Кое-что про фильтр Калмана

Целью работы является изучение методов фильтрации Калмана-Бьюси случайных векторных процессов. Рассматривается ситуация, когда коэффициенты фильтра не зависят от времени.

Пусть - пара случайных величин, из которых - наблюдаема, а наблюдению не подлежит. Возникает вопрос: как по значениям наблюдений над "оценить" ненаблюдаемую компоненту ?

Пусть - борелевская функция. Случайная величина называется оценкой по , а величина - среднеквадратической ошибкой этой оценки.

Оценка называется оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если

где берется по классу всех борелевских функций

Имеют место следующие утверждения:

Теорема 1. Пусть Тогда оптимальная оценка существует, и в качестве нее может быть взята функция

Теорема 2. Пусть - гауссовский вектор с Тогда оптимальная оценка по есть

а ее ошибка

Пусть - гауссовский вектор, где

Справедлива следующая теорема:

Теорема (о нормальной корреляции). Для гауссовского вектора оптимальная оценка вектора по и ее матрица ошибок

задаются следующими формулами:

где

- векторы-столбцы средних значений

- матрицы ковариаций, и предполагается, что существует матрица

Пусть - частично наблюдаемая последовательность случайных векторов, таких что

При этом последовательность управляется рекуррентными соотношениями

Согласно теореме 1, является оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой вектора а

есть матрица ошибок оценивания.

Задача фильтрации состоит в отыскании этих величин для произвольных последовательностей управляемых уравнениями (1). Предположим, что условное распределение является гауссовским,

с параметрами Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема Калмана-Бьюси. Пусть - частично наблюдаемая последовательность, удовлетворяющая (1) и (2). Тогда подчиняются следующим реккурентным уравнениям:

Рассмотрим примеры на применение фильтра Калмана-Бьюси.

Пример 1. Рассматриваются две стационарные некоррелированные случайные последовательности и со средними значениями и спектральными плотностями

где

Последовательность рассматривается как полезный сигнал, для которого находится оптимальная линейная оценка и среднеквадратическая ошибка . Последовательность играет роль шума, и наблюдению подлежит последовательность такая что

Пример 2. Рассмотрена проблема определения отказа работы реактивных двигателей стабилизации системы управления космического аппарата. Данная проблема приводит к невыполнению целевой задачи и отказу типа "неотключение" двигателя, что является причиной больших потерь рабочего тела и раскрутки космического аппарата до недопустимых угловых скоростей. Построен алгоритм идентификации отказов двигателей стабилизации в дискретном времени с помощью фильтра Калмана-Бьюси, имеющий вид:

где - оценка вектора состояния,

- переходная матрица для вектора состояния,

- матрица измерений,

- ковариационная матрица ошибок фильтрации,

- ковариационная матрица ошибок прогноза,

- матричный коэффициент усиления,

- ковариационная матрица шумов измерения,

Работа алгоритма основана на анализе величины оцениваемого в фильтре Калмана-Бьюси возмущающего момента.

Если математическое ожидание оценки возмущающего момента, вычисленного на некоторой временной базе, где управление равно нулю, превосходит допустимый порог, то принимается решение об отказе двигателей стабилизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы классической и современной теории автоматического управления // Т.2, «Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления» // Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. – М:, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004. 638 с.Крамер

2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.:, Главная ред. физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1974, 120 стр.

3. Г. Секей. Парадоксы теории вероятности и математической статистики.

4. Феллер. Теория вероятностей, т.1.

5. Колмогоров А.Н. Интегрирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР, сер. мат. т.5, № 1, 1941.

6. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. // New York: John Wiley. 1949. № 7.

7. Kalman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction theory.// J. Basis Engineering. (ASME Transactions) v.83, D, 1961. № 1. pp. 95- 108.

8. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971.

9. Брайсон А.Е., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972.-544 с.

10. Дейч A.M., Методы идентификации динамических объектов. М.: «Энергия», 1979. 240 с.

11. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. . М.: Энергия, 1973.-440 с.

12. Райбман Н.С., Что такое идентификация. М.: Наука, 1970.

13. Сейдж Э., Мелса Дж. Идентификация систем управления М.: Наука, 1974.-340 с.

14. Цыпкин Я.З. Основа информационной теории идентификации М.: «Наука», 1984. -320 с.

15. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления М.: Мир, 1975.-685 с

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: