Вынужденные колебания ограниченной струны. Метод Фурье (метод разделения переменных)

Постановка задачи. Колебания струны под действием распределенной силы описываются неоднородным уравнением (2). Ниже метод Фурье применяется к решению НКЗ (2), (34), (35), рассматриваются вынужденные колебания струны с двумя закрепленными концами. Случаи других однородных ГУ (два свободных конца или смешанные ГУ) исследуются аналогично.

Функцию , удовлетворяющую НКЗ

,

;    ,

можно представить в виде суммы решений двух более простых задач: , где  - решение НКЗ (3), (34), (35), описывающее свободные колебания струны, которые возникают вследствие заданного начального возмущения. Функция  описывает чисто вынужденные колебания, т.е. колебания под действием силы  при условии, что в начальный момент струна покоилась. Для функции  получено решение в виде ряда (42); необходимо определить .

Решение НКЗ о чисто вынужденных колебаниях струны. Функция  удовлетворяет задаче (44):

                        (44)

Будем искать ее в виде ряда

,                            (45)

при этом ГУ для  заведомо выполнятся. Ряд (45) написан по аналогии с (42), но функции  теперь нуждаются в определении.

Подстановка ряда (45) в уравнение (2) дает

,

следовательно,

, .

Функция f(x,t) как функция от x может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке  с коэффициентами , зависящими от t:

.

Для функции  возникли два разложения в ряды Фурье по синусам; поскольку такое разложение единственно, их коэффициенты можно приравнять:

.

Если функции  удовлетворяют этим уравнениям, функция , заданная рядом (45), удовлетворяет уравнению и ГУ. Чтобы выполнялись НУ, достаточно потребовать , . Таким образом, функции  определяются задачами Коши для обыкновенных линейных неоднородных ДУ:

                            (46)

Пусть  - частное решение этого неоднородного уравнения, тогда его общее решение имеет вид

.

Упражнение 13. Методом вариации произвольных множителей Лагранжа* найти частное решение уравнения из задачи (46) в виде

.

Для общего решения уравнения (46) имеем

,   (47)

подстановка условий Коши дает . Окончательно решение (46) принимает вид

.                     (48)

Подставляя в (48) выражения для коэффициентов Фурье и частот, получаем

.          (49)

Ряд (45) с коэффициентами (49) дает решение задачи (44). Если функция  дважды непрерывно дифференцируема и обращается в нуль на концах промежутка , сумма ряда является классическим решением задачи.

I начально-краевая задача в общем случае состоит из неоднородного уравнения (2), неоднородных ГУ (33) и НУ (34). Ее решение следует искать в виде суммы двух функций:

,                       (50)

где  - произвольная функция, удовлетворяющая ГУ (33). Можно, например, выбрать .

Для функции  возникает НКЗ с однородными ГУ, метод решения которой изложен выше:

     

.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: