Математические основы описания шумовых процессов

 

    Рассмотрим некий флуктуационный процесс . Выделим N реализаций этого случайного процесса. То есть, сформируем ансамбль реализаций .

    Обозначим  вероятность того, что в момент времени  значение функции  попадет в интервал от  до , тогда:

где  - число реализаций, в которых эта функция попадает в интервал .

    Введем в рассмотрение функцию распределения .

    Функция распределения – это вероятность того. Что значение функции не превосходит некоторого наперед заданного числа.

 - это одномерная плотность вероятности.

    Одномерная функция плотности  определяет поведение случайного процесса только в отдельные фиксированные моменты времени. В общем случае полное описание процесса дает только многомерная функция, то есть .

    Применение многомерных функций не используется на практике. Вводятся допущения:

1) Допущение стационарного процесса

· в узком смысле – это стационарный случайный процесс, где многомерная функция распределения не зависит от времени.

· в широком смысле – не зависят от времени функции 1-го и 2-го порядка

    Далее будем рассматривать случайные процессы стационарные в широком смысле.

 

Введем характеристики СП:

1) Математическое ожидание

2) Среднее квадрата функции  М.ОЖ. 2го порядка

3) Дисперсия

    Если  - шумовой ток или напряжение, то  - постоянная составляющая,  - средний квадрат, соответствующий средней мощности шумового процесса, выделяемой на нагрузке в 1 Ом,  - средняя мощность переменной составляющей шумового процесса, выделяемой на нагрузке в 1 Ом.

 

2) Применение принципа эргодичности процесса

Стационарный СП называется эргодическим, если при определении статистических характеристик процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной (теоретически) реализацией.

Определим статистические характеристики процесса при временном усреднении. Тогда:

    Отметим, что при проведении расчетов надо знать . Практически в большинстве электронных приборов  распределено нормально (по Гауссу). То есть:

    Данный закон – следствие центральной предельной теоремы. Поскольку  или  - это сумма большого числа независимых случайных переменных, для которых справедлива ЦПТ.

 

Центральная предельная теорема

    Если  - независимые случайные переменные, имеющие одинаковые плотности вероятности и, следовательно, равные математические ожидания и дисперсии, то тогда и суммарный процесс  является асимптотически нормальным, причем его параметры определяются через N:

 и

 

    Для того, чтобы описать некоторый процесс, нужно признать его стационарным или эргодическим. Задача анализа – определить отклик схемы на начальное воздействие.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: