Раздел «Линейная алгебра»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Раздел «Линейная алгебра»

Электронное учебно-методическое пособие

для студентов 1 курса экономического факультета

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра высшей математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Раздел «Линейная алгебра»

Электронное учебно-методическое пособие

для студентов 1 курса экономического факультета

Кемерово 2009

Составитель: старший преподаватель Айнетдинова Л.Н.

Высшая математика. Раздел «Линейная алгебра». Электронное учебно-методическое пособие для студентов 1 курса экономического факультета./ сост. Л.Н. Айнетдинова; ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». – Кемерово, 2009. – 58 с.

Электронное учебно-методическое пособие написано по курсу Высшая математика. Раздел «Линейная алгебра» для студентов 1 курса экономического факультета в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.

Учебно-методическое пособие содержит вопросы, которые необходимо знать для изучения предложенной темы практического занятия, разработаны примеры задач, приведены задачи для работы в аудитории и для самостоятельной работы.

Рекомендовано методической комиссией математического факультета «____» ________________ 2009 г. Председатель методической комиссии факультета _______________ В.А. Шалаумов

Рекомендовано к утверждению на заседании кафедры высшей математики  «____» ________________ 2009 г. Заведующий кафедрой _____________ С.П. Брабандер

 

Содержание

СодержаниеВведение. 4

Введение. 5

Тема 1. 6

Матрицы.. 6

Примеры решения задач. 6

Тема 2. 10

Свойства определителей. 10

Примеры решения задач. 10

Тема 3. 14

Обратная матрица. Матричные уравнения. 14

Примеры решения задач. 14

Тема 4. 17

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 17

Примеры решения задач. 17

Тема 5. 21

Ранг матрицы СЛАУ. 21

Примеры решения задач. 21

Тема 6. 25

Однородная система линейных уравнений. ФСР. 25

Примеры решения задач. 25

Тема 7. 28

Линейная зависимость векторов. 28

Базис и размерность линейного пространства. 28

Примеры решения задач. 29

Тема 8. 35

Линейные операторы. 35

Тема 9. 37

Квадратичные формы. 37

Тема 10. 39

Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи. 39

Тема 11. 41

Кривые второго порядка. 41

Тема 12. 44

Прямая и плоскость в пространстве. 44

Тема 13. 46

Векторная алгебра. 46

Справочные материалы.. 48

ГЛОССАРИЙ.. 50

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ.. 54

Литература. 58

Введение

Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» разработано в соответствии с типовой учебной программой и преследует собой – устранить недостаточность и разрозненность задачников по данному курсу.

Данное пособие предназначено для изучения следующих разделов курса: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия».

К каждой теме приведены вопросы, которые необходимо знать для изучения предложенной темы. Представлены примеры для решения студентами, как на практических занятиях, так и для выполнения домашних заданий. В конце пособия приведен глоссарий к разделу «Линейная алгебра» и справочный материал по теме «Векторная алгебра».

Тема 1

Матрицы

I. Контрольные вопросы.

1. Что называется матрицей?

2. Что понимается под операцией транспонирования матрицы? Существует ли транспонированная матрица для матрицы ?

3. Свойства операции транспонирования матриц

4. Записать в развернутом виде матрицу

5. Можно ли сложить две матрицы с размерами

6. Как перемножаются матрицы? Можно ли умножить матрицу с размерами  на матрицу с такими же размерами.

7. Как связаны между собой минор и алгебраическое дополнение элемента ? Запишите минор и алгебраическое дополнение элемента .

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить произведение матриц .

Решение. Перемножим матрицы, умножая элементы каждой строки на соответствующие элементы каждого столбца.

Пример 2. Доказать, что матрица  удовлетворяет уравнению

Решение. Подставим матрицу  в исходное уравнение

Следовательно, матрица  является корнем матричного уравнения .

II. Задания

1. Даны матрицы . Вычислите

2. Найти значение многочлена  от матрицы :

3. Как изменится произведение  матриц , если:

а) переставить -ю и -ю строки ;

б) к -й строке матрицы  прибавить -ую строку, умноженную на число ;

в) переставить -й и -й столбцы матрицы ;

г) к -му столбцу матрицы  прибавить -й столбец, умноженный на число .

4. Найдите те из произведений матриц , которые существуют:

5. Вычислить , где

6. Какие из следующих операций можно провести с матрицами А, В?

7. Является ли матрица  корнем уравнения

Тема 2

Свойства определителей

I. Контрольные вопросы.

1. Что значить разложить определитель по элементам строки (столбца).

2. Запишите схематично «правило треугольника».

3. Запишите теорему Лапласа.

4. Сформулируйте свойства определителя и на примере определителя 3-го порядка, написанного в общем виде докажите их.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислит величину определителя .

Решение. Рассмотрим три способа нахождения величины определителя.

1 способ основан на разложении определителя (теорема Лапласа), например, по первой строке.

.

2 способ использует правило треугольников (правило Саррюса).

3 способ основан на приведении определителя к треугольному виду. Определитель же треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

Последний способ прекрасно работает с большими определителями.

II. Задания.

1. Вычислите определители 2-го порядка

2. Вычислите определитель 3-го порядка

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Используя свойства определителя доказать следующие тождества (определители не развертывать):

6. Вычислить следующие определители используя свойства

7. Вычислить определители; получив максимальное число нулей в строке или столбце:

8. Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями .

9. Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями

10. Найти значение параметра С, при котором величина определителя матрицы  станет равной .

Тема 3

Примеры решения задач

Пример 1. Для матрицы  найти обратную .

Решение. Метод присоединенной матрицы. Найдем определитель матрицы . Транспонируем матрицу А.  .

Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам транспонированной. Например,  и так далее. Тогда  обратная матрице вычисляется по такой формуле: .

Пример 2. Решить матричное уравнение, считая все матрицы, участвующие в преобразованиях, невырожденными. .

Решение. Воспользуемся свойствами транспонированной и обратной матриц: Вынесем матрицу  за скобки и умножим уравнение слева на матрицу . . Таким образом, решением матричного уравнения является матрица .

II. Задания.

1. При каких значениях  матрица  не имеет обратной

2. Найти

3. Решить матричные уравнения

4. Вычислить значение  при

5. Решить систему матричных уравнений

6. Решить матричные уравнения

 

Тема 4

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему линейных уравнений .

1. Методом Гаусса

2. С помощью обратной матрицы

3. Методом Крамера

Решение.

1. Методом Гаусса образуем расширенную матрицу и приведем её к треугольному виду:

Получим систему:

Итак, решением системы уравнений является тройка чисел

2. С помощью обратной матрицы. Представим систему уравнений в виде матричного уравнения

Решение матричного уравнения имеет вид . Вычислим определитель матрицы А

 и найдем обратную . Перемножив  получим значения неизвестных

3. Методом Крамера. Найдем главный определитель и определители матрицы коэффициентов, у которой один из столбцов заменен на столбец свободных членов. Неизвестные находятся по формуле Крамера:

 

II. Задания.

1. Решите по формулам Крамера и методом обратной матрицы,

 

2. Решите методом Гаусса.

Тема 5

Ранг матрицы СЛАУ.

I. Контрольные вопросы.

1. Какая система линейных уравнений называется совместной?

2. При каких условиях система  линейных уравнений с  неизвестными совместна?

3. Теорема Кронекера-Капелли.

4. Когда система n-линейных уравнений имеет единственное решение?

5. Как определить число базисных и свободных переменных?

6. Как найти частное решение неоднородной системы линейных уравнений?

7. Как найти все множество решений неоднородной системы линейных уравнений?

8. Что такое ранг матрицы?

9. При каких преобразованиях матрицы не меняется ее ранг?

Примеры решения задач

Пример 1. Найти ранг матрицы системы и решить систему

.

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы

Минор в квадратных скобках, составленный из коэффициентов при переменных , отличны от нуля. Ранг матрицы коэффициентов равен трем, ранг расширенной матрицы – также трем. Следовательно, по теореме Кронекера – Капели система имеет решения. Положим переменные  основными, переменные  - свободными. Тогда получим систему

Решая её получим .

II. Задания.

1. Найти ранг матрицы

2. Что можно сказать о решении СЛАУ если:

3. Исследовать систему на совместность и решить ее, если она совместна.

Тема 6

Примеры решения задач

Пример 1. Найти какие-либо фундаментальные решения системы уравнений: .

Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

.

Приведем её у диагональному виду: . Угловой минор 3-го порядка не равен нулю. Ранг матрицы равен трем. Пусть  являются основными,  - свободными. Тогда из полученной матрицы следует решение системы в виде:

Это решение удобно записать в следующем виде:

Общее решение однородной системы уравнений теперь можно записать так:

Два столбца элементов  есть по определению фундаментальные решения системы.

II. Задания.

Тема 7

Примеры решения задач

Пример 1. Являются ли векторы  линейно зависимыми? Если да, найти связь между векторами.

Решение. Составим матрицу из координат векторов, расположив, например, их в виде строк, и найдем её ранг .

Из трех строк только две являются линейно независимыми. Следовательно, векторы линейно зависимы. Найдем связь между ними. Запишем линейную комбинацию .

Решим систему по методу Гаусса . Отсюда следует  связь между векторами можно записать, положив, например, .

Пример 2. Пусть в некотором старом базисе заданы векторы . Показать, что векторы  составляют новый базис. Разложить вектор  по этому базису.

Решение. Векторы  могут составить базис в трехмерном векторном пространстве, если они линейно независимы. Составить из координат этих векторов матрицу и найдя её ранг, убедимся, что он равен 3. Тогда векторы  линейно независимы. Пусть вектор  имеет координаты  в новом базисе, составленном из векторов . Тогда. В матричной форме . Найдем переменные по методу Гаусса, используя расширенную матрицу . Отсюда .

II. Задания.

1. Найти линейную комбинацию векторов.

2. Выяснить вопрос о линейной зависимости векторов:

v

1) Составить нулевую линейную комбинацию из заданных векторов с неизвестным коэффициентом .

2) Записать покоординатные равенства в систему.

3) Решить систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

4) Определить число ненулевых угловых коэффициентов в ступенчатой матрице, оно определяет число линейно независимых векторов в системе.

3. Является ли линейным пространством заданное множество, если множество – это множество всех векторов 3-х мерного пространства, координаты которых – целые числа, сложение векторов и умножение на число определены общепринятым способом: т.е. если

v

a) Выбрать два элемента  заданного множества, проверить выполнение закона коммутативности сложения

b)  Выбрать три элемента  множества проверить выполнение закона ассоциативности сложения

c) Найти в этом множестве нулевой элемент т.е.

В этом множестве таким элементом является вектор

d) Выбрать элемент  множества и найти противоположный ему элемент т.е  такой, что .

e) Проверить для числа 1 выполнение равенства

f) Для чисел  проверить выполнение равенства

g) Проверить для чисел  выполнение равенства

h) Для двух элементов множества  проверить выполнение равенства

4. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

v

a) Составить линейную комбинацию из заданных векторов с неизвестными коэффициентами

b) Приравнять линейную комбинацию нулевому вектору

c) Записать координатные равенства в систему

d) Решить систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов

e) Число ненулевых диагональных элементов в ступенчатой матрице определяет число линейно независимых векторов в системе.

В ступенчатой матрице 2 ненулевых диагональных элемента  система из трех векторов линейно зависимых.

5. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

6. Разложить вектор  по базису

7. Найти связь координат одного и того же вектора в различных базисах

8. Вектор  задан в базисе . Найти его координаты в базисе

Тема 8

Линейные операторы.

I. Контрольные вопросы.

1. Определение оператора.

Пусть каждому вектору  ставится в соответствие по определенному правилу вектор . Это правило называется отображением, или преобразованием, или оператором. Обозначение:

2. Какой оператор является линейным?

v

3. Запишите преобразование матрицы линейного оператора при переходе от старого базиса к новому

v - матрица перехода от старого к новому.

4. Собственные векторы и собственное значение линейного оператора.

v Вектор  называется собственным вектором оператора, если существует такое число , что .

v Число  называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору . Величина  есть корень характеристического уравнения .

II. Задания.

1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

2. Матрица  линейного оператора задана в старом базисе. Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе?

Тема 9

Квадратичные формы.

I. Контрольные вопросы.

1. Определение квадратичной формы

v Выражение вида  называется квадратичной формой переменных

2. Запишите квадратичную форму в матричном виде

v

3. В каком случае квадратичная форма называется канонической?

4. Критерии оценки знакоопределенности квадратичной формы

Название формы