Открытые и замкнутые мн-ва в метрическом пространстве.

Определение метрического пространства. Примеры.

Абстрактное понятие метрики является обобщением понятия «расстояние». При этом свойства расстояния (не отрицательность, равенство нулю т.и.т.т.к. точки пространства совпадают; симметричность; неравенство треугольника) положено в основу метрики.

Опр1: Метрикой на множестве Х называется fия ρ: Х× Х → R, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ρ (x, y)≥ 0, причём ρ (x, y)=0 ⇔ x=y;

2) ρ (x, y)= ρ (y, x);

3) ρ (x, y)≤ ρ (x, z)+ ρ (z, y) ∀ x, y, z ∈ Х;

! Перечисленные аксиомы не являются независимыми.

Примеры метрических пространств:

1 (рисунок №1 метрического пространства R²=RxR)

ρ (М₁, М₂)=

2) Rⁿ: x=(x1, x2, …, xn), y=(y1, y2, …, yn)

ρ (x, y)= Евклидова метрика

3) С[a, b]-пространство непрерывных fий на отрезке [a, b];

(рисунок №2 непрерывные фии на а, б)

f(x) и g(x) непрерывны на [a, b].

ρ (f, g)=max|f(x)-g(x)|

Открытые и замкнутые мн-ва в метрическом пространстве.

R(X, p)
Опр.1: Мн-во Y⊂ X называется открытым в простр-ве R=(X, p), если вместе с каждой своей точкой xϵ Y оно содержит некоторый шар B(x, r) ⊂ Y.
B(x, r)=
Y – открыто, если для любого xϵ Y сущ-ет ϵ Y.

Опр.2: Мн-во B⊂ X называется замкнутым, если его дополнение X-B является открытым мн-вом.

(рисунок №7 область A и в ней точка Х внутри)

Aϵ - открытое мн-во для любого xϵ A сущ-ет ⊂ A

(рисунок №8 область А и точка Х вне)

B⊂ - замкнутое мн-во - открытоедля любого xϵ сущ-ет ⊂

Свойства открытых и замкнутых множеств.

Пусть R =(x, ρ )-метрическое пространство

1) { } – открытое множество в R

2) { } – замкнутое множество в R

Тогда:

1) - открытое множество

(Объединение любого числа открытых множеств открыто.)

2) - открытое множество

(Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.)

3) - замкнутое множество

(Объединение любого числа закрытых множеств закрыто.)

4) - замкнутое множество

(Пересечение конечного числа закрытых множеств закрыто.)

5) открытое, Y - замкнутое

Доказательство:

1) – открытое множество

– открытое множество

(открытое множество)

3) (замкнутое множество)

4) (замкнутое множество)

5) ,

Связные метрические (топологические) пространства.

Пусть X – метрическое пространство.

Опр1. Если в X ∃ под-во в Y не равно ∅ Y с X, которое одновременно открыто и замкнуто, то пр-во

X называется несвязным.

Опр2. Метр. Простр. R=(x p) ⇒ связным, если его нельзя разложить в объединения

X (не равно) A∪ B

A-открыто, B-открыто. В ТФКП

Теорема 2. При неприрывном отображении, образ связного пространства - есть связное пространство.

f: X→ Y непр отобр X-связн простр-ва, тогда f(x)=Y связн прост

Теорема 3.при непрерывном отображении компактн.мн-во → компактн.мн-во

f: X→ Y Комп отобр, тогда f(X)=Y- комп. Пр-во

X- Комп пр-во ⇒ X c U_α, U_α⇒ можно извлечь X c UⁿU_α (под выражением дописать α =1)

Теорема 4. Если f: X→ Y непр. X-компактное простр то f: -равно комп пр-во

Топологическое пространство

Метрическое пространство Х

p (x, y) – числовая ф-я p ( x, y ) ≥ 0

A1. p(x, y) = 0 < => x=y

A2. x, y p(x, y) = p(y, x)

A3. x, y, z p(x, y) ≤ p(x, z)+p(z, y)

Теорема.

R=(x, p) - метрическое пр-ство

{X_k} – откр. мн-во в R,

{Y_k} – замкн. мн-во в R

X – произвольное мн-во

Говорят, что т. Х огран. точками τ, если на X опр. открыт. мн – во; τ = {Пустое множество, G_α}

Аксиомы тополог. пространства

А1. τ ( – откр.)

А2. (Х - откр.)

А3. ( - откр.)

А4. ( - откр.)

Пример.

(х, τ ) – топологич. пространство; Х – произв. мн-во; – открыт. мн-во

А1. τ ₁

А2.

А3.

А4.. .

Примеры топологических пространств

С тетради

A1 Ø Î τ (Ø - откр. )

A2 Х Î τ (Х- откр. )

A3 U(снизу буквы U нужно написать “α ”)* Î τ

(U(снизу буквы U нужно написать “α ”)* - откр. )

A4 Î τ ( – откр. )

Пример(x, τ )-топ.пространство

Х-произв. мн-ва

Z₁ ={ Ø , Х }- открыт. мн-во

A1 Ø Î τ ₁

A2 Х Î τ ₁

A3 Ø v X= X Î τ ₁

A4 Ø = Ø Î τ ₁

X =X Î τ ₁

Правильная топология (x, τ ) диск.тополог.

τ ={" подмн.множ.откр.}

Числовая прфмая R

z={ Ø , (α, β ), и U (снизу (к) не индекс )( , )} топология числовой прямой

A1 Ø Î τ

A2 Х Î τ ?

X= , Î Q

A3 U(снизу буквы U нужно написать “a”) Î τ (по опр-ю)

A4 Î τ -мн-во

Топология зариского

R-числовая прямая

τ ={ Ø , }

- объявляется откр.,

если R- = (состоит из конечного числа точек)

A1 Ø Î τ ₁ (по опр.)

A2 Х Î τ ₁ т.к. Х-х Ø

A3 U (снизу α ) Î τ, т.к. R- U (снизу α ) = --- Конечное мно-во

А4 Î τ ₁ т.к. R (сверху n, снизу α =1)/ = =

Примеры топологических пространств из инета

1. Пусть Х - множество, состоящее из двух точек А и В. В семейство τ включим пустое множество Ø , само Х и одноточечное множество { A }. τ = { X, Ø , { A }}. Легко убедиться, что все аксиомы топологии 1 - 3 будут выполняться. Возникающее при этом топологическое пространство (Х, τ ) хотя и имеет очень простую структуру, но представляет интерес и носит название - связное двоеточие .

2. Рассмотрим произвольное бесконечное множество Х и семейство τ , состоящее из Х, Ø и всевозможных множеств U Х, дополнения которых С U = Х \ U являются конечными подмножествами. Такое семейство τ задает на Х топологию, которая называется топологией Зарисского .

3. Любое метрическое пространство ( X, ρ ) является топологическим. Как следует из теоремы 2.1, все аксиомы топологического пространства в нем выполняются. В этом случае говорят, что топология индуцируется метрикой.

4. В n -мерном числовом пространстве R ⁿопределим открытое множество следующим образом. Возьмем n числовых интервалов ( а _i, b _i ) ( i = 1, 2, :, n ).

n -мерным координатным параллелепипедом назовем множество

Ω _n= { M ( x ₁, x ₂,..., x_n) | a _i < x _i < b _i}.

А открытым множеством в R ⁿназовем такое U R ⁿ, что " х Î U $Ω _n | х Î Ω _n U .

Топология, заданная с помощью открытых координатных параллелепипедов, называется естественной.

( R ⁿ, τ ) - n - мерное числовое пространство с естественной топологией. В частности, при n =1 получается ( R, τ ) - числовая прямая с естественной топологией. При этом координатный параллелепипед превращается в интервал, поэтому можно сказать, что естественная топология на прямой задается с помощью числовых интервалов.

5. Пусть Х - произвольное непустое множество. τ = { X, Ø }. Такая топология называется антидискретной , а топологическое пространство (Х, τ ) - антидискретным пространством . В нем всего два открытых множества: Х и Ø .

6. Х - произвольное непустое множество. В качестве открытых множеств возьмем всевозможные подмножества Х. Эта топология называется дискретной, а (Х, τ ) - дискретным пространством . В дискретном топологическом пространстве любое множество является открытым.

Аксиомы отделимости

Пусть X — множество и τ — система его подмножеств, удовлетворяющая двум условиям:

а) пересечение всякой конечной подсистемы элементов τ ∈ τ;

б) ∪ всякой подсистемы элементов τ ∈ τ.

Из а) вытекает, что X принадлежит τ, поскольку X — пересечение пустой подсистемы системы τ. Аналогично из б) вытекает, что (пустое множество) ∈ τ.

Пара (X, τ ) называется топологическим пространством, а семейство τ — топологией.

Аксиомы отделимости:

1) Топологическое пространство X является Т₀ пространством, if для ∀ х, у∈ X по крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

2) Пространство X называется Т₁-пространством, if для ∀ х, у∈ X ∃ окрестность Ох, не содержащая точки у, и окрестность Оу, не содержащая точки х. Очевидно, X есть Т₁пространство т.и.т.т.к. все одноточечные подмножества X замкнуты.

3) Пространство X называется хаусдорфовым или Т₂-пространством, if для ∀ из X существуют непересекающиеся их окрестности.

4) Пространство X называется Т₃-пространством, if для ∀ х ∈ X и всякого не содержащего ее замкнутого множества F ∃ Ох ∩ (зачёркнутое) OF.

5) Аксиомы Т₀, Т₁, Т₂идут в порядке усиления и дают все более узкие классы пространств. Так, пространство на

двухточечном множестве {а, Ъ}, открытыми в котором являются множества 0, {а}, {а, Ъ} (так называемое «связное двоеточие»), есть Т₀-пространство, но не Т₁-пространство.

6) Пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам Т₀ и Т₃, называется регулярным. Всякое регулярное пространство X хаусдорфово.

7) Пространство X называется Т₄-пространством, if любую дизъюнктную пару замкнутых в X множеств можно заключить в непересекающиеся окрестности.

10 ) Компактное пространство

Опр.1: T=(X, Ƭ ) – топологическое простр-во. Система открытого мн-ва называется покрытием мн-ва X, если X⊂

Опр.2: Топологическое простр-во Т называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие X⊂

X⊂

S – компактное простр-во T – компактное простр-во

Рим. Поверхность

………..

n=2 w^2=(z-r₁ )(z-r₂ )

z-₁ =ρ *

z-r₂ =р₂ *

z=r₁, z=r₂ точки ветвления 1-ого порядка

z=∞ –не является точкой ветвления

W^2=( z-r₁ )(z-r₂ )(z-r₃ )

z=r₁ à

z=r₂ à точки ветвления 1 –ого порядка

z=r₃ à

z=∞

т.к. (-)*(-)*(-)=(-) à ∞ –точка ветвления 1-ого порядка

Рим.повер.W=

сфера с одной ручкой

n=6

z=r₁, …, z=r₆ - точки ветвления 1-ого порядка.

z=∞ –не яв. точкой ветвления

Рим.поверхность для n=6

1 трубка идет на образование сферы => остальные трубки идут на ручки.

Если n- нечетное w^2=рₙ (z)

z=r₁, z=r₂, ……, z=2KH, z=∞ –точки ветвления

K-ручек

Если n-четное => К ручек

Триангуляция поверхностей.

Пусть даны некоторая выпуклая двухмерная область, ограниченная замкнутой ломаной линией, и набор точек внутри этой области.

Требуется разбить указанную область на треугольники, вершинами которых являются заданные точки внутри области и вершины ограничивающей ее ломаной линии. Треугольники не должны накрывать друг друга, а их стороны могут пересекаться только в вершинах.

Можно построить несколько различных наборов треугольников, заполняющих указанную область. Во всех случаях число треугольников равно K+I-2, где К — число вершин ограничивающей ломаной, I — число заданных точек внутри области

9.7.2

Триангуляция области будет триангуляцией Делоне, если внутри описанной вокруг каждого треугольника окружности отсутствуют вершины других треугольников. Триангуляция Делоне строит треугольники по возможности близкие к равноугольным (не допускает построение неоправданно вытянутых треугольников).Ее можно назвать сбалансированной. Триангуляция Делоне будет уникальной, если никакие четыре вершины не лежат на одной окружности.Рассмотрим триангуляцию Делоне. Вершины ограничивающей область ломаной и заданные точки внутри области будем называть вершинами триангуляции. Стороны треугольников будем называть ребрами. Среди ребер выделим отрезки ограничивающей ломаной, которые будем называть граничными ребрами. Сориентируем все граничные ребра так, чтобы выпуклая область лежала слева от каждого ребра. Пусть требуется построить треугольник, стороной которого является граничное ребро АВ, показанное на рис. 9.7.2. Через вершины А, В и любую, не лежащую с ними на одной прямой, вершину можно провести окружность. В качестве третьей вершины треугольника выберем вершину V, соответствующая которой окружность, не содержит других вершин с той же стороны относительно отрезка АВ, с которой лежит точка V. Для граничного ребра в общем случае можно найти одну такую вершину. Будем называть ее ближайшей. Центр окружности, проходящей через точки А, В и V, лежит на пересечении перпендикуляров к серединам отрезков АВ, BV и VА. Положение центра окружности будем характеризовать параметром t отрезка MN, перпендикулярного ребру АВ, равного с ним по длине и проходящего через середину ребра АВ

. 9.7.3

Для всех вершин, лежащих слева от отрезка АВ, ближайшая вершина имеет наименьший параметр t. Соответствующая ближайшей вершине окружность не содержит других вершин слева от отрезка АВ. Пусть вершины А, В и V описываются двухмерными радиус-векторами соответственно. Радиус векторы середин отрезков AB и BV будут равны

Значение параметра t прямой MN=(1-t)m+tn, соответствующее положению на ней центра окружности, проходящей через точки А, В и V, равно

Для ближайшей слева к отрезку АВ вершины параметр t имеет минимальное значение. Сориентируем все граничные ребра так, чтобы подлежащая триангуляции область лежала слева от каждого из них. Построение треугольников начнем с любого граничного ребра. Найдем для него ближайшую вершину, соответствующая окружность которой не содержит других вершин. Пусть для граничного ребра АВ найдена ближайшая вершина V. Тогда построим треугольник ABV и переведем ребро АВ в разряд неактивных. Неактивными будем называть ребра и вершины, которые не участвуют в алгоритме триангуляции. Если среди граничных ребер отсутствует ребро BV, то на отрезке VB построим новое граничное ребро. Если же среди граничных ребер есть ребро BV, то переведем его и вершину В в разряд неактивных. Если среди граничных ребер отсутствует ребро VA, то на отрезке AV построим новое граничное ребро. Если же среди граничных ребер есть ребро VA, то переведем его и вершину А в разряд неактивных. Процесс триангуляции показан на рис. 9.7.3. Триангуляцию закончим, когда все вершины и ребра станут неактивными. Результат триангуляции заданной области приведен на рис. 9.7.4. 9.7.4

15. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Лист Мебиуса, Бутылка Клейна.

Поверхность S наз-ся ориентированной, если на этой поверхности каждая замкнутая цепь когерентно-ориентирована.

Неориентированные пов-ти:

1) Лист Мебиуса

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножество

Является параметризация:

где 0 ≤ u < 2π и -1 ≤ v ≤ 1. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости xy с центром в (0, 0, 0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задаёт расстояние от края.

(формула из лекций)

2) Бутылка Клейна

Параметризация:

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.