Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ЧАСТИННІ похідні вищих порядків
Розглянемо функцію . Її частинні похідні й самі є функціями двох змінних. Частинні похідні від частинних похідних називаються частинними похідними другого порядку. Функція двох змінних має, таким чином, чотири частинні похідні другого порядку: Приклад 7. Частинні похідні та (вони називаються змішаними похідними) виявилися рівні, що відбулося зовсім не випадково. ТЕОРЕМА. Якщо функція , її перші похідні , та змішані похідні та нерервні в деякій області, то змішані похідні та в цій області рівні. Наслідок. Результат повторного диференціювання не залежить від порядку диференціювання (наприклад ), якщо всі виникаючі при обчисленнях похідні неперервні. Похідна ЗА напрямком Нехай z=f(P) – функція двох змінних, що диференціюється в околі точки , – вектор, що задає деякий напрямок, – точка на цьому напрямку (така, що вектор колінеарний вектору (мал.2)). Очевидно, що де , а – направляючі косинуси вектора, тобто косинуси кутів між вектором і осями координат Ох і Oy відповідно. Величина називається приростом функції в даному напрямку. Границя відношення цього приросту до величини переміщення при умові називається похідною за напрямком та позначається , . Нескладно одержати більш зручні формули для обчислення похідної за напрямком, а саме, для функції двох змінних z = f(x; y)
для функції трьох змінних u = f ( x; y; z)
де напрямні косинуси тривимірного вектора відповідно рівні
Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції в даному напрямку . Приклад 8. , . Знайти похідну за напрямком та обчислити її в точці P0(1; 2; 0). Обчислимо модуль вектора За формулами (6) маємо . Обчислимо частинні похідні . За формулою (4) маємо похідну за напрямком та її значення в точці P0(1; 2; 0) . Оскільки < 0, то функція в напрямку спадає. ГРАДІЄНТ Градієнтом функції (або ) кількох змінних u=u(P) називається вектор, координати якого є частинними похідними за відповідними незалежними змінними. Таким чином, для функції двох змінних , а для функції трьох змінних
Говорять, що в області (n=2, 3) задано векторне поле, якщо в кожній точці заданий вектор (тобто задана вектор-функція декількох змінних). Отже, будь-яка диференціюєма в області G скалярна функція (скалярне поле) u=u(P) породжує в цій області векторне поле . Функція u(P) називається потенціалом векторного поля , а саме векторне поле називається потенційним полем. ТЕОРЕМА. Похідна за напрямком дорівнює проекції градієнта на цей напрямок . Наслідок. Похідна за напрямком максимальна у напрямку градієнта, тобто градієнт направлений у бік найскорішого зростання функції, і в цьому напрямку . ТЕОРЕМА. 1). Градієнт функції двох змінних в кожній точці перпендикулярний до лінії рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ). 2). Градієнт функції трьох змінних в кожній точці перпендикулярний до поверхні рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ). Наслідок. Похідна за напрямком , який дотичен до лінії рівня, рівна нулю. Приклад 9. . Знайти градієнт функції в точці Обчислимо частинні похідні ; ; За формулою (7) маємо . Обчислимо значення градієнта в точці : .
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 337; Нарушение авторского права страницы