Некоторые понятия матричной алгебры

 

Пусть  – вектор -мерного пространства,  – матрица порядка .

Одним из важных понятий матричной алгебры является понятие нормы векторов и матриц.

Нормой вектора  называется действительное число, обозначаемое , удовлетворяющее условиям:

1) , если  и ;

2) , при любом численном множителе ;

3) .

Из такого определения нормы вектора непосредственно следует, что .

Говорят, что последовательность векторов  сходится к вектору  по норме, если  при .

Вводить норму вектора можно различными способами, но при этом должны выполняться условия 1) – 3) определения нормы.

Наиболее часто используются следующие определения нормы вектора.

1. Первая (кубическая) норма:

.                      (7.6.1)

Множество векторов вещественного пространства, для которых  заполняет единичный куб.

2. Вторая (октаэдрическая) норма:

.                             (7.6.2)

Множество векторов вещественного пространства, для которых , заполняет -мерный аналог октаэдра (восьмиугольника).

3. Третья (сферическая или евклидова) норма:

.      (7.6.3)

Это длина вектора. Совокупность векторов, для которых , заполняет шар единичного радиуса.

Скалярное произведение векторов  и  вводится по формуле:

,

где  – компоненты вектора, комплексно сопряженного вектору .

Норма вектора может быть определена многими способами в зависимости от условий задачи и целей исследования, но при всяком определении она должна удовлетворять трем условиям, которые являются аксиомами общей или абстрактной нормы.

Нормой матрицы  называют число , удовлетворяющее условиям:

1) , если  и ;

2)  для всякого числового множителя ;

3) ;

4) .

Для нормы матрицы верно неравенство:

.

В большинстве случаев приходится одновременно рассматривать матрицы и векторы, потому их нормы рационально вводить так, чтобы они были в какой-то мере согласованными. Обычно говорят, что норма матрицы  согласована с нормой вектора, если для всякого вектора  размерности  выполняется неравенство:

.                                 (7.6.4)

Среди согласованных норм матрицы часто (особенно при получении оценок, чтобы сделать их точными) выбирают наименьшую. Так как случай нулевого вектора интереса не имеет, то неравенство (7.6.4) можно записать в виде , где , т.е. .

Последнее означает, что согласованная норма матрицы должна быть верхней границей норм векторов , при условии, что . Наименьшей согласованной нормой будет точная верхняя граница множества значений  при , т.е.

.                       (7.6.5)

Эта норма называется нормой матрицы, подчиненной норме вектора.

Наиболее распространенными подчиненными нормами матриц являются следующие определения норм матриц.

1. Первая (кубическая) норма:

.                     (7.6.6)

2. Вторая (октаэдрическая) норма:

.                   (7.6.7)

3. Третья (сферическая или евклидова) норма:

,              (7.6.8)

где  – наибольшее по модулю собственное значение матрицы , где – матрица, сопряженная .

Важным понятием матричной алгебры является понятие собственного значения матрицы. Собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы  называется такое число , что для некоторого ненулевого вектора  имеет место равенство:

.                               (7.6.9)

Любой ненулевой вектор , удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы , соответствующим (или принадлежащим) собственному значению . Все собственные векторы матриц определены с точностью до числового множителя.

Перепишим систему (7.6.9) в виде:

,                      (7.6.10)

где  – единичная матрица соответствующей размерности.

Условием существования для однородной системы ненулевого решения является равенство нулю ее определителя, т.е.

. (7.6.11)

Это уравнение обычно называют вековым или характеристическим уравнением матрицы .

Левая часть векового уравнения

  (7.6.12)

называется характеристическим многочленом матрицы . Многочлен

,         (7.6.13)

отличающийся от характеристического множителем , называется собственным многочленом матрицы . Собственные значения матрицы являются корнями собственного многочлена. Совокупность всех собственных значений  матрицы , где каждое собственное значение выписано столько раз, какова его кратность как корня собственного многочлена, называется спектром матрицы . Собственными векторами  матрицы  являются нетривиальные решения однородной системы (7.6.10), в которой вместо  подставлены собственные значения , .

Нахождение всех собственных значений и соответствующих собственных векторов матрицы называется решением полной проблемы собственных значений, нахождение части собственных значений (чаще всего это максимальное по модулю собственное значение) называется частичной проблемой собственных значений.

Полезно знать следующие соотношения между элементами матрицы А и ее собственными значениями:

,               (7.6.14)

,                         (7.6.15)

где  (или ) обозначает след матрицы, который равен сумме ее диагональных элементов. Из (7.6.15), в частности, следует, что матрица  имеет хотя бы одно собственное значение, равное нулю, если определитель этой матрицы равен нулю, т.е. если она особенная.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: