Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле.

1. Задану область G покрити квадратною сіткою з кроком h.

2. Обчислити значення функції у межових вузлах сітки.

3. Обчислити початкові наближення наприклад:

або як середнє арифметичне у межових вузлах (по принципу максимуму)

4. Обчислити послідовні наближення в кожному внутрішньому вузлі сітки, користуючись формулою (6.11) або (6.12).

5. Обчислення по формулі (6.11) чи (6.12) вести до тих пір, поки не буде виконуватись задана точність між двома сусідніми ітераціями:

6. Результати обчислень зручно записати в таблицю:

Таблиця 2.

K				...				...
0				...				...
1				...				...
	...	...	...	...	...	...	...	...

Розрахунок на калькуляторі вручну дає змогу “відчути” чисельний метод. Однак, із збільшенням кількості внутрішніх вузлів різницевої сітки об’єм обчислень різко зростає. Постає потреба в чисельному рахунку з допомогою ЕОМ. В зв’язку з цим, подаємо алгоритм обчислення у вигляді наступної блок-схеми (рис. 6.4).

Приклад1. Розрахунок стаціонарного розподілу температури в плоскій пластині.

Знайти розподіл температури у внутрішніх точках прямокутної пластини довжиною і шириною нижня і верхня сторони якої підтримуються при сталих температурах:

а на бічних сторонах і температура змінюється по лінійному закону:

Розрахунок проведемо в ручну з допомогою калькулятора згідно алгоритму 6.4 з точністю

Крок сітки дорівнює . Температура у вузлах сітки нижньої сторони дорівнює , увузлах верхньої сторони : . Знаходимо темпера-туру у вузлах бічних сторін:

В кутових точках температуру знаходити немає потреби. Обчислюємо початкове наближення температур у внутрішніх вузлах (при цьому користуємось принципом симетрії):

Далі продовжуючи перерахунок температур по (6.12), отримаємо:

к
0	77,5	77,5	77,5	112,5	112,5	112,5
1	60	60	55,625	125,625	124,531	127,539
2	58,906	57,266	58,701	128,359	128,291	129,248
3	58,906	58,975	58,556	129,299	129,381	129,734
4	59,568	59,626	59,840	129,737	129,774	129,904
5	59,841	59,864	59,942	129,904	129,918	129,965

В останній стрічці таблиці отримали шуканий розподіл температур із точністю . Інтуїтивно ясно, і це видно з таблиці, що в наслідок лінійного розподілу температур на межах пластини, температура у внутрішніх її точках стабілізується до граничних. Отже, ізотермами температур служать відрізки прямих .

Лабораторна робота №1.

Тема: Чисельне роз’язування крайової задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

Мета. Отримати різницеву схему крайової задачі Діріхле для рівняння Лапласа та навчитись її розв’язувати ітераційним методом Гаусса-Зейделя.

Завдання. Провести чисельний розрахунок стаціонарного розподілу температури внутрішніх точках пластини, який описується рівнянням Лапласа в області G .