Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Модуль 3: Линейные операторы
29. Линейные отображения, матрицы, замена базисов, инвариантность ранга. 30. . 31. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Ранг и определитель линейного оператора. 32. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм для линейного пространства над полем размерности , . 33. Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств. 34. Докажите, что определение характеристического многочлена корректно, то есть не зависит от выбора базиса. 35. Собственные векторы и значения. Число является собственным для линейного оператора тогда и только тогда, когда - корень характеристического многочлена. 36. Любой линейный оператор над полем действительных чисел обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством. 37. Собственные подпространства. Если - кратность собственного значения линейного оператора , то . 38. Докажите, что система собственных векторов линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям, линейно независима. 39. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора. 40. Пусть - линейный оператор конечномерного линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда существует базис, в котором матрица линейного оператора треугольна. 41. Теорема Гамильтона — Кэли. 42. Минимальный многочлен и его свойства. 43. Линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней. 44. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены. Жорданов базис. 45. Пусть — линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда в имеется жорданов базис для . 46. Единственность жордановой нормальной формы. 47. Пусть - линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда распадается в прямую сумму корневых подпространств, соответствующих всем (различным) собственным значениям оператора . 48. Значение многочлена от жордановой клетки. Вычисление функции от матрицы (без доказательства). 49. Связь между линейным оператором и билинейной функцией в евклидовом пространстве. 50. В евклидовом пространстве любому линейному оператору отвечает сопряженный оператор и притом только один. Связь операции перехода от оператора к сопряженному оператору с операциями сложения и умножения линейных операторов. 51. Матрица симметрического и ортогонального оператора в ортонормированном базисе. 52. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный или симметрический линейный оператор линейного пространства , - -инвариантное подпространство, - ортогональное дополнение к . Тогда - -инвариантное подпространство. 53. Канонический вид симметрического оператора евклидова пространства. 54. Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства. 55. Приведение квадратичной формы к главным осям в евклидовом пространстве. 56. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. 57. Полярное разложение невырожденного линейного оператора евклидова пространства. 58. Приведение эрмитова и унитарного оператора к каноническому виду в унитарном пространстве. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 228; Нарушение авторского права страницы