Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійну однорідну систему

                                            (3.3.1)

Введемо позначення

.

Тоді систему (3.3.1) можна записати так:

.

Частинний розв’язок шукатимемо у вигляді

,                                     (3.3.2)

де  та  сталі, які треба визначити так, щоби вирази (3.3.2) задовольняли систему (3.3.1). Підставляючи (3.3.2) у систему (3.3.1), скорочуючи на  і збираючи коефіцієнти при , одержимо систему рівнянь

                                     (3.3.3)

Для того, щоби система (3.3.3) мала нетривіальний розв’язок, необхідно, щоби її визначник дорівнював нулю, тобто ми одержуємо рівняння

.                                          (3.3.4)

Рівняння (3.3.4) є рівнянням го степеня стосовно , його називають характеристичним рівнянням. Бачимо, що вектор-функція (3.3.2) може бути розв’язком системи (3.3.1) тільки тоді, коли  є коренем характеристичного рівняння.

Розглянемо спочатку випадок, коли корені  характеристичного рівняння дійсні та різні. Маємо . Покажемо, що хоча би один з мінорів го порядку визначника  відмінний від нуля, якщо . Обчислюємо похідну .

.

Підставляючи замість  значення  і враховуючи, що , ми одержуємо в результаті, що хоча би один з цих мінорів го порядку, з яких складається остання сума, відмінний від нуля.

Повертаємося до системи (3.3.3), у якій замість  покладемо один з коренів характеристичного рівняння. Визначник системи дорівнює нулю, тому система має ненульові розв’язки . Оскільки ранг матриці  дорівнює , то невідомі  визначаються з точністю до довільного множника пропорційності, який на практиці можна взяти рівним одиниці. Отже, кореню  відповідає частинний розв’язок

.                      (3.3.5)

Проводячи подібні міркування стосовно усіх коренів  характеристичного рівняння, ми одержимо  частинних розв’язків вигляду (3.3.5).

Розглянемо тепер випадок комплексних коренів. Оскільки коефіцієнти системи дійсні числа, то комплексні корені характеристичного рівняння будуть попарно спряженими. Якщо , то . Розв’язки системи (3.3.3) також будуть комплексними числами, які можна вибрати попарно спряженими Відповідні розв’язки системи (3.3.1) матимуть вигляд

.

Ці розв’язки є комплекснозначними функціями дійсної змінної. Легко переконатися у тому, що дійсна та уявна частини комплекснозначного розв’язку є також розв’язками системи. Тому парі комплексно спряжених коренів  відповідатимуть два дійсні частинні розв’язки вигляду

Числа  – дійсні числа, які визначаються з рівностей .

Розглянемо випадок, коли серед коренів характеристичного рівняння є кратні. Нехай  є кратний корінь. Тоді , і міркування, аналогічні проведеним раніше, показують, що серед мінорів порядку  визначника  хоча би один відмінний від нуля при . Це означає, що для рангу матриці  при  справедлива нерівність . Система (3.3.3) зводиться до  незалежних рівнянь. Згідно з теорією лінійних алгебричних систем у цьому випадку у загальному розв’язку системи (3.3.3)  невідомих залишаються довільними. Нехай це будуть . Інші  невідомих будуть лінійними комбінаціями стосовно , тобто

.

Ми одержимо таку систему розв’язків, залежну від  довільних сталих:

Отже, одному кореню  кратності  відповідає  частинних розв’язків, які ми одержуємо, покладаючи  для , а усі інші  при . Будемо мати

…………………………………………………………………….

Матриця з коефіцієнтів при  у правих частинах цих рівностей має вигляд

.

Ранг цієї матриці дорівнює , тобто одержана система частинних розв’язків лінійно незалежна. Якщо , то одержане число розв’язків дорівнює кратності  кореня . У цьому випадку ми одержуємо усі розв’язки, які відповідають цьому кореню. Якщо , то число  одержаних таким способом розв’язків буде менше кратності  кореня . Щоби знайти інші розв’язки, ми повинні, як у випадку одного рівняння го порядку, шукати їх у вигляді лінійних комбінацій функцій .

Приклад 1.

Покладемо .

Одержуємо систему

Записуємо характеристичне рівняння

 або .

Характеристичні числа .

Якщо підставимо замість  корінь  в систему для знаходження  і , то одержимо

Тут, як і слід було чекати, друге рівняння є наслідком першого (воно навіть співпадає з ним). Покладемо . Тоді . Отож, характеристичному числу  відповідає розв’язок

.

Для  одержуємо система

Звідки . Цьому характеристичному числу відповідає розв’язок

.

Загальний розв’язок системи має вигляд

Приклад 2.

Характеристичне рівняння

 або

Має комплексні спряжені корені . Знайдемо розв’язок, який відповідає кореню . Цей розв’язок має вигляд

.

Числа  та  шукаємо з системи

Покладемо . Тоді . Шуканий розв’язок має вигляд

.

Цей розв’язок комплекснозначний. Відділяючи в ньому дійсну та уявну частини, одержимо два дійсних розв’язки

Загальний розв’язок має вигляд

Приклад 3.

Характеристичне рівняння

має корені . Система для знаходження  має вигляд

Підставимо у цю систему .

Додамо перші два рівняння. Одержимо . Тоді . Перший частинний розв’язок має вигляд

.

Підставимо . Тоді

Звідки . Другий частинний розв’язок має вигляд

.

Підставимо . Тоді

Додаємо перші два рівняння

Покладемо . Тоді . Третій частинний розв’язок має вигляд

.

Загальний розв’язок системи

 

Приклад 4.

Характеристичне рівняння

 або  має корінь  кратності . Одержуємо систему

Ранг матриці системи , тому число , тобто . Шукаємо розв’язок вихідної системи у вигляді

.

Підставляючи його у систему і скорочуючи на , одержуємо

або

Для того, щоби поліном був тотожньо рівний нулю, необхідно та достатньо, щоби усі його коефіцієнти були рівні нулю. Звідки одержуємо систему для знаходження невідомих

Звідки

.

Дві невідомі можна задати довільно. Нехай . Тоді

 

 

Приклад 5.

Характеристичне рівняння

 або ,  має корені . Для кореня  маємо систему

звідки

Покладемо . Тоді . Маємо перший частинний розв’язок

.

Для кратного кореня  одержуємо систему

Розглянемо матрицю цієї системи

.

Ранг цієї матриці , тому число . Розв’язок, який відповідає двократному кореню  шукаємо у вигляді

.

Підставляючи ці вирази у вихідну систему і скорочуючи на , одержуємо

 

або

Покладемо , . тоді , . Отже, розв’язок, який відповідає двократному кореню, має вигляд

.

Загальний розв’язок вихідної системи

 

Приклад 6.

Характеристичне рівняння

,

Має корені . У систему

підставимо спочатку корінь .

Віднімемо від першого рівняння друге. , тобто . Покладемо . Тоді . Маємо перший частинний розв’язок

.

Тепер підставимо . Одержуємо систему

Ранг матриці цієї системи , тому число , тобто дорівнює кратності характеристичного кореня. Два частинні розв’язки одержуємо так:

спочатку покладемо . Тоді . Запишемо другий частинний розв’язок

.

Тепер покладемо . Тоді . Маємо третій частинний розв’язок

.

Загальний розв’язок вихідної системи має вигляд

Розглянемо тепер на прикладах застосування методу невизначених коефіцієнтів для розв’язування лінійних неоднорідних систем зі сталими коефіцієнтами.

Приклад 7.

Розв’яжемо спочатку відповідну однорідну систему

Характеристичне рівняння

 або

має корені .

Для кореня  маємо рівняння . Покладемо , тоді .

Для кореня  маємо рівняння . Покладемо , тоді

Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

Частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

.

Підставляємо у систему

Звідки одержуємо

Ця система має єдиний розв’язок .

 

Загальний розв’язок вихідної неоднорідної системи має вигляд

Приклад 8.

Розглянемо однорідну систему

Характеристичне рівняння  або  має комплексні корені .

Для кореня  одержуємо систему

Покладемо , тоді .

Комплексно значний розв’язок має вигляд

Відділяємо дійсні та уявні частини і будуємо загальний розв’язок однорідної системи

Частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

, де  розв’язок системи

а  розв’язок системи

Після підстановки у першу систему і скорочення на  маємо

 

Звідки

або

Розв’язавши цю систему, маємо . Тоді

.

Для другого частинного розв’язку маємо

Звідки .

Загальний розв’язок вихідної системи має вигляд

Приклад 9.

Знаходимо корені характеристичного рівняння відповідної однорідної системи

.

Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

Оскільки  є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок неоднорідної системи шукаємо у вигляді

Підставивши його у систему і скоротивши на , маємо

 

 

Звідки одержуємо систему

Оскільки перше і третє рівняння співпадають, то одна стала може бути вибрана довільно. З першого рівняння маємо . Одержуємо

Віднімаємо ці два рівняння. Одержуємо . Тоді . Для визначення двох останніх сталих маємо тільки одне рівняння . Покладемо , тоді . Частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

Можемо записати загальний розв’язок неоднорідної системи

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: