З.ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

К оптимизации приступают при наличии некоторых результатов предварительных исследований изучаемого объекта. Решение задачи оптимизации начинают с выбора области эксперимента. Выбор этой области производят на основе анализа априорной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Каждое сочетаний уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку при построении плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний уровень. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, а также не может быть столько большим, чтобы верхний или нижний уровни выходили за пределы области определения фактора.

При этом необходимо учитывать, что увеличение интервалов варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика. Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют.

В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний – 1, а основной – 0. Кодированное значение фактора xi определяют по выражению

,                                                                                          (3)

 

где Н – натуральное значение фактора;  – натуральное значение основного уровня фактора; И – интервал варьирования фактора.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора т, а число факторов к, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте, определяется выражением

                                                                                                        (4)

Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента – получение линейной модели. Он предусматривает варьирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2^к.

Факторный эксперимент реализуют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2^к можно представить матрицами, приведенными в табл. 1. Число строк в матрице равно количеству опытов. Знаками +1 и –1 обозначают уровни факторов x ₁ и х₂ в опытах. Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначены через у₁, у₂.

Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только « + », а вместо –1 - только «–». При k=2 моделью будет уравнение регрессии вида . Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате опытов.

 

Таблица 1

Матрицы полного факторного эксперимента типа 2²

Номер опыта	X1	Х2	Y		Номер опыта	X1	Х2	X1 Х2	Y
1	–	–	Y1		1	+	–	–	Y1
2	+	–	Y2		2	+	+	+	Y2
3	–	+	Y3		3	–	+	–	Y3
4	+	+	Y4		4	–	–	+	Y4

Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели, вычис­ленных по результатам опытов.

Так, например, при двух факторах число N опытов равно четырем, а для определения коэффициентов уравнения регрессии  достаточно результатов трех опытов. Таким образом, в рассматриваемом случае, число степеней свободы, равное единице, может быть использовано для проверки адекватности модели.

Величина и знак коэффициента регрессии указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора.

Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующих факторов. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия.

Для полного факторного эксперимента типа 2² уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением (2), но без последнего члена.

При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема.

Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (x ₁)знаки чередуются поочередно, во втором они чередуются через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8, в пятом – через 16 и т. д. по степеням двойки.

Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при 'значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем.

Таблица 2

Схема построения матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 4

Номер опыта	X0	Х	Х2	Х3	Х4
1	+	+	+	+	+
2	+	-	+	+	+
3	+	+	-	+	+
4	+	-	-	+	+
5	+	+	+	-	+
6	+	-	+	-	+
7	+	+	-	-	+
8	+	-	-	-	+
9	+	+	+	+	-
10	+	-	+	+	-
11	+	+	-	+	-
12	+	-	-	+	-
13	+	+	+	-	-
14	+	-	+	-	-
15	+	+	-	-	-
16	+	-	-	-	-

Последовательное достраивание матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 4 показано в табл.2.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: