Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Площади

Формулы площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S =	a · b · с
	4R

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата его стороны на корень из трёх.

Формулы площади квадрата
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

Формулы площади параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

Формулы площади ромба
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

Формулы площади круга

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

Треугольник

Все свойства треугольников

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Треугольники бывают остроугольными (если все его углы острые), тупоугольными (если один из его углов тупой), прямоугольными (если один из его углов прямой).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Треугольник называется равносторонним, если все три стороны равны.

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.

Свойства прямоугольника

Квадрат

Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.

Параллелограмм, ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.

Свойства квадрата

Все углы квадрата прямые .

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90​∘​​

Свойства ромба

Свойства ромба — это свойства параллелограмма плюс собственные свойства.

Перечислим их.

Свойства ромба

1) Стороны ромба равны (по определению ромба).

2) Противолежащие углы ромба равны (по свойству параллелограмма).

3) Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180º (по свойству параллелограмма).

4) Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (по свойству параллелограмма).

5) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

6) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

7) Сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов его сторон (по свойству параллелограмма).

8) Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба (по свойству параллелограмма).

9) Угол между высотами ромба, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу ромба.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники ККК и ИИИ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

4. Треугольники або и сод, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Задание 5. Решить неравенство

__1____ + __1____ + __1____ < 1
(х-3)(х-4) (х-3)(х-5) х²-9х+20
Решение: Для решения данного неравенства надо сделать следующие действия:
1. Перенести 1 в левую часть неравенства.
2. Знаменатель третьей дроби разложить на множители по теореме Виета
(подсказка — корни уравнения будут кратны корням в первой и второй дроби). (х-4)(х-5)
3. Поскольку в знаменателе находится переменная,
необходимо написать ОДЗ — область допустимых значений —
те значения х, при которых дробь не имеет смысла.
х≠3; х≠4; х≠5
4. Сложить четыре дроби с разными знаменателями
(поскольку целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1), домножив числители.
Получаем: (х-5) +(х-4) + (х-3) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3х-12 — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3(х-4) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0 Выносим общий множитель (х-4) за скобку
(х-4) • 〈3 — (х-3)(х-5)〉 < 0
(х-4) • 〈3 — (х² — 8х + 15)〉 < 0
(х-4) • (3 — х² + 8х — 15) < 0
Коэффициент при х² отрицательный.
Меняем его на противоположный, умножая вторую скобку на (-1).
При этом изменится знак неравенства на противоположный.
(х — 4)•(х² — 8х + 12) > 0
(х — 4)•(х — 6)•(х — 2) > 0
Теперь мы можем решить неравенство методом интервалов.
Отмечаем на числовой оси все корни, которые мы нашли в числители и все корни ОДЗ из знаменателя.

+ + + +

______ 2________3 _________ 4_________ 5_________ 6___________
— -
В записи, где коэффициент при х всегда положительный метод интервалов гласит —
правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА +!
При переходе через корень знак неравенства меняется на противоположный, т.е. надо проходить через корни в виде змейки.
В случае, если корень имеет чётную кратность
(например х в квадрате, в четвёртой степени, в шестой степени и т.д.),
как в нашем примере с х=4,
знак неравенства на противоположный не меняется.
Отсюда
Ответ: (-∞, 2)∪(3,4)∪(4,5)∪(6,+∞).

Задание 6. Найти значение выражения при m = 1 — √3.

__m___ __ _____m+2____
m² – 2m + 1 m² + m — 2

Решение: Подставлять напрямую числовые значения m довольно неразумно,
т.к. получатся очень большие числа, да ещё и с корнями.
Лучше сделать разложение знаменателей и сокращение:
___m___ __ ____m+2___
(m-1)(m-1) (m-1)(m+2)
На m+2 сократить можно, т.к. это выражение не равняется нулю.
После сокращения получим две дроби, вычтем из одной другую.
___m__ _ __ 1__ = __m — (m-1)___ = ___1___
(m-1)(m-1) m-1 (m-1)(m-1) (m-1)(m-1)
Теперь подставляем значение m
______1_________ = ___1___ = _1_
(1-√3 — 1)(1-√3 — 1) (-√3)(-√3) 3

Ответ: 1/3.

Задание 22. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. Перед выездом третьего велосипедиста первый ехал уже 2 часа и проехал 42 км, а второй ехал 1 час и проехал 15 км. Скорость сближения третьего со вторым равна x-15 км/ч. Следовательно, третий догнал второго через часов. Скорость сближения третьего с первым равна x-21 и он догнал его через часов. Так как третий догнал первого через 9 часов после того, как он догнал второго, можно записать равенство:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

Так как скорость третьего велосипедиста не может быть меньше, чем у второго 15 км/ч, то получаем решение x = 25 км/ч.

Ответ: 25.

Площади

Формулы площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S =	a · b · с
	4R

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата его стороны на корень из трёх.

Формулы площади квадрата
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

1234Следующая ⇒

Поделиться: