Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Матричный метод, метод Крамера
Определение 1. Системы с n уравнениями и n неизвестными называются системами вида , (1) где – коэффициенты системы уравнений, – свободные члены, – неизвестные. В более компактном виде систему (1) можно записать как . (2)
, , . Согласно правилу умножения матриц запишем систему (1) в матричном виде: . (3) Определение 2. Совокупность значений неизвестных , обращающая каждое уравнение системы (1) в числовое равенство, называется решением системы. Определение 3. Система называется совместной, если она имеет решения, и несовместной – если решений не имеет. Определение 4. Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений множество. Так как основная матрица квадратная, то существует определитель системы . Заменим j-й столбец (при коэффициентах ) столбцом свободных членов. При этом получим j-й определитель : . 1.1. Метод Крамера Теорема 1 (Крамера).
. (4) Доказательство. Умножим каждое уравнение системы на соответствующие алгебраические дополнения к элементам первого столбца, т. е. первое уравнение (1) умножим на , второе уравнение умножим на , треть уравнение умножим на и т. д. Результаты умножения сложим и согласно теореме Лапласа получим:
. Отсюда следует или . Аналогичным образом, умножая уравнения на алгебраические дополнения последующих столбцов, можно доказать (4) для любого i. ПРИМЕР 1. Для системы имеем основную матрицу и определитель , . Запишем соответствующие j-е определители для столбцов , , . Тогда решение системы: , , . Решение . 1.2. Матричный метод Если системы, то матрица А – невырожденная и существует . Тогда разрешая систему (3) относительно матрицы неизвестных X, получим уравнение . (5)
Для системы из предыдущего примера найдем обратную матрицу: , , , , , , , , . Тогда , Результат соответствует методу Крамера. 3. Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными Определение 5. Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными называются системы вида . (6) Определение 6. Расширенной матрицей называется матрица, составленная из основной матрицы путем добавления столбца свободных членов: . Теорема 1 (Кронекера – Капелли). Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными совместны тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы . Следствия!!! 1. Если , то система не совместна. 2. Если (числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Для отыскания этого решения берут n уравнений и решают любым методом.
- Пусть . - За свободные переменные принимают любые неизвестных. - Оставшиеся r неизвестных выражают через свободные переменные. - Свободным переменным придают некоторое значение и находят решение известными методами. Для других значений свободных переменных находят другие решения и т. д. ПРИМЕР 2. , , множество решений. Примем свободных неизвестных. Пусть . Из второго уравнения . Из первого уравнения , или . Запишем решение: . 3. Системы линейных однородных уравнений Определение 7. Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены равны нулю. . (7) Очевидно!!! 1. Значения - решение системы (7). Следовательно, однородные системы совместны. Матрицы А~В, так как они отличаются нулевым столбцом, т. е. и по теореме Кронекера – Капелли система совместна. 2. Если , решений множество и нулевое будет среди них. Для отыскания ненулевых решений (7) берут любые уравнений, таких, что коэффициенты образуют . Из этих уравнений r неизвестные также выражаются через остальные , называемые свободными.
. (9) Определение 8. Совокупность решений, полученная на основе полной линейно-независимой системы значений свободных переменных, называется фундаментальной. ПРИМЕР 3: , . Это однородная система ( , ). Примем свободных неизвестных. Пусть - свободные. Выразим оставшиеся переменные через свободные переменные. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое и получим . Из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 6, и получим . Тогда система решений имеет вид . Примем значения такие, что , и вектор решения . Примем , и вектор решения . Поскольку вектора и линейно независимы, множество решений будет определяться линейной комбинацией этих векторов . 4. Метод Жордана – Гаусса Поскольку , то, если путем элементарных преобразований свести матрицу A к единичной матрице , получим . То есть для решения системы необходимо путем элементарных преобразований свести расширенную матрицу к единичной диагональной. Тогда столбец свободных членов примет значения, соответствующие решению
~ . Таким образом, последний столбец соответствует решению системы линейных уравнений . Если в системе уравнений , то принимаются определенные значения свободных переменных в соответствии с (9). Полученные коэффициенты добавляются к столбцу свободных членов и решения находятся по описанному выше алгоритму. ПРИМЕР 4. , ~ ~ ~ ~ ~ ~ . Ответ сходится с решением методом Крамера.
В лекции введено понятие «система линейных уравнений». Для правильного ее решения важно понимать и уметь вычислять определитель и ранг обычной и расширенной матриц. При возникновении затруднений в этом вопросе рекомендуется вернуться к двум прошлым лекциям. Видно, что методов решений множество. Далеко не все здесь представлены. Так метод матриц компактен, но не нагляден. Методы Крамера и Жордана – Гаусса более наглядны, однако необходимо большое количество операций при вычислении. За счет однотипности операций метод Жордана – Гаусса легче переводится на языки программирования. Известный еще со школы метод непосредственной подстановки наиболее нагляден и прост, но и он требует наибольшее количество вычислений, и переложить его на язык программирования практически невозможно. Важно отметить необходимость понятия «фундаментальное» решение. Отметим следующее: - ранги обычной и расширенной матриц могут быть не равны, и система в этом случае не совместна; - в случае их равенства решение может быть единственным (квадратная матрица) или их может быть множество (прямоугольная матрица); - в матричном методе используется обратная матрица; - в методе Крамера используются дополнительные определители; - в методе Жордана – Гаусса необходимо свести основную матрицу к единичной; - в однородных уравнениях правые части равны нулю; - с помощью фундаментального решения системы однородных уравнений можно получить множество решений. Литература 1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001. 3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 1998. 4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с. Лекция 11 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 231; Нарушение авторского права страницы