Локальна одновимірна схема Салмарського

 Наведемо інші РС змінних напрямків для диференціальної задачі (1)-(3), що володіють сумарною апроксимацією.

ЛОС Салмарського складається має вигляд:

(33)

       (34)

Таким чином спростили РС- це схема є ЛОС. Вона володіє розщепленням по координата. В даній схемі кожне з рівнянь (33)-(34) окремо не апроксимує вихідне рівняння (1), однак , в цілому, схема володіє сумарною апроксимацією саме з порядком 0(τ+h²).

Дійсно, покажемо, що має місце така сумарна апроксимація.

ЛОС Самарського має порядок апроксимації

 Знаходження граничних умов для  проводиться аналогічно як і в методі Письмена-Речфорда. Тобто виразити    з ЛОС через     та довизначити дану РС     із знайденого виразу

 Іноді ЛОС називається схемою розчеплення по координатах . Зауважемо, що в подібних схемах відсутня апроксимація на кожному проміжному етапі, хоча в цілому, схема має сумарну апроксимацію. Тобто, на проміжних етапах використовують одновимірні різницеві схеми, які окремо не апроксимують вихідне рівняння. Тут має місце лише сумарна апроксимація з цілими номерами k.

Похибка апроксимації проміжних номерів при сумуванні знищується. Такі схеми з сумарною апроксимацією називаються адитивними. Схема розщеплення по координатах являє собою неявну двократну схему для одновимірного рівняння теплопровідності. На першому етапі знаходяться допоміжні значення , а на другому шукане значення сіткової функції.

Математичні висновки для ЛОС аналогічні, як і для поздовжньо-поперечної різницевої схеми лише в сторону спрощення , а саме у рівнянні (2) замість     потрібно взяти      , аналогічно і прогоночні коефіцієнти . У (5) замість     підставимо      .

При сумарній апроксимації точність 0(h²+τ).

Системи лінійних рівнянь, що отримуються мають трьох діагональний вигляд. Розв’язуються за допомогою методу прогонки.

Схема безумовно стійка і вона збігається з швидкістю

 Із побудови ЛОС видно, що вона легко узагальнюється на випадок довільного числа змінних, при цьому кржна нова змінна вимагає введення одного проміжного етапу на кожному шарі по часу.

Побудуємо ЛОС для задачі (1)-(3). Запишемо ЛОС Самарського (33)-(34) в координатному вигляді:

       (38)

       (39)

(38) в про гоночному вигляді:

(40)

Про гоночні коефіцієнти:

             (43)

                           (44)

Інша група методів розщеплення базується на результаті вихідної задачі по фізичних процесах. На кожному шарі по часу вихідна складна задача, що описує деякий фізичний процес при наявності декількох впливових на нього факторів. Розщіплюється на більш прості задачі.

 

 

 

                        Основи методу скінченних елементів (МСЕ).

 

Вступ

 Поряд з розглянутими різними методами чис. розв’язку крайових задач математичної фізики існують і інші методи . Одним із них є варіаційні і проекційні методи, які зайняли в обчислювальній математиці досить важливе місце. Особливо ефективні вони в тих задачах, де шуканими є функціонали від розв’язку. Виявилось, що уже при порівняно невеликих наближеннях функціонали отримали з великою точністю. Найбільш повне теоретичне обґрунтування методів-С. Г. Міхліна, який встановив необхідність і достатність умови стійкості варіац. методів  в просторах з енергетичною нормою.

Активний розвиток варіаційних методів показав і деякі їх недоліки пов’язані з трудністю побудови базисних функцій. Новий напрямок в розвитку варіаційних і проекційних методів при застосуванні їх до крайових задач крайових задач математичної фізики було розвинуто при застосуванні базисних функцій спеціальної конструкції , а саме, які відмінні від нуля в деяких порівняно невеликих областях. Перші роботи по цьому напрямку належать вченим Куран , Оганасян , Ліонс , Обен , Біргоф, Варга , і т. д. Далі ці роботи продовжені в роботах Бабушки , Стренг і Фікс , Зламал Дуглас, Шайдуров і т. д. В різницевих методах в ряді випадків є доцільним отримувати наближений розв’язок з заданою точністю за рахунок формального збільшення розмірності півпросторів (Наприклад, зменшення кроку сітки). Інший спосіб – за рахунок побудови більш точних апроксимацій вихідної задачі на основі апріорної інформації про гладкість розв’язку. Така точка зору виявилась дуже корисною і привела дослідників до досить зручних і універсальних методів побудови різницевих рівнянь на основі варіаційних методів Рітца, Гальоркіна і методу найменших квадратів.

Метод скінчених елементів (МСЕ) в даний час є одним із самих поширених методів розв’язування прикладних задач (вивчення теплових процесів , проблем динаміки рідини, розрахунків напруженого деформов. стану конструкції і т. д.). Спочатку МСЕ був запропонований інженерами. Знайшов широке застосування на практиці , але довгий час залишався поза увагою математиків. Після достатнього його дослідження математиками виявилось, що при негладких вхідних даних задачі МСЕ часто сходиться швидше, ніж метод скінчених різниць, а інколи взагалі володіє оптимальною швидкістю збіжності. МСЕ для розв’язання крайових задач суцільних серед. Вперше був застосований в середині 50-х рр. ⅩⅩ ст.. і з тих часів завоював відомість виключно корисного інженерного методу. Його основою є варіаційне числення. Диференціальні рівняння, що описують крайову задачу та відповідні крайові умови використовується для постановки варіаційної задачі, яка потім розв’язується безпосередньо. З цієї точки зору МСЕ являє собою неявне застосування методу Ріцца на окремих відрізках. ВМСЕ фізична задача замінюється кусково-гладкою моделлю.

 

Основна концепція МСЕ

Основна ідея МСЕ полягає в тому, що довільну шукану неперервну функцію φ(t˚, тиск, переміщення, потенціал і т. д.) можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусково-неперервної функції, визначеної на скінченому числі підобластей.

Кусково - неперервні функції визначаються за допомогою значень неперервної величини в скінченному місці точок розглядуваної області. В загальному випадку неперервна величина наперед невідома і потрібно визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках області. При побудові дискретної моделі поступимо наступним чином:

1.В розглядуваній області Ω фіксують скінчене число точок . Ці точки називаються вузловими або просто вузлами (дискретизація області)

                                                                                                                                  Ω

    

 

                                                                                           і®Ui

2.Значення шуканої наперед функції φ в кожній вузловій точці вважається змінною, яка може бути визначена.

3.Область визначення неперервної величини φ розбивається на скінчене число підобластей, яке називається елементарними . Ці елементи мають загальні вузлові точки , не перекриваються і в сукупності апроксимують форму області (розбиття тіла чи області на скінченні елементи).

4.Неперервна величина φ апроксимується на кожному елементі поліномом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається свій поліном , але поліном вибирається таким чином , щоб зберігалась неперервність величини вздовж меж елемента (вибір схеми інтерпаляції функції в середині елемента ).

5. Виведення рівнянь для схеми в цілому.

6.Ров’язування системи рівнянь.

7.Обчислення значень інших величин.

Переваги і недоліки МСЕ

В даний час область застосування МСЕ дуже широка і охвачує всі фізичні задачі, що можуть бути описані дифрівняннями.

Найбільш важливі переваги методу МСЕ наступні:

1) Застосування методу до розв’язання крайових задач, що складаються з підобластей з різними фізичними властивостями.

2) Застосування методу до підобластей з криволінійними межами.

3) Розміри елемента можуть бути змінними, це дозволяє укрупнювати чи подрібнбвати сітку розбиття області на елементи, якщо в цьому є необхідність.

4) Вхідні дані задачі можуть бути негладкими. Крайові умови задачі можуть бути розривними.

5) При складанні програми для певного класу задач за допомогою МСЕ можна вирішувати будь-яку задачу з цього класу.

Головний недолік МСЕ в складності програми і застосуванні потужної обчислювальної техніки.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: