Замкнуті системи масового обслуговування 5

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Алгоритм у Mathcad

Вхідні параметри

Результати програми – вектор ймовірностей станів СМО

p:=Smo_4(n, m, ρ)

Операційні характеристики СМО :

1. Середня кількість зайнятих механіків

2. Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість автомобілів, які обслуговуються в одиницю часу

3. Середня кількість не зайнятих механіків

4. Середня кількість автомобілів у системі обслуговування (автомобілів, які знаходяться на обслуговуванні і у черзі)

5. Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговування

6. Середня кількість працюючих автомобілів (кількість автомобілів поза системою обслуговування)

7. Середній час чекання автомобілів у черзі

8. Середній час знаходження автомобілів у системі обслуговування (час обслуговування + час у черзі)

9. Коефіцієнти простою автомобілів і механіків

Таблиця 2.5. Імовірності станів СМО p_k для n = 8, m =2, r =02.

Число непрацюючих автомобілів k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число автомобілів у черзі	0	0	0	1	2	3	4	5	6
Число незайнятих механіків	2	1	0	0	0	0	0	0	0
Імовірності станів p_k	0,204	0,33	0,23	0,14	0,07	0,03	0,01	0,0	0,0

Таблиця 2.6. Операційні характеристики СМО

Характеристика	Позначення	Значення
Число робітників Число станків Число станків на 1 робітника Абсолютна пропускна здатність Середнє число зайнятих робітників Середнє число непрацюючих станків Середня кількість станків у черзі Коефіцієнт простою робітників Коефіцієнт простою станків	m n – А	2 8 4 5,07 1,27 1,67 0,4 0,37 0,05

Приклад 2.8. Навантажувач обслуговує 3 автомобіля (n = 3). Кожний автомобіль підходить під навантаження в середньому 2 рази на годину. Навантаження автомобіля займає в середньому 10 хв. Визначимо характеристики замкнутої одноканальної СМО: абсолютну пропускну здатність СМО, середню зайнятість та простій навантажувача, середню кількість автомобілів у черзі, середню кількість автомобілів у системі обслуговування – під навантаженням і у черзі, середнє число автомобілів поза системою обслуговування, коефіцієнт простою автомобілів, коефіцієнт простою навантажувача.

Розв'язання. Імовірності станів СМО знайдемо по програмі Smo_4.

Вхідні параметри

Одержуємо такі імовірності станів СМО:

p:=Smo_4(n, m, ρ)

p^T = (0.346 0.346 0.231 0.077)

Операційні характеристики СМО :

1. Середня зайнятість навантажувача

2. Середнє число не зайнятих навантажувачів

3. Середнє число автомобілів у системі обслуговування (автомобілів, які знаходяться на обслуговуванні і у черзі)

4.Середнє число автомобілів у черзі на обслуговування

5. Середнє число працюючих автомобілів

6. Абсолютна пропускна здатність системи (середнє число автомобілів, які обслуговуються в одиницю часу

7. Середній час чекання автомобіля у черзі

8. Середній час знаходження автомобіля у системі

9. Коефіцієнт простою автомобілів

10. Коефіцієнт простою навантажувача

Приклад 2.9. Таксомоторна фірма, яка здійснює обслуговування клієнтів деякого району, має 10 автомобілів. Протягом робочої зміни автомобілі і водії за певними технічними причинами проходять відповідне обслуговування. Середня кількість цих обслуговувань у день дорівнює . Середня тривалість одного обслуговування складає хв.

Визначимо основні операційні характеристики даної СМО.

Розв’язання. Оскільки у даній системі загальна кількість джерел навантаження обмежена (кількість водіїв і автомобілів дорівнює 10) і черга на обслуговування відсутня, то процес роботи таксофірми описується розглянутою моделлю СМО.

Алгоритм у Mathcad

Вхідні параметри моделі

Імовірностей станів

Операційні характеристики СМО :

1. Середнє число зайнятих каналів

2. Відносна і абсолютна пропускні спроможності

3. Коефіцієнт простою автомобілів

Завдання для лабораторної роботи №6

Локальна комп’ютерна мережа має комп’ютерів. Вони працюють як n-канальна СМО з чергою, довжина якої не перевищує заявок. Інтенсивність потоку заявок на обслуговування дорівнює одиниць за годину. Середній час обслуговування однієї заявки одним оператором складає хв. Якщо кількість заявок на обслуговуванні менше , то вільний оператор може допомагати іншим.

Визначити основні операційні характеристики СМО без взаємодопомого і СМО із взаємодопомогою. Зробити порівняльний аналіз пропускних здатностей цих СМО.

Завдання для лабораторної роботи №7

У довідкову комп’ютерну систему надходять запити від клієнтів, термін обробки яких в середньому складає хв. Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю запитів на годину. Розподіл імовірностей термінів обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією . Виконуються умови стаціонарності .

Визначити основні операційні характеристики даної СМО і пуассонівської СМО та порівняти їх із відповідними характеристиками пуассонівської СМО.

Контрольні запитання

1. Що таке системи масового обслуговування (СМО). Дати загальну характеристику СМО. За якими характеристиками класифікуються СМО. Навести приклади моделей СМО, які описують реальні процеси обслуговування.

2. Навести функціональні характеристики ефективності СМО.

3. Дати визначення СМО з втратами. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з втратами.

4. Дати визначення абсолютної і відносної пропускної спроможності.

5. Навести основні операційні характеристики СМО в залежності від їх типів.

6. У чому полягають задачі оптимізації СМО і які економічні критерії характеризують їх ефективність. Які існують моделі СМО з вартісними характеристиками.

7. Навести приклади задач управління, пов’язані з прийняттям рішень з використанням моделей масового обслуговування.

8. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з втратами, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

9. Навести формули для ймовірностей станів СМО з втратами.

10. Якими характеристиками визначається ефективність СМО з втратами.

11. Дати визначення СМО з чергою. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з чергою.

12. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

13. Навести формули для ймовірностей станів n-канальної СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі.

14. Який вигляд мають формули для ймовірностей станів одноканальної СМО з чергою.

15. Якими операційними характеристиками визначається ефективність СМО з чергою.

16. Дати характеристику СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

17. Навести формули для ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

18. Дати означення замкнутої СМО. Привести діаграму інтенсивностей переходів у замкнутої СМО.

19. Яку структуру має замкнута СМО і якими параметрами вона описується.

20. Який вигляд має система алгебраїчних рівнянь для стаціонарних імовірностей станів замкнутої СМО.

21. Навести формули для ймовірностей станів замкнутої СМО.

22. Якими операційними характеристиками визначається ефективність замкнутої СМО.

23. Привести схему і алгоритм у Mathcad обчислення ймовірностей станів замкнутої СМО.

24. У чому полягає основна особливість непуассонівських СМО, якими розподілами ймовірностей описуються вхідні і вихідні потоки у СМО.

25. Навести формулу Поллачека-Хінчина і дати її характеристику.

Критерії оптимізації СМО

Критерієм оптимізації може бути функція, яка виражає прибуток або витрати, пов’язані з простоєм каналів обслуговування і чеканням клієнтів у черзі, або більш точно, математичне сподівання прибутку і витрат, викликаних простоєм каналів обслуговування і чеканням клієнтів. Вартісні оцінки процесу обслуговування у СМО, які повинні бути відображені у критерії оптимальності, складається із таких елементів:

• вхідний потік заявок на обслуговування:

• накопичувач заявок, які чекають обслуговування;

• канали обслуговування;

• вихідний потік обслужених заявок.

Витрати СМО складаються з постійної і змінної складової. Перша складова практично не залежить від того, як організований процес обслуговування заявок і, як правило, включає витрати на придбання і установку устаткування (каналів обслуговування СМО). Друга складова пропорційна кількості обслужених заявок і може суттєво залежати від організації процесу обслуговування. Доходи СМО складаються із доходу за обслуговування заявок і у більшості випадків раціональна організація процесу обслуговування може суттєво їх підвищити. СМО повинна так організувати процес обслуговування, щоб максимізувати одержуваний прибуток, який є різницею між доходами і витратами СМО.

Основними параметрами СМО, на які можна впливати, щоб збільшити прибуток є:

1. Інтенсивність вхідного потоку. Інтенсивність вхідного потоку заявок при раціональній організації процесу обслуговування у СМО (при раціональному співвідношенні з інтенсивністю обслуговування) збільшує прибуток за рахунок зменшення простою каналів обслуговування.

2. Об’єм накопичувача заявок. Збільшення об’єму накопичувача збільшує витрати СМО на його організацію і утримання, але одночасно збільшує доход, оскільки при цьому зменшується частка заявок, які одержують відмову у обслуговуванні у наслідок відсутності вільних місць у накопичувачі.

3. Дисципліна черги, тобто правило вибору заявок на обслуговування. Якщо з точки зору доходу і витрат СМО усі заявки однакові, то дисципліна їх обслуговування для СМО значення не має. Але якщо передбачена платня за терміновість обслуговування, за обслуговування без черги, або якщо знаходження у черзі одних заявок збільшує витрати СМО більше, ніж інших, то вибір дисципліни обслуговування може сильно впливати на прибуток.

4. Час обслуговування заявки і кількість каналів обслуговування (інтенсивність обслуговування). Дані параметри суттєво впливають на характеристики системи обслуговування, а отже, на витрати і доходи СМО.

Розглянуті параметри системи обслуговування можуть розглядатись у якості управляючих і оптимізаційну задачу можна сформулювати так: вибрати параметри СМО, що управляються, таким чином, щоб її доход був максимальний.

Максимуму прибутку

Критерій максимуму валового прибутку при оптимізації СМО враховує прибуток від роботи СМО, прибуток від роботи засобів виробництва при виконанні роботи за їх призначенням і економічні втрати від простою каналів обслуговування та простою засобів виробництва у наслідок перебування їх у неробочому стані.

Прибуток від роботи каналів обслуговування визначається кількістю обслужених заявок і вартістю виконаної роботи за обслуговування заявки, які мають конкретне вартісне вираження і оцінюються безпосередньо. Втрати від простою обслуговуючих каналів і заявок іноді не мають чіткого вартісного вираження і можуть визначатись не прямим шляхом. Наприклад, втрати від затримки обслуговування заявок можуть проявлятись різним чином: штрафи або пені за затримку подальшої роботи заявок, додаткові поточні витрати, втрати якості продукції, зменшення обсягу продукції, що виробляється, втрата очікуваного прибутку тощо. Простої каналів обслуговування викликають втрати прибутку від результатів їх безпосередньої роботи, штраф за їх простоювання, здорожання обслуговування, тощо.

Розглянемо СМО з m каналами обслуговування і обмеженим джерелом заявок, максимальна кількість яких не перевищує n (за класифікацією СМО це є замкнута СМО). Інтенсивність потоку заявок на обслуговування від одного джерела дорівнює одиниць, інтенсивність обслуговування одиниць (середній час обслуговування одиниць часу. Якщо у якості критерію оптимальності системи прийняти прибуток, який є різницею між доходом від роботи заявок і обслуговуючих приладів СМО та витратами від простою заявок у черзі на обслуговування або простою каналів обслуговування, то у загальному випадку цей критерій буде функцією параметрів Зазвичай ставиться частинна задача: при заданих трьох параметрах визначити четвертий при умові, що критерій оптимальності прийме максимальне значення.

Для ілюстрації алгоритму розв'язання класу задач оптимізації СМО за критерієм прибутку знайдемо при заданих значеннях параметрів оптимальну кількість операторів , які обслуговують приладів в одиницю часу. З урахуванням доходу від роботи каналів обслуговування і роботи, яку виконують заявки, коли вини знаходяться у робочому стані, тобто знаходять поза системою обслуговування, і загальних витрат від непродуктивних простоїв і каналів обслуговування і заявок у черзі, критерій максимуму валового прибутку у загальному вигляді може бути таким:

(3.1)

де

кількість обслужених заявок, яка також дорівнює кількості зайнятих каналів обслуговування, тобто

середня кількість незайнятих каналів обслуговування;

кількість заявок поза системою обслуговування (кількість працюючих засобів виробництва тобто потенційних заявок на обслуговування у СМО);

середня кількість заявок у черзі;

економічні втрати від простою каналів обслуговування, які приходяться на 1 канал в одиницю часу;

економічні втрати, пов’язані з одиницею часу, проведеному засобом виробництва у неробочому стані (це час чекання заявки у черзі на обслуговування плюс час обслуговування);

прибуток від обслуговування однієї заявки;

прибуток, який приносить засіб ви рибництва у робочому стані (який є потенційною заявкою на обслуговування у СМО).

Алгоритм розв’язання задачі оптимізації у даній постановці зводиться до обчислення ймовірностей станів СМО, визначенню точки екстремуму цільової функції (максимального значення критерію) і обчисленню функціональних характеристик СМО при знайденому Знаходження оптимуму критерію здійснюється за перебірним алгоритмом для послідовності значень , в результаті чого знаходимо , при якому досягається максимальне значення критерію . Оскільки величини постійні і додатні, то функція буде опуклою, отже існує єдине значення , при якому досягає екстремуму.

Розглянемо СМО з такими значеннями вхідних параметрів: інтенсивність заявок на обслуговування від кожного приладу інтенсивність обслуговування приладу одним оператором – приладів на годину. Приведена інтенсивність потоку заявок (кількість заявок, яка приходиться на час обслуговування однієї заявки) ρ=1/5=0,2 в годину. Прибуток оператора від обслуговування однієї заявки грн., прибуток від роботи одного приладу грн. Втрати від простою одного оператора грн., втрати від простою одного приладу грн.

Знайдемо оптимальну кількість операторів m, при яких загальний валовий прибуток системи обслуговування буде максимальний – .

Розв’язання. Дана СМО є замкнутою. Імовірності її станів визначаються за програмою Smo_4. Пошук точки екстремуму , при якій цільова функція набуває максимального значення здійснюємо за програмою Optim_1, яка реалізує перебірний алгоритм пошуку екстремуму функції дискретного аргументу. Зауважимо, що у цій програмі, як і у інших, у яких реалізуються перебірні алгоритми, діапазон зміни параметра оптимізації задається довільно, але так, щоб шукане оптимальне значення параметра приблизно попадало на середину цього діапазону. У даному випадку доцільно узяти проміжок зміни параметра m від 1 до n.

Результати роботи програми Optim_1:

вектор значень цільової функції;

максимальне значення

оптимальне значення числа каналів обслуговування.

Програма оптимізації Optim_1.

Алгоритм у Mathcad

Параметри СМО:

1. Показники прибутку і втрат:

2. Виклик програми Optim_1 (у цій програмі викликається підпрограма Smo_4):

3. Виведення масиву значень цільової функції F(m), оптимального значення кількості каналів обслуговування і максимального значення цільової функції

4. Побудова графіка цільової функції для

Рис 3.1. Графік цільової функції F(m)

Операційні характеристики СМО:

1. Кількість зайнятих операторів в одиницю часу (а також кількість обслужених заявок)

2. Кількість незайнятих операторів (операторів, які простоюють)

3. Кількість заявок у системі обслуговування (кількість заявок на обслуговуванні і у черзі)

4. Кількість заявок поза системою (кількість працюючих заявок)

5. Абсолютна пропускна здатність системи (кількість заявок, яку може обслужити система)

6. Коефіцієнти простою приладів і операторів

Завдання для лабораторної роботи № 1

СМО має m каналів обслуговування, які обслуговують n приладів. Інтенсивність заявок на обслуговування від кожного приладу дорівнює одиниць, інтенсивність обслуговування приладу одним каналом – одиниць на годину. Приведена інтенсивність потоку заявок (кількість заявок, яка приходиться на час обслуговування однієї заявки) в годину.

Функціонування СМО пов’язано з двома видами прибутку:

– прибуток СМО від обслуговування однієї заявки;

– прибуток від роботи засобу виробництва, який знаходиться у робочому стані, тобто прибуток від роботи потенційних заявок у СМО, які у даному випадку не проходять обслуговування у СМО.

СМО також несе економічні втрати від простою як каналів обслуговування так і засобів виробництва:

– втрати, пов’язані з одиницею часу простою каналу обслуговування;

– втрати, пов’язані з одиницею часу, проведеному засобом виробництва у неробочому стані (це час чекання заявки у черзі на обслуговування плюс час обслуговування).

За критерій ефективності роботи СМО приймемо її годинний прибуток

Визначити:

Ÿ оптимальну кількість каналів обслуговування при яких загальний валовий прибуток системи обслуговування буде максимальний – ;

Ÿ функціональні характеристики оптимальної СМО;

Значення вартісних показників: .

Варіант 2

Рис 3.2. Графік цільових функцій для двох

варіантів вхідних даних

Проаналізуємо функціональні характеристики СМО за першим варіантом вхідних даних, коли АЗС має 4 заправних колонки.

1. . Це означає, що у АЗС практично весь час на заправці або на майданчику для чекання знаходяться автомобілі (час їх відсутності складає менше 0,5% часу роботи АЗС) тобто АЗС практично весь час зайнята.

2. . Це свідчить, що майже 5,5% усіх прибуваючих на АЗС автомобілів, одержують відмову і змушені шукати іншу АЗС, щоб заправитись пальним.

3. означає, що кількість автомобілів, яку здатна обслужити АЗС, складає 56,7 одиниць із 60.

4. означає, що майже усі 4 колонки постійно зайняті.

5. означає, що в середньому 66% (6,6 / 10) 100) місць для чекання зайняті.

6. Значення свідчать, що через чекання у черзі на заправку і перебування автомобіля на АЗС, витрачається досить помітний час.

Таким чином, аналізуючи ймовірнісні характеристики роботи АЗС, можна зробити висновок, що її режим роботи не досить інтенсивний і вона вчасно не справляється з обслуговуванням майже 5,5% прибуваючих на заправку автомобілів.

Приклад 3. 3 . Розглянемо службу замовлень таксі по телефону. Замовлення приймають декілька операторів. Якщо усі вони зайняті, клієнт одержує відмову в обслуговуванні і звертається у конкуруючу фірму (у припущенні, що така є).

Нехай середній час оформлення одного замовлення складає 2 хв., а середня кількість звернень у службу замовлень дорівнює 60 замовленням на годину.

Приймемо такі економічні показники роботи служби замовлень: час роботи годин; вартість роботи одного оператора у годину складає 10 грн.; втрата прибутку від відмови в обслуговуванні одного клієнта дорівнює 20 грн.

Визначимо оптимальну кількість операторів за критерієм мінімуму втрат з урахуванням втрат від простоювання каналів обслуговування і втрат від відмов в обслуговуванні (втрат очікуваного прибутку).

Розв'язання. Розглядувана система відноситься до СМО з відмовами. Але зважаючи на те, що практично клієнти деякий час повторюють свої замовлення, то можна вважати, що дана СМО не є чисто СМО з відмовами. Будемо розглядати її як СМО з обмеженим часом чекання. Таким чином, кількість втрачених заявок буде залежати як від кількості каналів обслуговування, так і від часу чекання початку обслуговування. Покладемо час чекання Максимальну довжину черги, яка утворюється у результаті чекання у черзі, позначимо через r.

Розрахунки ймовірностей станів СМО проводимо по програмі Smo_3. Оптимізацію кількості каналів обслуговування (операторів) без врахування втрат від чекання клієнтів здійснюємо по програмі Optim _2 за критерієм

, (3.3)

де – кількість незайнятих операторів (каналів обслуговування, які простоюють); – кількість заявок, які покидають чергу.

Алгоритм у Mathcad

Параметри СМО:

С₁ := 10 C₃ := 20 t := 18

Результати програми Smo_3(n, ρ, β):

1.Імовірності станів СМО для оптимальної кількості операторів:

2. Максимальна довжина черги:

Приймемо максимально можливу кількість операторів і знайдемо їх оптимальну кількість застосовуючи перебірний алгоритм оптимізації, у якому їх можлива кількість

Графік цільової функції для кількості операторів

Рис 3.2. Графік цільової функції

Завдання для лабораторної роботи № 2

У перукарні для обслуговування клієнтів є 4 крісла. В середньому до перукарні надходить клієнтів у годину. Потік надходжень клієнтів пуассонівський. Тривалість обслуговування одного клієнта – експоненціально розподілена випадкова величина із середнім значенням хв.

У холі перукарні є 5 крісел для чекання клієнтів. Якщо усі крісла зайняті, то прибувший у перукарню клієнт не затримується і покидає її не обслуженим.

У залі обслуговування та чекання є вільні площі, на яких відповідно можна встановити крісел для обслуговування клієнтів, або крісел для чекання.

Вартісні показники роботи перукарні як СМО з чеканням характеризуються такими параметрами:

витрати, пов’язані з обслуговуванням одного клієнта (каналу обслуговування);

втрати, пов’язані з чеканням одного клієнта у черзі;

доход від обслуговування одного клієнта.

Визначити:

Ÿ функціональні характеристики СМО;

Ÿ розрахувати економічну ефективність СМО за критерієм мінімуму витрат.

Ÿ проаналізувати обидва варіанти реконструкції перукарні і дати їх економічну оцінку за критерієм мінімуму економічних втрат з урахуванням відмов від обслуговування.

Значення вартісних показників: грн., грн., грн. Час роботи перукарні годин.

Контрольні запитання

1. Із яких елементів процесів обслуговування у СМО складаються вартісні показники їх ефективності.

2. Які економічні критерії характеризують ефективність СМО.

3. Якими параметрами можна впливати на економічну ефективність СМО.

4. За яким критерієм можна оптимізувати інтенсивність обслуговування у СМО.

5. Які аналітичні властивості повинні мати функції, що виражають критерії економічної ефективності СМО

6. Навести критерій оптимізації СМО з чергою і дати характеристику його складових.

7. Навести критерій мінімуму економічних втрат від відмов в обслуговуванні і дати характеристику його складових.

8. Навести приклад застосування замкнутої моделі СМО для оптимізації транспортних систем і дати характеристику критерія оптимізації.

9. Навести критерій оптимізації СМО в залежності від її структури (від кількості робочих одиниць основного виробництва і обслуговуючих сервісів).

10. Навести приклади застосування моделей оптимізації СМО у транспортних системах.

11. Навести критерії оптимізації параметрів СМО, яка описує процес сумісної роботи транспортних і навантажувально-розвантажувальних засобів.

12. Якими вартісними показниками визначається математичне сподівання прибутку у моделі оптимізації структури СМО.

13. Який вигляд має вираз критерію оптимізації структури СМО в залежності від розподілу ймовірностей її станів.

Замкнуті системи масового обслуговування 5

Математична модель. СМО називається замкнутою, якщо вона має обмежену кількість клієнтів. Розглянемо замкнуту СМО, яка має m каналів обслуговування (сервісів), які обслуговують групу із n клієнтів (m < n). Інтенсивність потоку заявок на обслуговування від кожного клієнта дорівнює l. Якщо клієнт, подав заявку на обслуговування і у цей момент є вільний канал, він приступає до обслуговування клієнта. На це витрачається час де – інтенсивність потоку обслуговувань. Якщо в момент прибуття клієнта усі канали зайняті, клієнт стає у чергу і чекає, поки не звільниться який-небудь канал.

Припускається, що проміжки часу між моментами надходженнями клієнтів у систему обслуговування і тривалості обслуговування розподілені за експоненціальними законами відповідно з параметрами λ і μ, тобто вхідний і вихідний потоки є пуассонівськими.

Треба визначити імовірності станів даної системи та її операційні характеристики.

Система, яка має m каналів обслуговування і джерелом заявок є n клієнтів, має стани, які нумеруються за кількістю поданих заявок k. Очевидно, що вона може знаходитись у станах S₀, S₁, ..., S_n. Параметри СМО:

Діаграма інтенсивностей переходів замкнутої СМО показана на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Діаграма інтенсивностей переходів системи

Із діаграми видно, що із стану у стан систему переводить потік заявок від усіх клієнтів, його інтенсивність дорівнює Із стану у стан систему переводить потік заявок від клієнтів (один клієнт вже обслуговується) і т. д. Інтенсивності потоків подій, які переводять систему справа уліво залежать від кількості заявок, які обслуговуються у даний момент і дорівнюють . Застосовуючи методику виведення рівнянь для ймовірностей станів системи у стаціонарному режимі при одержимо систему різницевих алгебраїчних рівнянь

(2.13)

Із цієї системи знаходимо граничні імовірності станів даної СМО. Вводячи приведену інтенсивність обслуговування , одержимо такі формули:

(2.14)

де

, (2.15)

Із цих формул можна одержати рекурентні формули для ймовірностей станів у вигляді:

(2.16)

У ці формули входить невідоме значення p₀. Воно обчислюється за наступним алгоритмом. Позначимо у наведених формулах і покладемо спочатку . Обчислимо q_k(k=1,...,n) за цими формулами, а також суму

Використовуючи умову нормування ймовірностей, запишемо

Звідкіля знаходимо величину . Помноживши тепер на , знаходимо шукані величини

Операційні характеристики СМО :

Операційні характеристики замкнутої СМО будуть відмінні від тих, які ми застосовували раніш для СМО з необмеженою кількістю джерел заявок. Так роль абсолютної пропускної спроможності у даному випадку буде відігравати середня кількість клієнтів, що обслуговується в одинцю часу. Відносна пропускна здатність у даному випадку не обчислюється, оскільки кожна заявка, у кінці кінців, буде обслужена. Отже будемо мати такі характеристики:

1. Середнє число зайнятих каналів обслуговування

2. Середнє число незайнятих каналів обслуговування

або

3. Середнє кількість заявок, які знаходяться на обслуговуванні

4. Середня кількість заявок у системі (заявок, які знаходяться на обслуговуванні і у черзі)

або .

5. Середнє число заявок у черзі

Між вказаними величинами існують співвідношення

6. Середнє число заявок, які знаходяться поза системою

або

7. Абсолютна пропускна здатність (середнє число заявок, які обслуговуються в одиницю часу

8. Середній час знаходження заявки у системі:

Ця формула випливає із співвідношення

9. Середній час чекання заявки у черзі

або

де де – ефективна інтенсивність вхідного потоку, яка одержується, якщо врахувати, що у стаціонарному режимі параметр потоку дорівнює не , а

Він одержується із рівності

де .

Із формули для можна одержати також середню кількість заявок у вигляді

10. Коефіцієнт простою заявок у черзі

11. Коефіцієнт простою каналу:

12 .Імовірність того, що заявка у будь-який момент часу буде знаходитись поза системою обслуговування

або

де – середня кількість заявок, які знаходяться у системі, – середній час знаходження заявки поза системою.

Величину називають також коефіцієнтом оперативного використання каналів обслуговування.

Програма Smo_4. Замкнута СМО

Вхідні дані:

n – кількість каналів обслуговування;

m – кількість місць у черзі;

– інтенсивність вхідного потоку;

– інтенсивність обслуговування;

ρ – приведена інтенсивність (ρ=λ/μ).

Виклик програми:

Результат:

p = < вектор-стовпець ймовірностей станів СМО>.

Приклад 2.7. Обслуговування 8 автомобілів автотранспортної фірми доручено 2 механікам. Приведена інтенсивність обслуговування Отже, маємо замкнуту СМО з такими параметрами:

n=8, m=2, r = 0,2.

Розв'язання. Обчислення ймовірностей станів СМО здійснюються за програмою Smo_4. Результати обчислень імовірностей станів і її функціональні характеристики подані у таблицях 2.5 і 2.6..

Алгоритм у Mathcad

Вхідні параметри

Результати програми – вектор ймовірностей станів СМО

p:=Smo_4(n, m, ρ)

Операційні характеристики СМО :

1. Середня кількість зайнятих механіків

2. Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість автомобілів, які обслуговуються в одиницю часу

3. Середня кількість не зайнятих механіків

5. Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговування

6. Середня кількість працюючих автомобілів (кількість автомобілів поза системою обслуговування)

7. Середній час чекання автомобілів у черзі

8. Середній час знаходження автомобілів у системі обслуговування (час обслуговування + час у черзі)

9. Коефіцієнти простою автомобілів і механіків

Таблиця 2.5. Імовірності станів СМО p_k для n = 8, m =2, r =02.

Число непрацюючих автомобілів k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число автомобілів у черзі	0	0	0	1	2	3	4	5	6
Число незайнятих механіків	2	1	0	0	0	0	0	0	0
Імовірності станів p_k	0,204	0,33	0,23	0,14	0,07	0,03	0,01	0,0	0,0

Таблиця 2.6. Операційні характеристики СМО

Характеристика	Позначення	Значення
Число робітників Число станків Число станків на 1 робітника Абсолютна пропускна здатність Середнє число зайнятих робітників Середнє число непрацюючих станків Середня кількість станків у черзі Коефіцієнт простою робітників Коефіцієнт простою станків	m n – А	2 8 4 5,07 1,27 1,67 0,4 0,37 0,05

Розв'язання. Імовірності станів СМО знайдемо по програмі Smo_4.

Вхідні параметри

Одержуємо такі імовірності станів СМО:

p:=Smo_4(n, m, ρ)

p^T = (0.346 0.346 0.231 0.077)

Операційні характеристики СМО :

1. Середня зайнятість навантажувача

2. Середнє число не зайнятих навантажувачів

4.Середнє число автомобілів у черзі на обслуговування

5. Середнє число працюючих автомобілів

6. Абсолютна пропускна здатність системи (середнє число автомобілів, які обслуговуються в одиницю часу

7. Середній час чекання автомобіля у черзі

8. Середній час знаходження автомобіля у системі

9. Коефіцієнт простою автомобілів

10. Коефіцієнт простою навантажувача

Визначимо основні операційні характеристики даної СМО.

Алгоритм у Mathcad

Вхідні параметри моделі

Імовірностей станів

Операційні характеристики СМО :

1. Середнє число зайнятих каналів

2. Відносна і абсолютна пропускні спроможності

3. Коефіцієнт простою автомобілів

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 270; Нарушение авторского права страницы