Арифметическая прогрессия

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….3

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА……………………………………………………………..5

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ…………………………………………………………..6

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПОКАЗЫВАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ ПРОГРЕССИЙ В ЖИЗНИ……8

1. Прогрессии в природе…………………………………………………………………..8

2. Прогрессии в строительстве и инженерном деле…………………………………….10

3. Прогрессии в медицине и при планировании лечения……………………………....11

4. Прогрессии в банковских расчетах…………………………………………………....12

5. Прогрессии в спорте……………………………………………………………………13

6. Прогрессии в других областях деятельности…………………………………………14

       ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………..15

       Результат анкетирования …...………………………………………………………… …..15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………..18  

ВВЕДЕНИЕ

 

Актуальность

 

Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Эти знания применяются людьми при выполнении различных вычислений. В средствах массовой информации мы часто слышим выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др.

  

Гипотеза:

 

Видимо, прогрессии имеют определенное практическое значение.

 

Проблема:

 

В каких сферах деятельности человека используются знания об арифметической и геометрической прогрессиях?

 

Объект исследования: арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Цель:

 

 Выяснить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Задачи исследования:

1) Выяснить, какие ученые положили начало изучению прогрессий.

2) Изучить теоретические сведения по данному вопросу.

3) Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.

 Методы исследования:

1) Анализ достоверных источников информации.

2) Сравнение различных сведений, касающихся исследования.

3) Систематизация и обобщение информации.

 

 

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

 

Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившем в 6 веке. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

С начала нашей эры известна задача-легенда:

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал на первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два зерна, за третью – четыре и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В задаче надо было найти сумму 64 членов геометрической прогрессии с первым членом единицей и знаменателем 2.

Архимед умел вычислять сумму числа членов геометрической прогрессии. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского.

Известна история о немецком математике К. Гауссе (1777-1855). В детстве на уроке математике он поразил учителя тем, что быстро сложил числа от 1 до 100. Он использовал такой способ.

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Арифметическая прогрессия

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... и обозначается знаком: ÷

 

Свойства арифметической прогрессии:

n-ный (общий) член арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d> 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным, либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле или

 

 

Геометрическая прогрессия

 

Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т. к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид:

Свойства геометрической прогрессии:

 

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е.  Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член и знаменатель q.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0, то прогрессия является монотонной последовательностью.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов. Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: .

Для нахождения суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

 

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что , т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

 

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПОКАЗЫВАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ ПРОГРЕССИЙ В ЖИЗНИ

 

Прогрессии в природе

Самым показательным примером прогрессий может служить природа. Ученые-биологи обнаружили, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. 

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

 

Задача 1

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления стало 640?

Решение:

b₇=640

Пусть первоначально было b₁ инфузорий. Количество инфузорий увеличивается с геометрической прогрессией. Тогда после шестого деления их стало

640=b₁*2⁶

640=b₁*64

b₁=640/64=10 инфузорий

Ответ: 10 инфузорий было первоначально.

 

Те же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя общеизвестные формулы и специальные знания, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных в заповедниках и в дикой природе.

 

Задача 2

Популяция кабанов в заповеднике увеличивается каждый год на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?

Решение:

Пусть было х кабанов. Тогда через год их стало:

 

 

2х кабанов станет по прошествии n лет.

Ответ: по прошествии 8 лет число кабанов удвоится.

Практически ничем не отличаются задачи, связанные с демографией человечества.

 

 

Задача 3

Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Решение:

 тыс. чел.

      

 тыс. чел.

Ответ: 66 тысяч человек.

 

Задача 4

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение:

а₁= 12, а_n=1, d= -1

S_n-?

а_n = a₁+ d · (n - 1)

1 = 12 + (n – 1)·(-1)

1 = 12 - n +1

n= 12 + 1 – 1

n= 12

Ответ: 78 бревен.

 

Иногда формулами арифметической прогрессии пользуются в своих расчетах инженеры. Например, при строительстве зданий и конструкций.

 

Задача 5

Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 60 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?

Дано:

a₁=60

Найти:

Решение:

a₁₃=60+12*(-2)=36

Ответ: 36 сантиметров.

 

3. Прогрессии в медицине и при планировании лечения

Задача 6

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Дано:

а₁= 15 мин

d = 10

a_n = 1ч 45 мин = 105 мин

Найти:

n =?

Решение:

a _n = a₁+ d · (n - 1)

105 = 15 + (n – 1) · 10

105 = 15 +10 n – 10

-10n = 15 – 10 – 105

-10n = -100

n = 10

Ответ: 10 дней следует принимать воздушные ванны.

 

Задача 7

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение:

5, 10, 15, …, 40, 40, 40, 35, 30, …, 5 – математическая модель прогрессии

a _n = a₁+ d · (n - 1)

40 = 5+ 5 · (n - 1), откуда n=8

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400, всего больной выпьет 400: 250=1, 6 пузырька. Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

 

Задача 8

Вкладчик 1 января 2017 г внес в сберегательный банк 40 000 р. Какой была сумма его вклада на 1 января 2019 г., если сбербанк начислял ежегодно 6% от суммы вклада?

Решение:

b₁=40000

b₂=40000+40000*0, 06=42400

q=42400/40000=1, 06

b₃=b₁*q²=40000*1, 06²=44944

Ответ:  44944 рублей стала сумма вклада.

 

Прогрессии в спорте.

 

Задача 9

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0, 5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Дано:

Решение:

Подсчитаем количество промахов.

- промахов

- не удовлетворяет условию задачи

 

- попаданий

Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.

 

Задача 10

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Дано:

Решение:

 

- не удовлетворяет условию задачи

Ответ: за 4 дня альпинисты покорили высоту.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Таким образом, в ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что сложно говорить о том, кто их открыл. Также мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности,  как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.

Мы выяснили, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.

Проанализировав различные задачи, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

Получив такой результат, я решил узнать, что мои одноклассники знают о прогрессиях и использовали они или их семья эти знания в своей жизни. С этой целью я провел среди них опрос. Результаты опроса представлены на диаграммах.

 

Результат анкетирования

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович, Л.А. Александрова, Т.К. Мишустина. - Москва, Мнемозина, 2010.

2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского. –Москва, Просвещение, 2017.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. –Москва, Просвещение, 1990.

4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – Рипол Классик, 1989.

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….3

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА……………………………………………………………..5

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ…………………………………………………………..6

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПОКАЗЫВАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ ПРОГРЕССИЙ В ЖИЗНИ……8

1. Прогрессии в природе…………………………………………………………………..8

2. Прогрессии в строительстве и инженерном деле…………………………………….10

3. Прогрессии в медицине и при планировании лечения……………………………....11

4. Прогрессии в банковских расчетах…………………………………………………....12

5. Прогрессии в спорте……………………………………………………………………13

6. Прогрессии в других областях деятельности…………………………………………14

       ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………..15

       Результат анкетирования …...………………………………………………………… …..15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………..18  

ВВЕДЕНИЕ

 

Актуальность

 

Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Эти знания применяются людьми при выполнении различных вычислений. В средствах массовой информации мы часто слышим выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др.

  

Гипотеза:

 

Видимо, прогрессии имеют определенное практическое значение.

 

Проблема:

 

В каких сферах деятельности человека используются знания об арифметической и геометрической прогрессиях?

 

Объект исследования: арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Цель:

 

 Выяснить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Задачи исследования:

1) Выяснить, какие ученые положили начало изучению прогрессий.

2) Изучить теоретические сведения по данному вопросу.

3) Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.

 Методы исследования:

1) Анализ достоверных источников информации.

2) Сравнение различных сведений, касающихся исследования.

3) Систематизация и обобщение информации.

 

 

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

 

Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившем в 6 веке. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

С начала нашей эры известна задача-легенда:

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал на первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два зерна, за третью – четыре и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В задаче надо было найти сумму 64 членов геометрической прогрессии с первым членом единицей и знаменателем 2.

Архимед умел вычислять сумму числа членов геометрической прогрессии. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского.

Известна история о немецком математике К. Гауссе (1777-1855). В детстве на уроке математике он поразил учителя тем, что быстро сложил числа от 1 до 100. Он использовал такой способ.

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Арифметическая прогрессия

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... и обозначается знаком: ÷

 

Свойства арифметической прогрессии:

n-ный (общий) член арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d> 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным, либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле или

 

 

123Следующая ⇒

Поделиться: