Тема 2.7 Устойчивость центрально сжатых стержней

Устойчивость сжатых стержней. Понятие об устойчивых и неустойчивых формах упругого равновесия. Критическая сила. Связь между критической и допускаемой нагрузками. Формула Эйлера при различных случаях опорных за­креплений. Критическое напряжение. Гибкость. Предел применимости форму­лы Эйлера; предельная гибкость. Эмпирические формулы для критических на­пряжений. График критических напряжений для низкоуглеродистой стали в функции от гибкости. Расчеты сжатых стержней по формуле Эйлера, по эмпи­рическим формулам, по коэффициенту продольного изгиба.

Методические указания

Практика эксплуатации конструкций показала, что в некоторых случаях выполненных расчетов на прочность и жесткость оказалось недостаточно для обеспечения необходимой работоспособности.

Несущая способность сжатого стержня может ока­заться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т. е. в результате выпучивания, которое проис­ходит раньше, чем стержень выйдет из строя непосред­ственно от сжатия. Из теоретической механики извест­но, что равновесие абсолютно твердого тела, неза­висимо от действующих на него сил, бывает устойчи­вым, безразличным и неустойчивым. Так же обстоит дело и в механике деформируемых тел, с той лишь разницей, что вид равновесия зависит от значения при­кладываемой нагрузки.

На рис. 49 изображена длинная тонкая стойка, на которую действует осевая сжимающая нагрузка. При сравнительно небольшом значении силы F стойка испы­тывает сжатие и находится в состоянии устойчивого равновесия, поскольку, получив малое отклонение от вер­тикали после какого-либо «возмущающего» толчка, она быстро возвращается в первоначальное положение (рис. 49, а).

По мере увеличения нагрузки стойка все медленнее возвращается в исходное положение после возмущения, и при некотором критическом значении F_cr наступает состояние как бы безразличного равновесия: после мало­
го отклонения от вертикального положения стойка приобретает равновесие и в отклоненном положении (штриховая линия на рис.49, б). Происходит бифур-­
кация (разветвление, раздвоение) равновесия, харак­теризующаяся «обменом» устойчивостью между двумя его формами: прямолинейная форма теряет устойчивость, а криволинейная еще не успевает ее приобрести. Новая, криволинейная, фор­ма равновесия теоретически ста­новится устойчивой при нагруз­ке, превышающей критическую (рис.49, в). Однако такое стояние неприемлемо практически, поскольку стоика ра­ботает уже не на сжатие, а на сжатие с изгибом, и даже при незначительном превышении нагрузкой крити­ческого значения возникают недопустимо большие проги­бы и напряжения. Следовательно, критическое состояние необходимо рассматривать как предельное состояние, устанавливаемое из условия устойчивости первоначаль­ного равновесного положения сжатого стержня.

Изгиб, связанный с потерей устойчивости прямоли­нейной формы равновесия, называется продольным, так как его вызывает продольная нагрузка. Наибольшее значение осевой сжимающей силы, до которого сохра­няется устойчивость прямолинейной формы равновесия стержня, т. е. невозможен продольный изгиб, назы­вается критическим.

Итак, несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум причинам: 1) вследствие поте­ри прочности, если в стержне из пластичного материала не выполняется условие , а в стержне из хрупкого материала — условие ; 2) вследствие по­тери устойчивости, если в стержне из любого
материала не выполняется условие

Вводя обозначение ;  

и принимая за расчетное сопротивление R по-прежне­му наименьший предел текучести пластичного материала и наименьший предел прочности хрупкого (см. § 11), ус­ловие устойчивости можно записать в следующем развер­нутом виде:

где N — продольная сила от расчетной сжимающей нагрузки, Н; А — площадь поперечного сечения стержня брутто, м²;  — коэффициент, уменьшающий расчетное сопротивление сжатию R до значения, которое гаранти­рует устойчивость прямолинейной формы равновесия, и называемый коэффициентом продольного изгиба; — коэффициент условий работы.

Коэффициент  для конкретного материала можно вычислять по формулам, подставляя в них зна­чения критического напряжения. Од­нако в целях облегчения практических расчетов в строи­тельных нормах приводятся готовые выражения или таблицы коэффициентов  в зависимости от гибкости . Согласно главе СНиП [13] для деревянных элементов гибкостью

Метод расчет инженерных конструкций: Метод предельных состояний

         Недостатки расчета по методу допускаемых напряжений:

1) устанавливается единый коэффициент запаса только на прочностные характеристики материала;

2) не учитывается характер изменчивости внешних нагрузок (например принимается, что нагрузка от собственного веса и веса снега изменятся одинаково В действительности нагрузка от снега изменяется в широком диапазоне для одного и того же климатического региона, а от веса конструкции не значительно.)

3) не учитываются разные условия эксплуатации (например: жилого дома и мартеновского цеха) и продолжительность срока службы сооружения.

С 1955 г. В нашей стране перешли на расчет строительных конструкций по методу предельных состояний, а расчет по методу допускаемых напряжений используется в машиностроении. В разработке нового метода расчета принимали участие известные ученые А.А. Гвоздев, И.И. Гальденблат, Н.С. Стрелецкий, ведущие НИИ; Проект стальконструкция, Промстройпроект, ЦНИИСК и др.

В строительных нормах и правилах предельные состояния разделены на две группы

Первая группа – по несущей способности (вследствие разрушения) или непригодности в эксплуатации  (вследствие текучести материала, сдвигов в соединении и т.д.)

Вторая группа – по непригодности к нормальной (без ограничений) эксплуатации (вследствие недопустимых перемещений, колебаний, трещин).

Расчет по методу предельных состояний должен гарантировать, сто за время эксплуатации сооружения не наступит ни одно из предельных состояний.

При расчете по предельным состояниям устанавливается два значения нагрузок; нормативные и расчетные. Основной характеристикой нагрузок и воздействий являются их нормативные величины от веса конструкций, технологического оборудования, людей и т.д.; от атмосферных воздействий, от вращающихся неуравновешенных частей машин и т.п. Расчетная нагрузка определяется умножением нормативной нагрузки на коэффициент перегрузки

Коэффициент перегрузки п учитывает возможное отклонение нагрузок от нормативных значений. Для нагрузки от собственного веса п =1,1; для снеговой нагрузки п = 1,4.

Коэффициент условий работы – т, учитывает особые условия эксплуатации сооружения.

Коэффициент надежности - , учитывает степень ответственности сооружения.

Сопротивление строительных материалов внешним воздействиям характеризуется нормативным и расчетным сопротивлением. Нормативные сопротивления  устанавливается с учетом условий контроля и статистической изменчивости сопротивлений. Они устанавливаются соответствующими ГОСТами. Вследствие изменчивости механических свойств материала возможно некоторое понижение прочностных характеристик материала. С целью обеспечения требуемой надежности конструкции введено расчетное сопротивление материалов.

 - коэффициент надежности по материалу, зависит от физико-механических свойств материалов.

 

для стали  

для бетона

 

Расчет по первой группе предельных состояний вследствие потери несущей способности производится по расчетным нагрузкам и расчетным сопротивлениям материала с учетом остальных коэффициентов. Основная формула для расчета по первому предельному состоянию, т.е. по несущей способности

                                      (а)

где N  - расчетное усилие в элементе конструкции (продольная сила, изгибающий момент и т.д.) от нормативных нагрузок, умноженных на соответствующие коэффициенты перегрузки;

Ф - минимальная несущая способность элемента с учетом возможного изменения прочности материалов и условий работы конструкции.

Формула (а) разворачивается в следующие расчетные формулы:

1) для осевого растяжения и сжатия

 ;

2) для поперечного изгиба

;

3) для среза и смятия

;

Расчет по второй группе предельных состояний вследствие непригодности к нормальной эксплуатации производится по нормальным нагрузкам. Цель расчета: ограничение перемещений и колебаний, затрудняющих условия эксплуатации технических устройств, повешения долговечности и эксплутационных качеств конструкций.

Условия жесткости ;

где и – расчетное значение перемещения конструкций;

 - предельное допустимое значение перемещения, устанавливаемое нормами или техническими требованиями

[1, гл.12 §12.1 – 12.4]

Практическая работа

Расчеты на прочность по предельным состояниям

Расчет на устойчивость центрально сжатых стержней

 

Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность продольного изгиба?

2. Что называется критической силой и критическим напряжением?

3. Что такое гибкость стержня?

4. Что называется коэффициентом продольного изгиба?

5. В каких случаях при расчете сжатых стержней применяют эмпирические формулы?

6. Как рассчитывают продольно сжатые стержни с применением коэффициента продольного изгиба по предельному состоянию и по допускаемым напряжениям?

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Студент обязан взять из таблицы, прилагаемой к условию задачи, данные в соответствии со своим личным номером ЗАЧЕТНОЙ КНИЖКИ (шифром)

2. Не следует приступать к выполнению контрольных заданий, не изучив соответствующего раздела курса и не решив самостоятельно рекомендованных задач. Если студент слабо усвоил основные положения теории и не до конца разобрался в приведенных примерах, то при выполнении контрольных работ могут возникнуть большие затруднения. Несамостоятельно выполненное задание не дает возможности преподавателю-рецензенту вовремя заметить недостатки в работе студента-заочника. В результате студент не приобретает необходимых знаний и оказывается неподготовленным к экзамену.

3. В заголовке контрольной работы должны быть четко написаны: номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью), название факультета и специальности, учебный шифр, дата отсылки работы, точный почтовый адрес. Необходимо также указать год издания методических указаний, по которым выполнялась контрольная работа.

4. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради или на листах, сшитых в тетрадь нормального формата, чернилами (не красными), четким почерком, с полями в 5 см для замечаний рецензента.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчета.

6. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными и грамотными без сокращения слов объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны в числах. Надо избегать многословных пояснений и пересказа учебника: студент должен знать, что язык техники - формула и чертеж. При пользовании формулами или данными, отсутствующими в учебнике, необходимо кратко и точно указывать источник (автор, название, издание, страница, номер формулы).

7. Необходимо указать размерность всех величин и подчеркнуть окончательные результаты.

8. Не следует вычислять большое число значащих цифр, вычисления должны соответствовать необходимой точности. Нет необходимости длину деревянного бруса в стропилах вычислять с точностью до миллиметра.

9. В возвращенной контрольной работе студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить все данные ему указания. В случае требования рецензента следует в кратчайший срок послать ему выполненные на отдельных листах исправления, которые должны быть отражены в рецензированной работе. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

Методические указания по выполнению контрольной работы № 2

Решению задач данной контрольной работы должно предшествовать изучение основ расчета по предельным состояниям. В расчете по предельному состоянию единый коэффициент запаса заменен системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитывающих условия возведения и работы конструкций, изменчивость прочностных характеристик материалов.

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расчетом по несущей способности.

Основными параметрами сопротивления материалов силовым воздействиям являются нормативные сопротивления .За нормальное сопротивление пластичного материала принимают предел текучести для хрупкого – предел прочности.

Отношение  называется расчетным сопротивлением. Оно и принимается при расчете конструкций.

Основными характеристиками нагрузок являются их нормативные величины ( и др.). Возможные отклонения нагрузок в неблагоприятную сторону от их нормативных значений вследствие изменчивости нагрузок или коэффициентами перегрузки , устанавливаемыми с учетом назначения зданий и сооружений и условий эксплуатации.

В расчетах по несущей способности принимают расчетные нагрузки, получаемые путем умножения их нормативных значений на коэффициенты перегрузки ( )

Особенности действительной работы конструкций имеющие систематический характер но не отражаемые в расчетах прямым путем учитываются в необходимых случаях коэффициентам условий работы .

 

К задаче 1

Прежде чем приступить к решению задачи 1 следует изучить тему «Растяжение и сжатие» Цель задачи: а) научиться определять продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса (стержня при действии на него нескольких внешних сил; б) научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса.

 

Условие задачи. По оси стального ступенчатого стержня (рис. 50) приложены силы  и , значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Постро­ить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материа­ла стержня .

Решение. Верхний конец стержня (рис. 50) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению вну­тренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры .поперечного сечения стержня. Рассмотрим брус по высоте. Первый учас­ток АВ от точки приложения силы , т. е. от нижнего торца бруса до сечения, в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила ,. Третий уча­сток CD от места приложения силы  до заделки.

Пользуясь методом сечений, определяем значения внутренних продольных сил в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакций заделки стержня.

Проводим сечение  в пределах первого участка. Необходи­мо представить сечение  как бы скользящим, что позволяет про­сматривать участок по высоте стержня.

Мысленно отбросим верхнюю часть до сечения  (рис.50) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось у: , откуда .

Продольная сила положительна, следовательно, на участке АН имеет место растяжение. 

Проводим сечение II—II на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис. 1, в). По аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия  и находим из него . Участок ВС также растянут.

Проводим сечение III—III на участке СD и отбрасывая верх­нюю часть стержня (рис. 1, г), запишем уравнение равновесия нижней части:  отсюда

Продольная сила отрицательна, а следовательно, третий учас­ток стержня сжат.

Зная продольную силу на каждом из трех участков, определим значения нормальных напряжений, имея в виду, что

 (растяжение)

 (растяжение)

(сжатие)

По найденным значениям N и строим их эпюры (рис. 50). Для этого проводим две прямые (базовые линии), параллельные оси стержня. Каждой точке этой прямой соответствует определен­ное сечение стержня. Считая прямые за нулевые линии, 1откладыва­ем вправо и влево от них соответственно положительные и отрица­тельные значения N и о. Знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значения отложенных ординат. Эпюры штрихуются линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина каждого штри­ха выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении стержня бруса

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: