ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Числення функцій кількох змінних

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Числення функцій кількох змінних

 

Завдання та методичні вказівки

до виконання контрольної роботи з розділу дисципліни “Вища математика” для студентів загально-технічних спеціальностей безвідривної форми навчання

 

Виконав студент      .

групи________________

_____________________

_____________________

Варіант № ___________

Перевірив____________

____________________

 

 

Харків – 2007

 

Завдання і методичні вказівки призначені для студентів загально-технічних спеціальностей безвідривної форми навчання. Розглянуті і рекомендовані до друку на засіданні кафедри вищої математики УкрДАЗТ, протокол №    від січня 2006 р.

 

 

Укладач  асистент Шувалова Ю.С.

 

Рецензент професор Куліш Ю.В.

 

 

 ВСТУП

Ці методичні вказівки присвячені одному з розділів курсу вищої математики – диференціальному численню функцій декількох змінних і його застосуванням. Методичні вказівки містять в мінімальному об'ємі виклад вузлових розділів теми, який може бути використаний як для першого ознайомлення з матеріалом перед читанням підручника, так і як довідкове керівництво при розв'язанні задач. Також вони містять список учбової літератури, зразки розв'язання задач з розгорнутими поясненнями і завдання контрольної роботи.

Вказівки рекомендовані студентам-заочникам, але можуть бути використані і при вивченні цього розділу студентами стаціонару.

ЗАГАЛЬНІ рекомендації

В зв'язку з невеликим обсягом аудиторних занять (лекційних і практичних) основним джерелом знань для студентів заочної форми навчання є не конспект лекцій, а підручник. Особливу увагу слід звертати на визначення основних понять курсу, а при вивченні теорем – на їх формулювання, прагнути до чіткого усвідомлення припущень теорем і доведення тверджень.

Вивчення теоретичного матеріалу слід супроводжувати розв'язанням задач. Корисно для закріплення навиків, крім свого варіанта, виконати завдання ще одного варіанта.

Номери варіантів індивідуальних завдань видаються викладачем. Залік контрольних робіт згідно з учбовою програмою є необхідною умовою допуску студента до заліку або екзамену з курсу вищої математики. Контрольна робота, що містить виконаний чужий варіант завдань, не заліковується.

Функція декількох змінних

Нехай D – довільна множина точок на площині R ² або в просторі R ³. Якщо кожній точці  поставлено у відповідність за деяким правилом “f” число u, то говорять, що на множині D задана функція . Оскільки кожна точка однозначно визначається своїми координатами, то  (якщо D R ²) або  (якщо D R ³), і ми приходимо до поняття функції відповідно двох або трьох змінних. Множина D називається областю визначення функції, а x, у, z – незалежними змінними.

Функція двох змінних  має геометричне зображення – графік, який складається з усіх точок (x; у; z) R³ таких, що (x; у) D, а . Як правило, графік функції – деяка поверхня (мал. 1). Функція повністю визначається завданням свого графіка.

 

ЧАСТИННІ похідні

Нехай  – функція двох змінних. Зафіксуємо одну із змінних, наприклад у, а другій надамо приріст . Частинним приростом функції за змінною x називається величина . Аналогійно визначається частинний приріст за змінною у: .

Якщо приріст отримують обидві незалежні змінні, то різниця  називається повним приростом функції.

Частинною похідною від функції двох змінних  за змінною x (позначається  або ) називається границя відношення частинного приросту функції за змінною x до приросту цієї змінної  при умові :

,

тобто похідна цієї функції, обчислена в припущенні, що інша змінна у фіксована.

Аналогійно визначається частинна похідна за у (x вважаємо фіксованим):

.

Приклад 2.

Частинні похідні функцій більш ніж двох змінних обчислюються в припущенні, що всі змінні фіксовані, окрім однієї, за якою і обчислюється похідна.

Приклад 3.    ,

Диференціал

Нехай функція  визначена в околі точки , точка  лежить в цьому околі та  – відстань між точками  і .

Якщо повний приріст  функції  м іж точками та  може бути представлено у вигляді

,

де  і  обчислюються в точці , а – нескінченно мала, коли (тобто коли ), то функція  називається дифференційовною в точ ці , а вираз

називається повним диференціалом функції .

Оскільки прирости незалежних змінних x, у співпадають з їх диференціалами , , то

ТЕОРЕМА. Достатня умова диференційовності.

Якщо функція  має в деякій області  неперервні частинні похідні  й , то вона в цій області диференційовна.

Такі функції називаються неперервно диференційованими.

Для функції трьох змінних  диференціал

(1)

Приклад 4.

.

Частинні похідні неперервні при всіх (x; у; z), тому функція диференціюєма в кожній точці площини і її повний диференціал за формулою (1) дорівнює

.

Похідні складних функцій

a) Нехай , де u=u(x), v=v(x), тобто  – складна функція однієї змінни x. Тоді

(2)

Приклад 5. , де . Обчислимо .

, за формулою (2) маємо

.

б) Нехай , де u=u(x; у), v=v(x; у), тобто  – складна функція двох змінних. Тоді її частинні похідні

(3)

Приклад 6. , де . Обчислимо .

За першою з формул (3) маємо

Обчисліть  самостійно.

в) Формули (2), (3) легко розповсюджуються на випадки функцій більш ніж двох змінних. Наприклад, якщо , де u=u(x), v=v(x), w=w(x), то

ГРАДІЄНТ

Градієнтом функції (або ) кількох змінних u=u(P) називається вектор, координати якого є частинними похідними за відповідними незалежними змінними.

Таким чином, для функції двох змінних

,

а для функції трьох змінних

.

(7)

Говорять, що в області  (n=2, 3) задано векторне поле, якщо в кожній точці  заданий вектор  (тобто задана вектор-функція декількох змінних). Отже, будь-яка диференціюєма в області G скалярна функція (скалярне поле) u=u(P) породжує в цій області векторне поле . Функція u(P) називається потенціалом векторного поля , а саме векторне поле  називається потенційним полем.

ТЕОРЕМА. Похідна за напрямком дорівнює проекції градієнта на цей напрямок .

Наслідок. Похідна за напрямком максимальна у напрямку градієнта, тобто градієнт направлений у бік найскорішого зростання функції, і в цьому напрямку .

ТЕОРЕМА.  1). Градієнт функції двох змінних  в кожній точці  перпендикулярний до лінії рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

2). Градієнт функції трьох змінних  в кожній точці  перпендикулярний до поверхні рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

Наслідок. Похідна за напрямком , який дотичен до лінії рівня, рівна нулю.

Приклад 9. . Знайти градієнт функції  в точці  

Обчислимо частинні похідні ; ;

За формулою (7) маємо .

Обчислимо значення градієнта в точці : .

 

НОРМАЛЬ ДО ПОВЕРХНІ

Вектор , який перпендикулярен дотичній площини, називається нормальним вектором до поверхні, а пряма, перпендикулярна до дотичної площини, що проходить через точку дотику, називається нормаллю до поверхні в даній точці.

З рівняння (11) вектор  є нормальним до поверхні  (причому будь-який вектор, пропорційний йому,  – теж нормальний). Звідси випливає, що рівняння нормалі до поверхні в точці  має вигляд

Нехай тепер поверхня S задана неявним рівнянням , яке визначає в околі точки  диференціьовану функцію , причому . Згідно правил диференціювання неявної функції (9)-(10) (якщо )

.

Для зручності помножимо  на множник , отримаємо інший нормальний вектор , де всі похідні обчислюються в точці . Таким чином, приходимо в цьому випадку до рівняння нормалі

(12)

Відмітимо, що рівняння дотичної площини можна записати у вигляді

(13)

Хоча раніше було зроблено припущення, що , але рівняння (12), (13) справедливі і коли . Вони не мають сенсу тільки в тому випадку, якщо все три частинні похідні дорівнюють нулю одночасно.

Точка  називається особливою точкою поверхні , якщо .

В особливій точці дотична площина і нормаль до поверхні не визначені.

Приклад 11: Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до конуса   (мал.4) в точках  та .

Розв'язок: .

, значить, в точці M нормальний вектор , рівняння дотичної площини за формулою (13) має вигляд

або після розкриття дужок і скорочення на 4

,

а рівняння нормалі за формулою (12) –

.

В точці ,  значить, це особлива точка поверхні, і в ній дотична площина і нормаль не визначені.

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

ЗАВДАННЯ 1  Обчислити , використовуючи правило диференціювання складної функції, якщо .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

ЗАВДАННЯ 2 Знайти  та , використовуючи правило диференціювання складної функції, якщо , де , .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

ЗАВДАННЯ 3         Поверхню S задано рівнянням . Потрібно пересвідчитися, що точка , та знайти нормальний вектор  до поверхні S в точці M, що утворює гострый кут з віссю Oz. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні S в точці M.

№	S		№	S
1.		(3; 0; –4)	2.		(1; 1; 2)
3.		(1; 1; 1)	4.		(4; 4; 0)
5.		(1; 2; 2)	6.		(2; 0; 3)
7.		(-2; 0, 5; 1)	8.		(3; 4; 5)
9.		(2; 2; 4)	10.		(0; 1; 2)
11.		(2; 1; –1)	12.		(–1; 0, 5; 2)
13.		(1; 1; 1)	14.		(0, 5; 0; -2)
15.		(2; 2; –1)	16.		(4; 2; 2)
17.		(1; –2; 4)	18.		(1; 2; 2)
19.		(3; 4; 1)	20.		(2; 1; 1)
21.		(1; 1; –2)	22.		(2; 3; 1)
23.		(1; 1; 0)	24.		(0; –4; 3)
25.		(0; –3; 4)	26.		(3; 0; 2)
27.		(4; 2; 4)	28.		(4; 3; 5)
29.		(1; 1; 2)	30.		(2; 1; 0)

ЗАВДАННЯ 4. Задано скалярне поле , напрямок  та точка  :

а) Знайти , повний диференціал та похідну за напрямком  в точці .

б) Від функції  знайти частинні похідні другого порядку , , , а також мішану похідну вказану у таблиці.

№				мішана похідна
1.		(1; 1; 2)	(-3; 0; 4)
2.		(4; 4; 0)	(1; 1; 1)
3.		(2; 0; 3)	(1; 2; 2)
4.		(3; 4; 5)	(-2; 0, 5; 3)
5.		(0; 1; 2)	(4; 2; 2)
6.		(–1; 0, 5; 2)	(2; 1; –1)
7.		(0, 5; 0; –2)	(1; 1; 1)
8.		(4; 2; 2)	(2; 2; –1)
9.		(1; 2; 2)	(1; –2; 4)
10.		(2; 1; 1)	(3; 4; 1)
11.		(2; 3; 1)	(1; 1; –2)
12.		(0; –4; 3)	(1; 1; 0)
13.		(3; 0; 2)	(0; –3; 4)
14.		(4; 3; 5)	(4; 2; 4)
15.		(2; 1; 0)	(0; 1; 2)
16.		(3; 0; –4)	(1; 1; 2)
17.		(1; 1; 1)	(4; 4; 0)
18.		(1; 2; 2)	(2; 0; 3)
19.		(-2; 0, 5; 1)	(3; 4; 5)
20.		(2; 2; 4)	(0; 1; 2)
21.		(2; 1; –1)	(1; 0, 5; 3)
22.		(1; 1; 1)	(0, 5; 0; -2)
23.		(2; 2; –1)	(4; 2; 2)
24.		(1; –2; 4)	(1; 2; 2)
25.		(3; 4; 1)	(9; 1; 1)
26.		(1; 1; –2)	(2; 1; -3)
27.		(1; 1; 0)	(0; –4; 3)
28.		(0; –3; 4)	(3; 4; 0)
29.		(4; 2; 4)	(4; 3; 0)
30.		(1; 1; 2)	(2; 1; 0)

ЗАВДАННЯ 5 Дослідити функцію  на екстремуми та обчислити її екстремальні значення.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

ЗАВДАННЯ 6   Для значень  задано відповідні значення . Потрібно за цими даними знайти за допомогою метода найменьших квадратів рівняння лінійной залежності . Представити експерементальні данні та шукану лінію на малюнку.

№
1.	0, 89	3, 62		4, 99		6, 48		9, 25
2.	1, 12	3, 59		4, 41		6, 75		9, 02
3.	0, 98	2, 89		4, 51		7, 49		9, 11
4.	1, 63	2, 77		5, 25		6, 37		9, 72
5.	1, 17	2, 83		5, 01		6, 48		9, 52
6.	0, 98	2, 68		5, 03		6, 88		9, 22
7.	1, 07	3, 17		5, 01		6, 83		8, 93
8.	0, 97	3, 03		5, 13		7, 23		8, 97
9.	1, 06	2, 94		4, 84		6, 92		9, 05
10.	0, 76	2, 66		5, 24		7, 34		8, 96
11.	1, 39	2, 42		2, 35		3, 32		3, 37
12.	1, 62	1, 81		2, 41		3, 16		4, 02
13.	1, 19	1, 89		2, 59		3, 12		3, 39
14.	1, 73	2, 12		2, 27		2, 87		3, 52
15.	1, 67	1, 83		2, 77		2, 68		3, 39
16.	1, 48	1, 68	2, 53		2, 88		3, 72
17.	1, 57	2, 17	2, 51		2, 83		3, 43
18.	1, 47	2, 03	2, 63		3, 23		3, 47
19.	1, 56	1, 94	2, 34		2, 92		3, 55
20.	1, 26	1, 66	2, 74		3, 34		3, 46
21.	0, 39	2, 42	3, 35		5, 32		6, 37
22.	0, 62	1, 81	3, 41		5, 16		7, 02
23.	0, 19	1, 89	3, 59		5, 12		6, 39
24.	0, 73	2, 12	3, 27		4, 87		6, 52
25.	0, 67	1, 83	3, 77		4, 68		6, 39
26.	0, 48	1, 68	3, 53		4, 88		6, 72
27.	0, 57	2, 17	3, 51		4, 83		6, 43
28.	0, 47	2, 03	3, 63		5, 23		6, 47
29.	0, 56	1, 94	3, 34		4, 92		6, 55
30.	0, 26	1, 66	3, 74		5, 34		6, 46

ЗАВДАННЯ 7 Знайти найбільше та найменьше значення функції  в замкнутій області, обмеженій вісями координат та прямою φ (x; y)=0.

№			№
1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.
15.			16.
17.			18.
19.			20.
21.			22.
23.			24.
25.			26.
27.			28.
29.			30.

РоБОЧИЙ ЗОШИТ

Завдання 1. Обчислити , використовуючи правило диференціювання складної функції, якщо ,         ,

Розв‘язок. Обчислимо похідні:

                     

                     

За формулою (2) знаходимо  

Завдання 2. Використовуючи правило диференціювання складної функції, знайти  та , якщо                  , де            ,           .

Розв‘язок. Обчислимо частинні похідні:

                                                            

 

За формулами (3) знаходимо  

Завдання 3. Поверхню S задано рівнянням                                    . Потрібно пересвідчитися, що точка , та знайти нормальний вектор  до поверхні S в точці M, що утворює гострый кут з оссю Oz. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні S в точці M.

Розв‘язок. Перевіремо, що точка  належить поверхні S . Для цього підставимо координати точки М до рівняння поверхні:

Знайдемо нормальний вектор до поверхні S в точці М. Для цього обчислимо такі частинні похідні та їх значення в точці М:

                                                                       

                                                                       

                                                                       

Отже нормальний вектор до поверхні S в точці М має координати

Для того, щоб вектор утворював гострий кут з віссю OZ необхідно, щоб третя координата цього вектора була додатня, отже якщо це не так, треба помножити одержаний вектор  на коефіцієнт (-1).

За формулою (13) запишемо рівняння дотичної площіни до поверхні S в точці М

За формулою (12) запишемо рівняння нормалі до поверхні S в точці М

;

Завдання 4. Задано скалярне поле                                                   та напрямок :

а) Знайти  повний диференціал та похідну за напрямком  в точці М( ; ;   ).

б) Знайти частинні похідні другого порядку , ,  від функції , а також мішану похідну вказану у таблиці   .

Розв‘язок. а)Знайдемо частинні похідні функції  

 

 

 

 

За формулою (7) градієнт функції

 

обчислимо значення градієнта функції в точці М .

За формулою ( 1 ) повний диференціал  

 його значення в точці М

Для знаходження похідної за напрямком, знайдемо довжину вектора  

Далі за формулами (6) напрямні косинуси вектора  

, ,

За формулою (5) похідна за напрямком  дорівнює:

її значення в точці М

б) Знайдемо похідні другого порядку , ,  від функції

 

 

 

а також мішану похідну вказану у таблиці   

 

 

Завдання 5.  Дослідити функцію                                                             на екстремуми та обчислити экстремальні значення.

Розв‘язок. Знайдемо стаціонарні точки, для цього обчислимо частинні похідні

                                                        

прирівняємо ці похідні до нуля та розв‘яжемо систему ;

 

Перевіремо чи набуває функціяє в отриманих стаціонарних точках екстремумів. Для цього обчислемо другі частинні похідні:

 

Обчислемо значення цих похідних ( ; ; ) в кожній стаціонарній точці окремо, після цього знайдемо значення визначника  

Завдання 6. Задано таблицю

	1	2	3	4	5

Потрібно знайти за допомогою метода найменьших квадратів рівняння лінійной залежності . Представити експерементальні данні та шукану лінію на малюнку

Розв‘язок. За формулами (15)  знаходимо

              ,      

 

                            

 

Далі з системи (16): , знаходимо  та :

Таким чином, шукана залежність має вигляд . Представимо знайдену лінійну залежність і експерементальні дані на малюнку

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. –М.: Наука, 1970-1985. Т.1.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. –М.: Наука, 1966.

3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1969.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. –М.: Высшая школа, 1980. Ч.1.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. –М.: Наука, 1987.

6. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. –М.: Наука, 1981; 1986.

7. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч.2. –Харьков: ХГУ, 1963.

8.  Методичні вказівки і завдання до контрольної роботи з розділу дисципліни “Вища математика” для студентів інженерно-технічних спеціальностей “Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных”, укладач Давидов Р. М., Харків, УкрДАЗТ, 1995.

 

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Числення функцій кількох змінних

 

12345Следующая ⇒

Поделиться: