Основные математические соотношения, описывающие колебательные процессы

Информативность измерительных устройств зависит не только от физических свойств материалов, используемых в первичных и вторичных преобразователях сигналов, принципов формирования и обработки полезного выходного сигнала, вариантов построения измерительных схем, но также и от режима работы всех элементов измерительной цепи. Например, можно обеспечить существенное усиление измерительного сигнала за счет реализации резонансного режима работы измерительного преобразователя.

Особенностью современного этапа развития технических наук является исследование и поиск не только новых схемных решений, конструктивных исполнений технических устройств, но и исследование особенностей динамики систем различной сложности, оптимизация режимов работы технических устройств и т.п.

Изучение данного курса основано на последовательном усложнении структуры и режимов работы средств получения измерительной информации. Увеличение частоты колебаний в системе сопровождается усложнением схемы замещения измерительного устройства (его структуры) и наоборот, усложнение структуры системы приводит к расширению ее частотного спектра.

Как известно, движения в простейшей колебательной системе описываются дифференциальным уравнением вида:

.                                      (1.11)

Здесь параметр  соответствует частоте свободных колебаний в системе. При анализе динамических процессов в системах различной сложности их подразделяют на системы с конечным числом степеней свободы и сплошные среды (системы с сосредоточенными и распределенными параметрами). В основу построения таких моделей объектов измерения или измерительных преобразователей положена структура, состоящая из цепочек взаимодействующих частиц (осцилляторов). Поэтому электрическим эквивалентом таких систем будут являться системы взаимосвязанных электрических колебательных контуров. Математическая модель таких систем представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику процессов, устанавливающихся в них в результате внешних воздействий.

Из общей теории колебаний и волн известно, что наибольшая частота колебаний ( ), возбуждаемых в такой цепочке, не превышает удвоенную собственную частоту колебаний отдельного осциллятора . При переходе от дискретной модели системы к сплошной среде для описания динамических процессов используют волновое уравнение:

, , ,     

, .                    (1.12)                                      

где   c – фазовая скорость распространения возмущения в среде;

   k – волновое число (пространственная круговая частота колебаний);

    - длина волны (пространственный период колебаний);

    - круговая частота колебаний во времени;

    Т – период колебаний во времени.

Принцип модуляции измеряемой физической величиной параметров первичных преобразователей, реализующих колебательные или волновые процессы в системах различной сложности, лежит в основе работы осцилляторных и волновых измерительных устройств. К их числу относятся пьезоэлектрические и электромеханические резонаторные преобразователи, преобразователи с использованием электромагнитных колебательных контуров, волноводов радиоволнового и СВЧ диапазонов, измерительные устройства с использованием оптического и ИК диапазонов излучения и др. В зависимости от режима возбуждения колебаний в таких системах возможны различные режимы работы.

Например, на рис. 1.7 представлены два варианта воздействия внешней силы (F) на механическую колебательную систему, состоящую из упруго подвешенной массы.

Для удобства анализа динамических процессов в таких системах используют метод электромеханических аналогий, позволяющий представлять системы любой сложности в виде их эквивалентных электрических схем замещения (ЭЭСЗ). Резонансу напряжений (резонансу сил) в таких ЭЭСЗ соответствует встречное направление векторов напряжений на элементах схем. Режиму резонанса токов в контурах (резонанс скоростей) соответствует встречное направление токов.

     

      

Рисунок 1.7 Два варианта возбуждения колебаний в механической системе и соответствующие им ЭЭСЗ.

Первый вариант колебательной системы преобразователя, представленный на рис. 1.7 обеспечивает возможность реализации в электромеханической системе режима резонанса сил (напряжений), так как его ЭЭСЗ представлена в виде последовательного колебательного контура. Режиму антирезонанса в системе соответствует ЭЭСЗ в виде параллельного контура, обеспечивающего установление режима резонанса токов в контуре, что соответствует установлению режим резонанса скоростей в механической системе.

Таким образом, колебательная система любого первичного измерительного преобразователя может быть представлена в виде параллельного или последовательного колебательного контура, содержащего источник ЭДС, индуктивность, емкость, активное сопротивление.

Дифференциальное уравнение, описывающее динамический процесс в такой колебательной системе в общем случае, имеет вид:

.                     (1.13)

При свободном движении или в режиме автоколебаний:

.                          (1.14)

Стандартная запись уравнения в динамике имеет вид: 

                  (1.15)

В свою очередь, импульсная характеристика такого колебательного контура может быть описана с помощью следующих выражений:

,  ,  . (1.16)

График изменения амплитуды колебаний во времени, например, при затухании колебаний будет иметь вид, представленный на рис. 1.8.

Рисунок 1.8 График изменения амплитуды затухающих колебаний в системе (t₁ - время максимального отклонения)

Существует много методов для определения параметров динамического звена. Например, подавая стандартный сигнал (возмущение), будем наблюдать отклик системы, и сопоставлять его с аналитическими выражениями, описывающими этот отклик. При этом логарифмический декремент затухания колебательной системы (d) можно определить, используя соотношение:

.                                      (1.17)

Для создания высокочувствительных измерительных устройств реализуют режим возбуждения колебаний в высокодобротных контурах. При этом в качестве выходного параметра датчика используют число колебаний, совершенных в контуре до момента, пока амплитуда колебаний не уменьшится до 5 % от их начального значения. Как следует из свойств экспоненциально убывающей функции, которая определяет закон изменения колебаний при реализации такого режима колебаний в системе, последние практически затухают через время, равное 3t, где t - постоянная времени колебательного контура. При этом коэффициент относительной чувствительности датчика численно соответствует добротности контура, то есть определяется числом совершаемых системой затухающих колебаний (N):

.                    (1.18)

Важно отметить, что в первоначальный момент включения в цепь RLC - контура гармонической ЭДС, имеющей частоту  ( ), амплитудное значение тока может существенно превышать амплитуду тока в установившемся режиме. Продолжительность установления колебаний определяется постоянной времени контура:   

.                                            (1.19)

Для описания динамических процессов в колебательных контурах используют безразмерный параметр ( ), характеризующий степень успокоения системы, и коэффициент передачи звена (К):

,      .                   (1.20)

При этом переходные процессы в колебательном контуре характеризуются следующими соотношениями:

а) колебательный процесс ( )

;     (1.21)

б) критический режим колебаний ( )

                     ;                  (1.22)

в) апериодический процесс ( )

.        (1.23)

На рис. 1.9 представлены соответствующие графические зависимости.

  Рисунок 1.9 Разновидности динамических характеристик преобразователя: 1- колебательный процесс (β >1); 2 – критический режим (β ≈ 1); 3 – апериодический процесс (β <1)

Рассматривая зависимость времени затухания переходных процессов в колебательной системе от значения коэффициента успокоения t_уст(b), можно видеть (рис. 1.10), что при b = 0,82 выполняется условие: t_уст = t_min.

Рисунок 1.10 Зависимость времени затухания переходных процессов в колебательной системе от значения коэффициента успокоения

Поэтому для обеспечения максимального быстродействия измерительного устройства стремятся соблюдать выполнение условия 0,6 ≤ b ≤ 1,0.

Для описания колебательные процессы в системе можно получить следующие аналитические зависимости:  

,  = , ,      (1.24)

; ;          (1.25)

                          (1.26)

; ;           (1.27)

; ;            (1.28)

                        (1.29)

Рисунок 1.11 Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от частоты колебаний

Как следует из графиков, приведенных на рис. 1.11, напряжение на индуктивности, емкости и резисторе в электрическом колебательном контуре достигают своих максимальных значений на разных частотах.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: