Розділ 3. Лінійні системи диференціальних рівнянь

Формула Остроградського-Ліувілля.

Обчислимо похідну визначника Вронського фундаментальної системи

.

визначник, отриманий з  шляхом диференціювання го рядка. Розглянемо  і врахуємо той факт, що  частинні розв’язки лінійної однорідної системи (3.1.4).

,

бо в останньому визначнику перший рядок є лінійною комбінацією решти го рядків, тому він дорівнює нулю. Аналогічно отримуємо, що . Тоді

.

Інтегруємо це диференціальне рівняння

.

Підставивши у цю формулу , одержуємо . Остаточно

.

Останню формулу і називають формулою Остроградського- Ліувілля для лінійних систем.

 

Приклад 1.

Покладемо .

Одержуємо систему

Записуємо характеристичне рівняння

 або .

Характеристичні числа .

Якщо підставимо замість  корінь  в систему для знаходження  і , то одержимо

Тут, як і слід було чекати, друге рівняння є наслідком першого (воно навіть співпадає з ним). Покладемо . Тоді . Отож, характеристичному числу  відповідає розв’язок

.

Для  одержуємо система

Звідки . Цьому характеристичному числу відповідає розв’язок

.

Загальний розв’язок системи має вигляд

Приклад 2.

Характеристичне рівняння

 або

Має комплексні спряжені корені . Знайдемо розв’язок, який відповідає кореню . Цей розв’язок має вигляд

.

Числа  та  шукаємо з системи

Покладемо . Тоді . Шуканий розв’язок має вигляд

.

Цей розв’язок комплекснозначний. Відділяючи в ньому дійсну та уявну частини, одержимо два дійсних розв’язки

Загальний розв’язок має вигляд

Приклад 3.

Характеристичне рівняння

має корені . Система для знаходження  має вигляд

Підставимо у цю систему .

Додамо перші два рівняння. Одержимо . Тоді . Перший частинний розв’язок має вигляд

.

Підставимо . Тоді

Звідки . Другий частинний розв’язок має вигляд

.

Підставимо . Тоді

Додаємо перші два рівняння

Покладемо . Тоді . Третій частинний розв’язок має вигляд

.

Загальний розв’язок системи

 

Приклад 4.

Характеристичне рівняння

 або  має корінь  кратності . Одержуємо систему

Ранг матриці системи , тому число , тобто . Шукаємо розв’язок вихідної системи у вигляді

.

Підставляючи його у систему і скорочуючи на , одержуємо

або

Для того, щоби поліном був тотожньо рівний нулю, необхідно та достатньо, щоби усі його коефіцієнти були рівні нулю. Звідки одержуємо систему для знаходження невідомих

Звідки

.

Дві невідомі можна задати довільно. Нехай . Тоді

 

 

Приклад 5.

Характеристичне рівняння

 або ,  має корені . Для кореня  маємо систему

звідки

Покладемо . Тоді . Маємо перший частинний розв’язок

.

Для кратного кореня  одержуємо систему

Розглянемо матрицю цієї системи

.

Ранг цієї матриці , тому число . Розв’язок, який відповідає двократному кореню  шукаємо у вигляді

.

Підставляючи ці вирази у вихідну систему і скорочуючи на , одержуємо

 

або

Покладемо , . тоді , . Отже, розв’язок, який відповідає двократному кореню, має вигляд

.

Загальний розв’язок вихідної системи

 

Приклад 6.

Характеристичне рівняння

,

Має корені . У систему

підставимо спочатку корінь .

Віднімемо від першого рівняння друге. , тобто . Покладемо . Тоді . Маємо перший частинний розв’язок

.

Тепер підставимо . Одержуємо систему

Ранг матриці цієї системи , тому число , тобто дорівнює кратності характеристичного кореня. Два частинні розв’язки одержуємо так:

спочатку покладемо . Тоді . Запишемо другий частинний розв’язок

.

Тепер покладемо . Тоді . Маємо третій частинний розв’язок

.

Загальний розв’язок вихідної системи має вигляд

Розглянемо тепер на прикладах застосування методу невизначених коефіцієнтів для розв’язування лінійних неоднорідних систем зі сталими коефіцієнтами.

Приклад 7.

Розв’яжемо спочатку відповідну однорідну систему

Характеристичне рівняння

 або

має корені .

Для кореня  маємо рівняння . Покладемо , тоді .

Для кореня  маємо рівняння . Покладемо , тоді

Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

Частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

.

Підставляємо у систему

Звідки одержуємо

Ця система має єдиний розв’язок .

 

Загальний розв’язок вихідної неоднорідної системи має вигляд

Приклад 8.

Розглянемо однорідну систему

Характеристичне рівняння  або  має комплексні корені .

Для кореня  одержуємо систему

Покладемо , тоді .

Комплексно значний розв’язок має вигляд

Відділяємо дійсні та уявні частини і будуємо загальний розв’язок однорідної системи

Частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

, де  розв’язок системи

а  розв’язок системи

Після підстановки у першу систему і скорочення на  маємо

 

Звідки

або

Розв’язавши цю систему, маємо . Тоді

.

Для другого частинного розв’язку маємо

Звідки .

Загальний розв’язок вихідної системи має вигляд

Приклад 9.

Знаходимо корені характеристичного рівняння відповідної однорідної системи

.

Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

Оскільки  є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

Підставивши його у систему і скоротивши на , маємо

 

 

Звідки одержуємо систему

Оскільки перше і третє рівняння співпадають, то одна стала може бути вибрана довільно. З першого рівняння маємо . Одержуємо

Віднімаємо ці два рівняння. Одержуємо . Тоді . Для визначення двох останніх сталих маємо тільки одне рівняння . Покладемо , тоді . Частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

Можемо записати загальний розв’язок неоднорідної системи

 

Приклад 1.

.

Додамо чисельники та знаменники перших двох дробів і прирівняємо до третього

,

звідки

.

Отже,

є перший інтеграл системи.

Помножимо чисельники та знаменники дробів відповідно на , додамо чисельники та знаменники перших двох дробів і прирівняємо до третього дробу.

.

Маємо

.

Звідки одержуємо ще один перший інтеграл

.

Очевидно, що знайдені перші інтеграли незалежні, тому загальний інтеграл вихідної системи має вигляд

Приклад 2.

.

Рівняння

дає один перший інтеграл .

Тепер віднімемо від чисельника та знаменника останнього дробу чисельники та знаменники перших двох дробів. Одержимо інтегровану комбінацію

.

Звідки

.

Загальний інтеграл має вигляд

Приклад 3.

Запишемо цю систему у симетричній формі

.

Звідки

.

Складемо пропорцію

або

.

Інтегруючи, знаходимо перший інтеграл

.

Знаходимо звідси  і підставляємо у перше рівняння вихідної системи.

.

, .

Інтегруємо

, .

Замінивши  її значенням, одержимо

.

Загальний інтеграл вихідної системи має вигляд

Приклад 1.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Складаємо відповідну симетричну систему

.

Інтегруючи цю систему, знаходимо перші інтеграли

.

Загальний розв’язок має вигляд

,

де  – довільна диференційована функція своїх аргументів.

Приклад 2.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Відповідна симетрична система складається з одного рівняння

 або .

Це – однорідне рівняння, тому робимо заміну . Тоді

, .

,

Отже, загальний розв’язок вихідного рівняння має вигляд

.

Приклад 3.

Знайти розв’язок рівняння

який задовольняє умову

.

Утворюємо відповідну симетричну систему

.

Знаходимо перші інтеграли

.

Підставимо значення  у ці інтеграли

.

Звідси

.

Підставимо в початкову умову замість  і  їх значення з останніх двох рівностей

.

Замість  і  підставимо їх значення з перших інтегралів. Тоді

.

Приклад 4.

.

.

Складаємо відповідну систему

.

З останнього рівняння маємо

.

З першого рівняння маємо

.

Підставляємо значення  в перші інтеграли. Одержимо

.

Звідси

.

Підставляємо в початкову умову

.

 

Тоді

.

Приклад 5.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Це – квазілінійне рівняння, тому відповідна симетрична система має вигляд

.

Знайдемо перші інтеграли цієї системи. З першого рівняння

Маємо

.

Складемо рівність, використовуючи властивість пропорцій,

,

звідки

.

Загальний розв’язок має вигляд

.

Його можна записати у такому вигляді

.

Приклад 6.

Знайти розв’язок рівняння

,

який задовольняє початкову умову

.

Складаємо відповідну симетричну систему

.

Друге рівняння дає один перший інтеграл

.

 

Використавши властивість пропорцій, отримуємо інтегровану комбінацію

.

Звідки

.

Підставимо значення  в перші інтеграли

.

Звідки

.

Підставляємо ці значення в початкову умову

 або .

.

Приклад 7.

Знайти інтегральну поверхню рівняння

,

яка проходить через криву

Відповідна симетрична система має вигляд

.

З першого рівняння маємо

.

Утворимо інтегровану комбінацію

 або .

Звідки

.

Виключимо тепер  з рівнянь

З другого і четвертого рівнянь маємо , отже, . Тоді з першого рівняння . З третього отримаємо .

Тепер можемо знайти залежність між  і , використавши друге рівняння

.

Отже,

,

.

Замінюючи тепер  та  відповідними їм виразами з перших інтегралів, отримаємо рівняння шуканої поверхні

або

.

Розділ 3. Лінійні системи диференціальних рівнянь

3.1. Загальна теорія лінійних однорідних систем. У цьому розділі ми розглянемо один клас нормальних систем диференціальних рівнянь – системи лінійних диференціальних рівнянь. Це системи вигляду

          (3.1.1)

Стосовно коефіцієнтів  і функцій  припускаємо, що вони неперервні у проміжку . Тоді згідно з теоремою Коші для нормальних систем існує єдиний розв’язок системи (3.1.1) у проміжку , який задовольняє початкові умови

.                                                (3.1.2)

Введемо позначення

Тоді систему (3.1.1) можна записати у вигляді

.                                                           (3.1.3)

Якщо , то систему називають лінійною однорідною, якщо хоча би одна з функцій  відмінна від нуля, то систему називають неоднорідною.

Розглянемо спочатку лінійну однорідну систему

.                                                                       (3.1.4)

Вектор-функцію  називають розв’язком системи (3.1.4), якщо вона перетворює рівняння системи в тотожності, тобто

.

Теорема 3.1. Якщо  і  – частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх сума  також буде розв’язком цієї системи.

Згідно умови теореми . Використовуючи властивість лінійного оператора, одержуємо

.

Теорема доведена.

Теорема 3.2. Якщо  частинний розв’язок лінійної однорідної системи, то  також буде розв’язком цієї системи за будь-якої сталої .

Доводиться аналогічно.

Наслідок. Якщо  частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то розв’язком цієї системи буде функція

.                                                   (3.1.5)

Означення. Вектор-функції  називають лінійно залежними на проміжку , якщо існують такі числа , не всі одночасно рівні нулю, що для усіх  виконується тотожність

.                                                    (3.1.6)

Якщо ж ця тотожність можлива лише тоді, коли усі , то вектор-функції називають лінійно незалежними.

Розглянемо систему вектор-функцій

 

Утворимо визначник, який називають визначником Вронського

.

Теорема 3.3. Якщо система вектор-функцій  лінійно залежна у проміжку , то  у проміжку .

Згідно умови теореми виконується тотожність (3.1.6). Запишемо цю рівність як лінійну алгебричну систему

                                            (3.1.7)

Розглядаючи систему (3.1.7) як лінійну однорідну алгебричну систему стосовно чисел , ми бачимо, що вона має ненульовий розв’язок. Це означає, що визначник системи тотожньо дорівнює нулю. Але цей визначник і є визначником Вронського. Теорема доведена.

Теорема 3.4. Якщо  лінійно незалежні у проміжку  частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх визначник Веронського не обертається в нуль ні в одній точці проміжку .

Допустимо протилежне. Нехай . Введемо позначення

. Утворимо систему

                                          (3.1.8)

Система (3.1.8) є лінійною однорідною системою стосовно . Оскільки визначник системи є визначником Веронського у точці , а він згідно припущення дорівнює нулю, то система (3.1.8) має ненульовий розв’язок. Позначимо його . Побудуємо функцію

.

Згідно з наслідком з  теорем 3.1  і  3.2  ця функція буде розв’язком лінійної однорідної системи. Оскільки  задовольняють систему (3.1.8), то . Це означає, що

.

Згідно теореми Коші розв’язок лінійної однорідної системи з нульовими початковими умовами , і цей розв’язок єдиний. Тому маємо тотожність

.

Виходить, що розв’язки  лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

З двох останніх теорем можемо зробити такий висновок:

Визначник Вронського  розв’язків лінійної однорідної системи або тотожньо дорівнює нулю у проміжку неперервності коефіцієнтів, або не обертається в нуль ні в одній точці цього проміжку.

Означення. Систему  лінійно незалежних частинних розв’язків лінійної однорідної системи називають фундаментальною системою.

Теорема 3.5. Якщо коефіцієнти лінійної однорідної системи неперервні у проміжку , то існує фундаментальна система розв’язків, визначених і неперервних у цьому проміжку.

Візьмемо довільний визначник, який відмінний від нуля.

.

Визначимо  частинних розв’язків системи, які задовольняють початкові умови

.

Згідно теореми Коші ці розв’язки існують. Визначник Вронського цієї системи у точці  співпадає з визначником , тому відмінний від нуля. Отже, ця система розв’язків є фундаментальною.

Теорема 3.6. Якщо фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи у проміжку , то формула

                                                    (3.1.9)

дає загальний розв’язок цієї системи у проміжку .

Ми вже знаємо, що функція (3.1.9) є розв’язком лінійної однорідної системи. Треба довести, що з цієї формули можна одержати будь-який частинний розв’язок. Виберемо довільний частинний розв’язок, задавши довільні початкові умови.

,                       (3.1.10)

де  довільно задані числа. Згідно з теоремою Коші задача (3.1.4) – (3.1.10) має єдиний розв’язок. Треба показати, що він міститься у формулі (3.1.9). Підставимо початкові умови (3.1.10) у формулу (3.1.9). Одержимо систему

 

 

                                       (3.1.11)

Система (3.1.11) – лінійна неоднорідна система, визначник якої є визначником Вронського  фундаментальної системи розв’язків. Тому цей визначник відмінний від нуля. Отже, система (3.1.11) має єдиний розв’язок. Позначимо його . Підставимо ці числа у формулу (3.1.9).

.

Це й буде шуканий розв’язок. Теорема доведена.

Теорема 3.7. Будь-які  частинні розв’язки лінійної однорідної системи  рівнянь будуть лінійно залежними.

Доведення аналогічне доведенню відповідної теореми для лінійного однорідного рівняння го порядку.

123456Следующая ⇒

Поделиться: