Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Исследование формы и расположения гиперболы по ее каноническому виду
Поворот гиперболы Парабола Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду Парабола со смещенной вершиной. Исследование квадратного трехчлена Цели занятия: изучить свойства гиперболы и параболы; на примере лекции 11 найти аналогии в изучении кривых второго порядка; систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка»; расширить школьные знания о гиперболе и параболе. Роль и место лекции Школьные представления о гиперболе и параболе ограничены частными случаями параболы ( ) и гиперболы ( ). Понятия же эти более широкие. В лекции будут рассмотрены такие вопросы как, общее и каноническое уравнения гиперболы и параболы, полученные на основе их классических определений, поворот оси гиперболы, характерные признаки уравнений. Более широко они будут изучаться в теме «Квадратичные формы». 1. Гипербола. Определение 1. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояния которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная. Зададим в декартовой системе координат фокусы F1и F2(рис. 1). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать гиперболе. Проведем отрезки F1M и F2M (рис. 1). Согласно определению рассмотрим разность этих отрезков
, (1) где – произвольное число.
. Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат: . Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях: . Возведем обе части равенства в квадрат: . Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях: , . Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные в левую. Вынесем за скобки x2и a2: . (2) Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (2) через введенные обозначения , . (3) Выражение (3) есть уравнение гиперболы в каноническом виде.
Рассмотрим выражение (3) и заметим следующее. 1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то гипербола симметрична относительно осей начала координат. Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальной осью. 2. Гипербола L (3) пересекается с осями координат: a ) Пересечение с осью . , . Из выражения (3) => , то есть точки и . Эти точки – действительные вершины гиперболы. – действительная ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2). б) Пересечение с осью . , . Из выражения (3) => , то есть точек пересечения с осью нет. Отложим на оси отрезки b от начала координат. Две точки и – мнимые вершины гиперболы. – мнимая ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2). 3. Из уравнения (3) найдем y : . (4) Для I четверти выражение (4) имеет вид . При увеличении x от a до (при x=a y=0) значение y увеличивается от 0 до . Поскольку гипербола симметрична относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, гипербола будет вести себя в остальных четвертях плоскости. 4. Крутизна. Через проведем прямые, параллельные осям координат. Получим основной прямоугольник (рис. 2). Через диагонали прямоугольника проведем прямые l1и l2, такие, что , . Сравним ординаты l1и координаты гиперболы L в первой четверти при одних и тех же значениях x
то есть с увеличением x гипербола никогда не пересечет эти прямые, при этом бесконечно приближаясь к ним. Следовательно, l1и l2 – асимптоты гиперболы. 5. Эксцентриситет гиперболы аналогичен эллипсу . (5) Из (5) следует, что . Причем, если , гипербола вытягивается вдоль оси , если , гипербола вытягивается вдоль оси . 2.1. Частные случаи 1. Если F1 и F2 , то каноническое уравнение гиперболы принимает вид . (6) Причем – мнимая ось гиперболы, – действительная ось. 2. Если центр гиперболы лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение гиперболы (3) примет вид . (7)
3. Поворот гиперболы Примем , тогда уравнение гиперболы примет вид . Повернем систему координат по часовой стрелке на угол (рис. 3). Тогда асимптоты совпадут с координатными осями новой системы координат. Выразим старые координаты через новые
С учетом получим , . (9) Подставим (9) в (3). Тогда выражение гиперболы в новой системе (повернутой) координат примет вид или . Откуда . (10) Выражение (10) есть уравнение равносторонней гиперболы, осями симметрии которой являются асимптоты. Признаки гиперболы: - коэффициенты при квадратах имеют противоположные знаки; - гипербола пересекает ось координат, одноименную с переменной в квадрате, при которой коэффициент имеет знак «-»; - в случае поворота координатных осей в уравнении кривой второго порядка (см. Лекцию 11) появляются слагаемые произведения переменных. 4. Парабола Определение 2. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
= = . Раскроем скобки и сократим одинаковые члены . (11) Формула (11) – каноническое уравнение параболы 5. Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду 1. Характерный признак параболы: одна текущая координата в квадрате, а другая в первой степени. 2. Поскольку , то парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии одноименна с текущей переменной, входящей в уравнение в 1-й степени. 3. Найдем точки пересечения уравнения параболы с координатными осями. Пересечение с осью . , . Из выражения (11) , то есть точка – вершина параболы, единственная точка пересечения с координатными осями.
4. Построим параболу. Для этого из (11) выразим . Для первой четверти это выражение примет вид . При увеличении x от 0 до (при x=0 y=0) значение y увеличивается от 0 до (рис.5). Замечание!!! Если F , то каноническое уравнение параболы имеет вид . (12) Вид параболы для различных уравнений 6. Парабола со смещенной вершиной Исследование квадратного трехчлена Задан квадратный трехчлен . (13)
. (14) Обозначим , , . Тогда выражение (14) запишем в виде
Это парабола со смещенной вершиной в точку . ПРИМЕР 1: Построить кривую, определяемую уравнением . Приведем это уравнение к виду (15): , – это парабола вида (рис.5) с вершиной в точке (-4, -1) и ветвями, повернутыми влево (т.к. ). Ось симметрии параллельна оси как на рисунке. Заключение В лекции изучены понятия «гипербола» и «парабола» в общем виде, построение графиков этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой. Отметим следующее: - параметры a и b в выражениях (3, 6, 7) определяют основной прямоугольник гиперболы и следовательно ее асимптоты; - эксцентриситет гиперболы > 1; - эксцентриситет гиперболы определяет ее вытянутость; - при поворотах кривых второго порядка в их общих уравнениях появляются слагаемые произведения текущих переменных; - чем меньше p, тем она более вытянута парабола, а знак p определяет направление ветвей параболы; - степень переменной определяет ось симметрии параболы. Литература 1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. 2. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002. 4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с. Поверхности второго порядка |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 223; Нарушение авторского права страницы