Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи.

I. Контрольные вопросы.

1. Записать расстояние между двумя точками .

2. Как находятся координаты точки  делящей отрезок с концами  в отношении ?

3. Записать уравнение прямой:

§ с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b;

§ проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом k) через данную точку ;

§ проходящей через две данные точки ;

§ в отрезках;

§ общее.

4. Как находится расстояние от точки  до прямой ?

5. Задайте угол между прямыми .

6. Запишите условие параллельности и перпендикулярности прямых.

II. Задания.

1. Написать уравнение прямой линии на плоскости:

a. проходящей через произвольную точку ( a ; b ) под углом  к оси ординат;

b. проходящей через произвольную точку ( a ; b ) и на расстоянии d от начала координат;

c. пересекающей координатные оси в точках ( a ;0), (0; b ).

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых .

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно плоскостям .

6. Найти расстояние между парой параллельных плоскостей .

7. Вывести уравнение прямой образованной парой пересекающихся плоскостей (переход от общего уравнения прямой к параметрическому уравнению той же прямой).

8. Найти точку, симметричную  относительно плоскости .

9. Найти точки пересечения прямой  с координатами плоскости.

10. В какой точке прямая  пересекает плоскость ?

11. Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые .

Тема 11

Кривые второго порядка.

I. Контрольные вопросы.

1. Запишите общее уравнение кривых второго порядка.

2. Запишите канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

3. Как связаны параметры a , b , c у кривых второго порядка?

4. Что такое эксцентриситет кривых?

5. Свойство фокальных расстояний кривых второго порядка.

II. Задания.

1. Составить уравнение окружности, проходящей через точки .

Ответ:

 

2. Найти значение a, при котором окружность  касается прямой . Найти точку касания.

Ответ:

3. Определить эксцентриситет эллипса, если его большая ось втрое больше малой?

Ответ:

4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0,8. Найти расстояние между фокусами.

Ответ:

5. Эллипс проходит через точки. Составить уравнение эллипса и найти расстояние от точки  до фокусов.

Ответ:

6. Составить каноническое уравнение гиперболы . Найти координаты её фокусов и вершин, эксцентриситет и уравнение асимптот

7. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки .

Ответ:

8. Дан эллипс . Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Ответ:

9. Составить уравнение параболы и её директрисы, если известно, что парабола проходит через точки пересечения прямой  и окружности и симметрична относительно оси .

Ответ:

10. Уравнение  описывает окружность радиуса 5 с центром в точке (3;2). Определить все коэффициенты этого уравнения.

11. На гиперболе  найти точку, ближайшую к точке (3;0).

12. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в эллипс .

13. Записать уравнения касательных к эллипсу , параболе  и гиперболе  в произвольной точке касания .

14. Найти точки пересечения эллипса  и гиперболы .

Тема 12

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: