Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності.

 

    Розглянемо різнецева схема для нелінійного рівняння теплопровідності, тобто рівняння у вигляді:

                                   (31)

Дане рівняння описує процес поширення тепла у високотемпературній плазмі. У випадку нелінійних рівнянь, коли наперед невідомі межі зміни коефіцієнту теплопровідності K ( u ), уникають користування явними схемами.

 Чисто неявна різницева схема відносно K(  має вигляд:

,                        де

Розв’язок даної різницевої схеми знаходимо методом “прогонки”. Для цього запишемо дану різницеву схему в про гоночному вигляді:

 

Часто використовують нелінійну різницева схема

Коефіцієнт  

Для реалізації цієї схеми потрібно використати той чи інший інтерсхемаційний метод. Наприклад, можна використати такий:

  (32)

Тут s =0,1,2,…, m -1

;

s-номер ітерації

Як бачимо, нелінійні коефіцієнти беруться з попередньої ітерації, а в якості початкового наближення для    вибирається  . Це початкове наближення тим краще, чим менший крок по τ. Число ітерацій m задається з врахуванням точності. В задачах з гладкими коефіцієнтами при K(U)≥c1>0 часто буває достатньо провести дві, три ітерації. Значення U на новій ітерації знаходиться із системи різницевих рівнянь , методом ’’прогонки’’.

При М=1 даний ітераційний метод співпадає з неявною різницевою схемою.

Для наближеного розв’язання нелінійного рівняння (32) застосовуються також схеми предиктор – коректор другого порядку точності, аналогічний методу Руни-Кутта для звичайного диференціального рівняння. Тут перехід з шару (к) на шар (к+1) здійснюється в два етапи:

                                                           K+1                  

 

 

                                                           K+½

 

 

                                                           K

Наведемо приклад такої схеми :

1. На першому етапі розв’язується неявна різницева схема (лінійна система рівнянь )

 

Із якої знаходяться проміжні значення

2.Потім, на другому етапі використовується шести точкова схема для рівняння (32), в якому нелінійні коефіцієнти a ( U ), f ( U ),   і вона має вигляд:

 

Записуються ці схеми у звичайному вигляді.

 

Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні

 

Вступ

Нехай задано рівняння параболічного типу, що містить першу похідну:

                                (1)

З фізичної точки зору дане рівняння описує процес, що характеризує дифузійно-конвективний перенос деякої матеріальної субстанції. Приклад: масоперенос, теплоперенос. Перший член відповідає за перенос дифузійним шляхом (коефіцієнт дифузфї рівний одиниці), а другий відповідає за перенос конвективним шляхом.

 

 

Рівняння масопереносу:                                     (2)

С-концентрація речовин.

 

Особливістю числового розв’язку крайових задач для рівнянь (1), або (2) є наявність члена з першою похідною, або конвективного числа.

           Ми апроксимуємо цей конвективний член кількома способами:

                                         (3)

Перший спосіб веде до нестійкої схеми. Третій спосіб веде до “помітних викидів” числового розв’язку. Тому даний член апроксимується лівосторонньою різницею (протипотоковою).

           Однак при апроксимації конвективного члена лівосторонньою різницею при використанні звичайної неявної різницевої схеми при деяких h і τ спостерігаються осциляції чисельного розв’язку. Тому різницева схема в якій спостерігаються осциляції чисельного розв’язку є монотонною.

           Різницеві схеми, що зберігають монотонність розв’язку різницевих задач називаються монотонними (чисельний розв’язок не має осциляції). Отримані раніше розв’язки по явній різницевій схемі були монотонними.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: