Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Параллелограмм, его признаки и свойства

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теоремы (свойства параллелограмма):

· В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: , , , .

· Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .

· Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

· Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

· Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: .

Признаки параллелограмма:

· Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона.

· Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника . Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

·

·

· 21 задание

Задание 1. Решить уравнение
х³ – 3х² – х + 3 =0
Решение: объединим первый и третий, второй и четвёртый одночлены, получим:
х³ –х –( 3х² – 3) =0 Вынесем общие множители за скобки:
х(х² – 1) – 3(х² – 1) = 0
А теперь вынесем скобку (х² – 1) за скобки, получим:
(х² – 1)(х — 3) = 0
Первая скобка представляет собой разность квадратов, разложим её на множители:
(х-1)(х+1)(х-3) = 0
Произведение трех множителей равно нулю в том случае,
когда один из них равен нулю.
х — 1 = 0 х=1
х + 1 = 0 х = -1
х — 3 = 0 х = 3
Ответ:, -1; 1; 3

Задание 2. Решить уравнение (х² — 6х)² + 2(х — 3)² = 81
Решение: В данном блоке задач мы делаем замену переменной,
но сначала возведём в квадрат вторую скобку.
(х² — 6х)² + 2(х² — 6х + 9) = 81
В первой и второй скобках имеется выражение х² — 6х.
Примем его за t.
х² — 6х = t, тогда х² — 6х + 9 = t + 9
t² + 2(t + 9) — 81 = 0
t² + 2t + 18 — 81 = 0
t² + 2t — 63 = 0
По теореме Виета находим корни. t1 = -9, t2 = 7.
А теперь делаем обратную замену.
х² — 6х = -9 х² — 6х + 9 = 0
Это развёрнутый квадрат суммы двух чисел (х-3)² = 0.
Отсюда, корни данного уравнения равны х1 = 3.
х² — 6х = 7 х² — 6х — 7 = 0
По теореме Виета находим корни и здесь.
х2 = 7, х3 = -1
Ответ: -1; 3; 7

Задание 3. Сократите дробь: 100ⁿ/2^2n-1 * 5^2n-2.
Решение: В таких задачах в самих вопросах даётся ответ, а именно:
знаменатель дроби состоит из степеней множителей 2 и 5.
Значит, число 100 необходимо тоже разложить на такие множители 2 и 5,
чтобы потом произошло сокращение.
И ещё одно, в таких задачах степень n ВСЕГДА будет сокращаться и ответом будет просто число.
А теперь продолжим: 100 раскладывается на множители 2² и 5².
Когда мы возводим степень в степень,
показатели степени перемножаются, имеем в числителе:
100ⁿ=(2²*5²)ⁿ = 2²ⁿ*5²ⁿ
2²ⁿ*5²ⁿ/2^2n-1 * 5^2n-2
При делении чисел с одинаковыми основаниями
их показатели вычитаются:
2^2n-(2n-1) *5^2n-(2n-2) = 2^2n-2n+1 *5^2n-2n+2 = 2¹ * 5² = 2*25 = 50.
Ответ 50.

Задание 4. Решить систему уравнений:
x – y = 7
x² + y² = 9 – 2xy,
для того, чтобы решить данную систему, надо сначала решить второе уравнение, а именно:
x² + 2xy + y² = 9
Слева квадрат суммы двух чисел, соберём его. А справа квадрат числа.
(х+у)² = (±3)²
х+у = 3 х+у = -3
Квадратное равнение разложили на 2 линейных уравнения.
Теперь решаем их совместно с первым уравнением системы каждое по отдельности. Имеем:
x – y = 7
х + у = 3 Складываем эти уравнение, получим 2х = 10 х=5, у = -2
х — у = 7
х + у = -3 Складываем эти уравнение, получим 2х = 4 х = 2, у = -5
Ответ: (5, -2); (2, -5)

Задание 5. Решить неравенство

__1____ + __1____ + __1____ < 1
(х-3)(х-4) (х-3)(х-5) х²-9х+20
Решение: Для решения данного неравенства надо сделать следующие действия:
1. Перенести 1 в левую часть неравенства.
2. Знаменатель третьей дроби разложить на множители по теореме Виета
(подсказка — корни уравнения будут кратны корням в первой и второй дроби). (х-4)(х-5)
3. Поскольку в знаменателе находится переменная,
необходимо написать ОДЗ — область допустимых значений —
те значения х, при которых дробь не имеет смысла.
х≠3; х≠4; х≠5
4. Сложить четыре дроби с разными знаменателями
(поскольку целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1), домножив числители.
Получаем: (х-5) +(х-4) + (х-3) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3х-12 — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3(х-4) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0 Выносим общий множитель (х-4) за скобку
(х-4) • 〈3 — (х-3)(х-5)〉 < 0
(х-4) • 〈3 — (х² — 8х + 15)〉 < 0
(х-4) • (3 — х² + 8х — 15) < 0
Коэффициент при х² отрицательный.
Меняем его на противоположный, умножая вторую скобку на (-1).
При этом изменится знак неравенства на противоположный.
(х — 4)•(х² — 8х + 12) > 0
(х — 4)•(х — 6)•(х — 2) > 0
Теперь мы можем решить неравенство методом интервалов.
Отмечаем на числовой оси все корни, которые мы нашли в числители и все корни ОДЗ из знаменателя.

+ + + +

______ 2________3 _________ 4_________ 5_________ 6___________
— -
В записи, где коэффициент при х всегда положительный метод интервалов гласит —
правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА +!
При переходе через корень знак неравенства меняется на противоположный, т.е. надо проходить через корни в виде змейки.
В случае, если корень имеет чётную кратность
(например х в квадрате, в четвёртой степени, в шестой степени и т.д.),
как в нашем примере с х=4,
знак неравенства на противоположный не меняется.
Отсюда
Ответ: (-∞, 2)∪(3,4)∪(4,5)∪(6,+∞).

Задание 6. Найти значение выражения при m = 1 — √3.

__m___ __ _____m+2____
m² – 2m + 1 m² + m — 2

Решение: Подставлять напрямую числовые значения m довольно неразумно,
т.к. получатся очень большие числа, да ещё и с корнями.
Лучше сделать разложение знаменателей и сокращение:
___m___ __ ____m+2___
(m-1)(m-1) (m-1)(m+2)
На m+2 сократить можно, т.к. это выражение не равняется нулю.
После сокращения получим две дроби, вычтем из одной другую.
___m__ _ __ 1__ = __m — (m-1)___ = ___1___
(m-1)(m-1) m-1 (m-1)(m-1) (m-1)(m-1)
Теперь подставляем значение m
______1_________ = ___1___ = _1_
(1-√3 — 1)(1-√3 — 1) (-√3)(-√3) 3

Ответ: 1/3.

Задание 22. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. Перед выездом третьего велосипедиста первый ехал уже 2 часа и проехал 42 км, а второй ехал 1 час и проехал 15 км. Скорость сближения третьего со вторым равна x-15 км/ч. Следовательно, третий догнал второго через часов. Скорость сближения третьего с первым равна x-21 и он догнал его через часов. Так как третий догнал первого через 9 часов после того, как он догнал второго, можно записать равенство:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

Так как скорость третьего велосипедиста не может быть меньше, чем у второго 15 км/ч, то получаем решение x = 25 км/ч.

Ответ: 25.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: