

Поделиться: