Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 17Следующая ⇒

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и называется парой сил. Плоскость Q, в которой находятся линии действия сил и , называется плоскостью действия пары сил (рис. 2.2).

Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.

Рис. 2.2

Пара сил не имеет равнодействующей и является такой системой сил, которую нельзя упростить. Под действием пары сил твердое тело совершает вращение. Количественной характеристикойдействия пары сил на твердое тело, указывающей направление вращения тела под действием пары, является алгебраический момент пары.

Рис. 2.3

Алгебраическим моментом пары сил называется взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары сил:

Момент пары сил имеет знак плюс, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки (рис. 2.3), и выражается в ньютон-метрах (Н∙м).

Пару сил, приложенную к твердому телу, можно охарактеризовать плоскостью действия, моментом пары сил и направлением вращения пары. Все эти характеристики пары сил в пространстве можно выразить одной величиной – векторным моментом пары сил.

Вектор момента пары направляют перпендикулярно плоскости действия пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Числовое значение вектора момента пары сил совпадает с модулем алгебраического момента пары сил

где d – плечо пары сил.

Свойства пар сил:

1.Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

2. Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия.

3. Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно изменять величину плеча либо величину силы, сохраняя при этом неизменным момент пары сил.

Силу , не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из точки ее приложения в любой центр приведения О, приложив при этом к телу пару сил с моментом , геометрически равным моменту этой силы относительно центраприведения.

Плоская произвольная система сил приводится к главному вектору и главному моменту . Для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю.

Условия равновесия в векторной форме:

Для произвольной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Первая форма уравнений равновесия:

1. .

2. .

3. .

Третье уравнение составляют относительно произвольной точки. Лучше всего брать точку, в которой имеется больше неизвестных реакций.

Вторая форма уравнений равновесия:

1. .

2. .

3. .

При использовании второй формы уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна прямой АВ.

Третья форма уравнений равновесия:

1. .

2. .

3. .

При использовании третьей формы уравнений равновесия необходимо, чтобы точкиА, В, С не лежали на одной прямой.

Примеры решения задач

Задача 2.3.1.Определить реакции R_AиR_B опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.2.5, а.

Рис. 2.5

Решение. 1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Задаваемые силы: F = 3 к H, пара сил с M = 4 к H ∙м,распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которуюзаменяем одной сосредоточенной силой R_q = q ∙1=1∙3 = 3 к H, приложенной к точке D на расстоянии 1,5 мот края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей,изобразим в точкахА иВ реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх.

2. Условия равновесия:

3. Составление уравнений равновесия:

,(1)

, (2)

. (3)

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (1):

кН,

из (3): ,

из (2): кН.

Величина реакции R_A _химеет отрицательный знак, значитнаправлена не так, как показано на рис. 2.5, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача 2.3.2. На балку с защемленным концом (рис. 2.6, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 к H действует под углом α = 45^о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 к H ∙м. Определить реакцию заделки.

а) б)

Рис. 2.6

Решение.

1. Составление расчетной схемы (рис. 2.6, б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены задаваемые силы , пара сил с моментом ираспределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точкеО,

Связью, наложенной на балку АВ,является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ,заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме задаваемыхсил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольнойсистемы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

; (а)

; (б)

. (в)

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.
Из уравнения (а) находим:

Из уравнения (б) получаем:

Наконец, из уравнения (в) находим:

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точкиВ, подставим найденные реакции:

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

Задания С-2

Для представленных на схемах 1 – 30 тел определить реакции опор. Приведенные на схемах нагрузки имеют следующие величины: вес груза G = 10 кН, F = 10 кН, момент пары сил М = 20 кНм, интенсивность распределенной силы q = 5 кН/м, а также q _тах = 5 кН/м. Размеры указаны в метрах. Весом тела следует пренебречь.