Свойства открытых и замкнутых множеств.

Пусть R =(x, ρ )-метрическое пространство

1) {  } – открытое множество в R

2) {  } – замкнутое множество в R

Тогда:

1)  - открытое множество

(Объединение любого числа открытых множеств открыто.)

2)  - открытое множество

(Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.)

3)  - замкнутое множество

(Объединение любого числа закрытых множеств закрыто.)

4)  - замкнутое множество

(Пересечение конечного числа закрытых множеств закрыто.)

5)  открытое, Y - замкнутое

Доказательство:

1)  – открытое множество

– открытое множество

(открытое множество)

2)  

(открытое множество)

3) (замкнутое множество)

4)  (замкнутое множество)

5) ,

 

 

 

Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. Их свойства

Опр1 . Последовательность ξ = {х1, Х2,..., х_n,...} точек метрического пространства (M, p) называется сходящейся к точке a ϵ M, точка a называется пределом этой последовательности, если ,
это равносильно тому, что для любого вещественного числа ξ > 0 {\displaystyle \epsilon > 0} существует натуральное число n₀ {\displaystyle n_{0}}nnnn nтакое, что для любого номера {\displaystyle ~n> n_{0}}n > n ₀ выполняется неравенство {\displaystyle ~\rho (x_{n}, a)< \epsilon } p(x_n, a)< ξ

Св-во 1. (Единственность предела). Если у последовательности {x_n} существует предел, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что у данной последовательности существует несколько пределов и

Тогда, по определению предела последовательности:

Согласно неравенству треугольника и свойству неотрицательности метрики 0≤ p(a, b)≤ p(a, x_n)+p(x_n, b).

Переходя к пределу при получим: 0 ≤ p(a, b) ≤ 0 + 0=0

А из равенства нулю метрики для двух элементов следует их равенство.

Св-во 2. Если последовательность сходится, то она ограничена

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что сх-ся пос-ть {x_n} элементов множества M ограничена, покажем, что все её члены содержатся в некотором шаре B конечного радиуса. Пусть последовательность {x_n} сходится в пространстве M, тогда последовательность {ρ (x_n, a)} сходится на множестве действительных чисел:

(Ǝ M> 0), (nϵ N), p(x_n, a)≤ M. Следовательно nϵ N, x_nϵ B[a, M]

Св-во 3. Если последовательность {xn} сходится к элементу a, то и любая её подпоследовательность сходится к тому же самому элементу.

Св-во 4 (Непрерывность метрики).: Пусть заданы две последовательности

{x_n}, {y_n}, причем , , тогда

Доказательство. Согласно неравенству четырёхугольника, для каждого номера n: |p(x_n, y_n)-p(a, b)|≤ p(x_n, a)-p(y_n, b).

Переходя к пределу в правой и левой частях неравенства, и учитывая свойство неотрицательности метрики, получаем:

0≤

Отсюда

Предел разности равен разности пределов, поэтому

.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: